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Omar Khayyam était un mathématicien, astronome, philosophe et poète persan. Il est né à Nishapur, dans le nord-est de l'Iran, et a passé la majeure partie de sa vie près de la cour des souverains Karakhanides et Seldjoukides à une époque marquée par la Première Croisade.

En tant que mathématicien, il est surtout connu pour ses travaux sur la classification et la résolution des équations cubiques, où il a fourni des solutions géométriques par l'intersection de coniques. Khayyam a également contribué à la compréhension de l'axiome des parallèles. En tant qu'astronome, il a conçu le calendrier Jalali, un calendrier solaire avec un cycle d'intercalation très précis de 33 ans.

Il existe une tradition d'attribution de poésie à Omar Khayyam, écrite sous la forme de quatrains. Cette poésie est devenue largement connue du monde anglophone grâce à une traduction d'Edward FitzGerald (Rubaiyat of Omar Khayyam, 1859), qui a connu un grand succès dans l'orientalisme de la fin du siècle.

Vie

Omar Khayyam est né en 1048 à Nishapur, une grande métropole du Khorasan au Moyen Âge qui a atteint son apogée de prospérité au onzième siècle sous la dynastie seldjoukide. Nishapur était également un centre majeur de la religion zoroastrienne, et il est probable que le père de Khayyam était un zoroastrien qui s'était converti à l'islam. Son nom complet, tel qu'il apparaît dans les sources arabes, était Abu'l Fath Omar ibn Ibrahim al-Khayyam. Dans les textes persans médiévaux, il est généralement simplement appelé Omar Khayyam. Bien que sujet à caution, on a souvent supposé que ses ancêtres exerçaient le métier de fabricant de tentes, puisque Khayyam signifie fabricant de tentes en arabe. L'historien Bayhaqi, qui connaissait personnellement Omar, fournit tous les détails de son horoscope : « il était Gémeaux, le soleil et Mercure étant à l'ascendant. Cela a été utilisé par les savants modernes pour établir sa date de naissance au 18 mai 1048.

Son enfance a été passée à Nishapur. Ses dons ont été reconnus par ses premiers tuteurs qui l'ont envoyé étudier sous la direction d'Imam Muwaffaq Nishaburi, le plus grand maître de la région du Khorasan qui a formé les enfants de la plus haute noblesse. Khayyam a également été enseigné par le mathématicien converti zoroastrien, Abu Hassan Bahmanyar bin Marzban. Après avoir étudié la science, la philosophie, les mathématiques et l'astronomie à Nishapur, vers l'année 1068, il a voyagé dans la province de Boukhara, où il a fréquenté la célèbre bibliothèque de l'Arche. Vers 1070, il s'est installé à Samarkande, où il a commencé à rédiger son célèbre traité sur l'algèbre sous le patronage d'Abu Tahir Abd al-Rahman ibn ʿAlaq, le gouverneur et juge en chef de la ville. Omar Khayyam a été cordialement reçu par le souverain Karakhanide Shams al-Mulk Nasr, qui, selon Bayhaqi, « lui ferait le plus grand honneur, au point qu'il l'assiérait [Omar] à côté de lui sur son trône ».

En 1073-4, une paix a été conclue avec le Sultan Malik-Shah I qui avait fait des incursions dans les domaines karakhanides. Khayyam entra au service de Malik-Shah en 1074-5 quand il a été invité par le Grand Vizir Nizam al-Mulk à rencontrer Malik-Shah dans la ville de Marv. Khayyam a ensuite été chargé de mettre en place un observatoire à Isfahan et de diriger un groupe de scientifiques pour effectuer des observations astronomiques précises visant à la révision du calendrier persan. L'entreprise a probablement commencé en 1076 et s'est terminée en 1079 quand Omar Khayyam et ses collègues ont conclu leurs mesures de la longueur de l'année, la rapportant à 14 chiffres significatifs avec une précision stupéfiante.

Après la mort de Malik-Shah et de son vizir (assassiné, pense-t-on, par l'ordre ismaélien des Assassins), Omar tomba en disgrâce à la cour, et en conséquence, il entreprit bientôt son pèlerinage à La Mecque. Un motif ultérieur possible pour son pèlerinage rapporté par Al-Qifti, était une démonstration publique de sa foi en vue d'atténuer les soupçons de scepticisme et de réfuter les accusations d'hétérodoxie (y compris une possible sympathie pour le zoroastrisme) dirigées contre lui par un clergé hostile. Il a ensuite été invité par le nouveau Sultan Sanjar à Marv, probablement pour travailler comme astrologue de cour. Il a ensuite été autorisé à retourner à Nishapur en raison de son déclin de santé. À son retour, il semble avoir mené une vie de reclus.

Omar Khayyam est décédé à l'âge de 83 ans dans sa ville natale de Nishapur le 4 décembre 1131, et il est enterré dans le Mausolée d'Omar Khayyam. L'un de ses disciples Nizami Aruzi relate l'histoire que quelque temps durant 1112-3 Khayyam était à Balkh en compagnie d'Al-Isfizari (l'un des scientifiques qui avaient collaboré avec lui sur le calendrier Jalali) quand il fit une prophétie selon laquelle « mon tombeau sera dans un endroit où le vent du nord pourra disperser des roses dessus ». Quatre ans après sa mort, Aruzi a localisé son tombeau dans un cimetière dans un quartier alors large et bien connu de Nishapur sur la route de Marv. Comme l'avait prévu Khayyam, Aruzi a trouvé le tombeau situé au pied d'un mur de jardin sur lequel des poiriers et des pêchers avaient poussé leurs têtes et laissé tomber leurs fleurs de sorte que sa pierre tombale était cachée sous eux.

Mathématiques

Khayyam était célèbre de son vivant en tant que mathématicien. Ses travaux mathématiques survivants incluent : Un commentaire sur les difficultés concernant les postulats des Éléments d'Euclide (Risāla fī šarḥ mā aškala min muṣādarāt kitāb Uqlīdis, achevé en décembre 1077), Sur la division d'un quadrant d'un cercle (Risālah fī qismah rub' al-dā'irah, non daté mais achevé avant le traité sur l'algèbre), et Sur les preuves des problèmes concernant l'Algèbre (Maqāla fi l-jabr wa l-muqābala, probablement achevé en 1079. Il a en outre écrit un traité sur l'extraction du théorème binomial et de la racine nième des nombres naturels, qui a été perdu.

Théorie des parallèles

Une partie du commentaire de Khayyam sur les Éléments d'Euclide traite de l'axiome des parallèles. Le traité de Khayyam peut être considéré comme le premier traitement de l'axiome non basé sur la pétition de principe, mais sur un postulat plus intuitif. Khayyam réfute les tentatives précédentes d'autres mathématiciens pour prouver la proposition, principalement au motif que chacun d'eux avait postulé quelque chose qui n'était en aucun cas plus facile à admettre que le Cinquième Postulat lui-même. S'appuyant sur les vues d'Aristote, il rejette l'usage du mouvement en géométrie et rejette donc la tentative différente d'Al-Haytham. Insatisfait de l'échec des mathématiciens à prouver l'énoncé d'Euclide à partir de ses autres postulats, Omar a tenté de relier l'axiome au Quatrième Postulat, qui stipule que tous les angles droits sont égaux l'un à l'autre.

Khayyam fut le premier à considérer les trois cas d'angle aigu, obtus et droit pour les angles au sommet d'un quadrilatère de Khayyam-Saccheri, trois cas qui sont exhaustifs et mutuellement exclusifs par paires. Après avoir prouvé un certain nombre de théorèmes à ce sujet, il a prouvé que le Postulat V est une conséquence de l'hypothèse de l'angle droit, et a réfuté les cas obtus et aigus comme auto-contradictoires. La tentative élaborée de Khayyam de prouver le postulat des parallèles était importante pour le développement ultérieur de la géométrie, car elle montre clairement la possibilité de géométries non euclidiennes. Les hypothèses de l'angle aigu, de l'angle obtus et de l'angle droit sont maintenant connues pour mener respectivement à la géométrie hyperbolique non euclidienne de Gauss-Bolyai-Lobachevsky, à celle de la géométrie riemannienne, et à la géométrie euclidienne.

Les commentaires de Tusi sur le traitement par Khayyam des parallèles ont trouvé leur chemin vers l'Europe. John Wallis, professeur de géométrie à Oxford, a traduit le commentaire de Tusi en latin. Le géomètre jésuite Girolamo Saccheri, dont le travail (euclides ab omni naevo vindicatus, 1733) est généralement considéré comme la première étape du développement éventuel de la géométrie non euclidienne, connaissait les travaux de Wallis. L'historienne américaine des mathématiques, David Eugene Smith, mentionne que Saccheri « a utilisé le même lemme que celui de Tusi, en marquant même la figure exactement de la même façon et en utilisant le lemme pour le même but ». Il ajoute en outre que « Tusi affirme distinctement que c'est dû à Omar Khayyam, et d'après le texte, il semble clair que ce dernier en était l'inspirateur ».

Le concept de nombre réel

Ce traité sur Euclide contient une autre contribution traitant de la théorie des proportions et de la composition des rapports. Khayyam discute de la relation entre le concept de rapport et le concept de nombre et soulève explicitement diverses difficultés théoriques. En particulier, il contribue à l'étude théorique du concept de nombre irrationnel. Mécontent de la définition euclidienne des rapports égaux, il a redéfini le concept de nombre en utilisant une fraction continue comme moyen d'exprimer un rapport. Rosenfeld et Youschkevitch (1973) soutiennent que « en plaçant les quantités irrationnelles et les nombres sur la même échelle opérationnelle, [Khayyam] a commencé une véritable révolution dans la doctrine du nombre. » De même, il a été noté par D. J. Struik qu'Omar était « sur la route de cette extension du concept de nombre qui mène à la notion du nombre réel ».

Algèbre géométrique

Rashed et Vahabzadeh (2000) ont soutenu que en raison de son approche géométrique systématique des équations algébriques, Khayyam peut être considéré comme le précurseur de Descartes dans l'invention de la géométrie analytique. Dans le Traité sur la Division d'un Quadrant d'un Cercle, Khayyam a appliqué l'algèbre à la géométrie. Dans cet ouvrage, il s'est consacré principalement à enquêter sur la possibilité de diviser un quadrant de cercle en deux parties de telle sorte que les segments de ligne projetés du point de division aux diamètres perpendiculaires du cercle forment un rapport spécifique. Sa solution, à son tour, a employé plusieurs constructions de courbes qui ont conduit à des équations contenant des termes cubiques et quadratiques.

La solution des équations cubiques

Khayyam semble avoir été le premier à concevoir une théorie générale des équations cubiques et le premier à résoudre géométriquement chaque type d'équation cubique, en ce qui concerne les racines positives. Le traité sur l'algèbre contient son travail sur les équations cubiques. Il est divisé en trois parties : (i) les équations qui peuvent être résolues avec un compas et une règle, (ii) les équations qui peuvent être résolues par des sections coniques, et (iii) les équations qui impliquent l'inverse de l'inconnue.

Khayyam a produit une liste exhaustive de toutes les équations possibles impliquant des lignes, des carrés et des cubes. Il a considéré trois équations binomiales, neuf équations trinomiales et sept équations tétranomiales. Pour les polynômes du premier et du deuxième degré, il a fourni des solutions numériques par construction géométrique. Il a conclu qu'il y a quatorze types différents de cubiques qui ne peuvent pas être réduits à une équation de degré inférieur. Pour ceux-ci, il n'a pas pu accomplir la construction de son segment inconnu avec un compas et une règle. Il a procédé à présenter des solutions géométriques à tous les types d'équations cubiques en utilisant les propriétés des sections coniques. Les lemmes préalables pour la preuve géométrique de Khayyam incluent Euclide VI, Prop 13, et Apollonius II, Prop. La racine positive d'une équation cubique a été déterminée comme l'abscisse d'un point d'intersection de deux coniques, par exemple, l'intersection de deux paraboles, ou l'intersection d'une parabole et d'un cercle, etc. Cependant, il a reconnu que le problème arithmétique de ces cubiques était encore irrésoluble, ajoutant que « peut-être que quelqu'un d'autre le saura après nous ». Cette tâche est restée ouverte jusqu'au seizième siècle, où la solution algébrique de l'équation cubique a été trouvée dans sa généralité par Cardano, Del Ferro et Tartaglia en Italie de la Renaissance.

En effet, le travail de Khayyam est un effort pour unifier l'algèbre et la géométrie. Cette solution géométrique particulière des équations cubiques a été davantage étudiée par M. Hachtroudi et étendue à la résolution des équations du quatrième degré. Bien que des méthodes similaires soient apparues sporadiquement depuis Ménechme, et aient été davantage développées par le mathématicien du 10ème siècle Abu al-Jud, le travail de Khayyam peut être considéré comme la première étude systématique et la première méthode exacte de résolution des équations cubiques. Le mathématicien Woepcke (1851) qui a offert des traductions de l'algèbre de Khayyam en français l'a félicité pour sa « puissance de généralisation et sa procédure rigoureusement systématique ».

Théorème binomial et extraction de racines

Dans son traité algébrique, Khayyam fait allusion à un livre qu'il avait écrit sur l'extraction de la racine nième, où n est un entier positif. Le cas de la puissance 2 est explicitement énoncé dans les éléments d'Euclide et le cas d'au plus la puissance 3 avait été établi par les mathématiciens indiens. Khayyam était le mathématicien qui a remarqué l'importance d'un théorème binomial général. L'argument soutenant l'affirmation que Khayyam avait un théorème binomial général est basé sur sa capacité à extraire les racines. L'un des prédécesseurs de Khayyam, Al-Karaji, avait déjà découvert l'arrangement triangulaire des coefficients des expansions binomiales que les Européens en vinrent à connaître sous le nom du triangle de Pascal ; Khayyam a popularisé ce tableau triangulaire en Iran, de sorte qu'il est maintenant connu comme le triangle d'Omar Khayyam.

Astronomie

En 1074-5, Omar Khayyam a été chargé par le Sultan Malik-Shah de construire un observatoire à Isfahan et de réformer le calendrier persan. Il y avait un groupe de huit savants travaillant sous la direction de Khayyam pour effectuer des observations astronomiques à grande échelle et réviser l'astrologie