Eudoxus of Cnidus

De bon cœur je me laisserais brûler comme Phaéton, si c'était le prix pour atteindre le soleil et apprendre sa forme, sa taille et sa substance.

Eudoxus of Cnidus était un ancien astronome, mathématicien, érudit grec et étudiant d'Archytas et Plato. Tous ses travaux sont perdus, bien que certains fragments soient conservés dans le commentaire d'Hipparchus sur le poème d'Aratus sur l'astronomie. Les Sphériques de Theodosius of Bithynia pourraient être basés sur un travail d'Eudoxus.

Vie

Eudoxus est né et mort à Cnidus, également orthographié Knidos, une ville sur la côte sud-ouest de la Turquie actuelle. Les années de naissance et de mort d'Eudoxus ne sont pas entièrement connues, mais la période pourrait avoir été entre c. 408 – c. 355 BC, ou c. 390 – c. 337 BC. Son nom Eudoxus signifie « honoré » ou « de bonne réputation » εὔδοξος, de eu « bon » et doxa « opinion, croyance, renommée ». C'est analogue au nom latin Benedictus.

Le père d'Eudoxus, Aeschines of Cnidus, aimait regarder les étoiles la nuit. Eudoxus a d'abord voyagé à Tarentum pour étudier avec Archytas, auprès de qui il a appris les mathématiques. Pendant son séjour en Italie, Eudoxus a visité la Sicile, où il a étudié la médecine avec Philiston.

À l'âge de 23 ans, il a voyagé avec le médecin Theomedon—qui selon Diogenes Laërtius était selon certains son amant—à Athènes pour étudier avec les disciples de Socrates. Il a finalement suivi les cours de Plato et d'autres philosophes pendant plusieurs mois, mais en raison d'un désaccord ils se sont brouillés. Eudoxus était très pauvre et ne pouvait se permettre qu'un appartement au Piraeus. Pour assister aux cours de Plato, il marchait 7 miles 11 km dans chaque direction chaque jour. En raison de sa pauvreté, ses amis ont levé des fonds suffisants pour l'envoyer à Heliopolis, Égypte, pour poursuivre ses études en astronomie et mathématiques. Il y a vécu pendant 16 mois. De l'Égypte, il a ensuite voyagé vers le nord à Cyzicus, situé sur la rive sud de la Sea of Marmara, la Propontis. Il a voyagé vers le sud à la cour de Mausolus. Pendant ses voyages, il a rassemblé de nombreux étudiants.

Autour de 368 BC, Eudoxus est retourné à Athènes avec ses étudiants. Selon certaines sources, autour de 367 il a assumé la direction de l'Academy pendant la période de Plato à Syracuse, et a enseigné à Aristotle. Il est finalement retourné à son Cnidus natal, où il a servi à l'assemblée de la ville. Pendant son séjour à Cnidus, il a construit un observatoire et a continué à écrire et donner des conférences sur la théologie, l'astronomie et la météorologie. Il avait un fils, Aristagoras, et trois filles, Actis, Philtis, et Delphis.

En astronomie mathématique, sa célébrité est due à l'introduction des sphères concentriques, et ses premières contributions à la compréhension du mouvement des planètes.

Son travail sur les proportions montre une perspicacité sur les nombres réels; il permet un traitement rigoureux des quantités continues et non seulement des nombres entiers ou même des nombres rationnels. Lorsqu'il a été repris par Tartaglia et d'autres au XVIe siècle, il est devenu la base du travail quantitatif en science pendant un siècle, jusqu'à ce qu'il soit remplacé par Richard Dedekind.

Des cratères sur Mars et la Lune sont nommés en son honneur. Une courbe algébrique, la Kampyle d'Eudoxus, porte également son nom.

Mathématiques

Eudoxus est considéré par certains comme le plus grand des mathématiciens classiques grecs, et dans toute l'Antiquité seulement après Archimedes. Eudoxus était probablement la source de la plupart du livre V des Éléments d'Euclid. Il a rigoureusement développé la méthode d'exhaustion d'Antiphon, un précurseur du calcul intégral qui a également été utilisée de manière magistrale par Archimedes au siècle suivant. En appliquant la méthode, Eudoxus a prouvé des énoncés mathématiques tels que : les aires de cercles sont l'une à l'autre comme les carrés de leurs rayons, les volumes de sphères sont l'une à l'autre comme les cubes de leurs rayons, le volume d'une pyramide est un tiers le volume d'un prisme avec la même base et hauteur, et le volume d'un cône est un tiers celui du cylindre correspondant.

Eudoxus a introduit l'idée de grandeur mathématique non quantifiée pour décrire et travailler avec des entités géométriques continues telles que les lignes, les angles, les surfaces et les volumes, évitant ainsi l'utilisation de nombres irrationnels. Ce faisant, il a inversé l'accent pythagoricien sur le nombre et l'arithmétique, en se concentrant plutôt sur les concepts géométriques comme base des mathématiques rigoureuses. Certains Pythagoriciens, comme le maître d'Eudoxus Archytas, croyaient que seule l'arithmétique pouvait fournir une base pour les preuves. Poussé par la nécessité de comprendre et d'opérer avec des quantités incommensurables, Eudoxus a établi ce qui peut avoir été la première organisation déductive des mathématiques sur la base d'axiomes explicites. Le changement de focus par Eudoxus a stimulé une division en mathématiques qui a duré deux mille ans. En combinaison avec une attitude intellectuelle grecque indifférente aux problèmes pratiques, il y a eu une retraite significative du développement des techniques en arithmétique et algèbre.

Les Pythagoriciens avaient découvert que la diagonale d'un carré n'a pas d'unité de mesure commune avec les côtés du carré; c'est la découverte célèbre que la racine carrée de 2 ne peut pas être exprimée comme le rapport de deux entiers. Cette découverte avait annoncé l'existence de quantités incommensurables au-delà des entiers et des fractions rationnelles, mais en même temps elle a remis en question l'idée de mesure et de calculs en géométrie dans son ensemble. Par exemple, Euclid fournit une preuve élaborée du théorème de Pythagoras Éléments I.47, en utilisant l'addition de surfaces et seulement beaucoup plus tard Éléments VI.31 une preuve plus simple à partir de triangles similaires, qui repose sur les rapports des segments de ligne.

Les mathématiciens grecs antiques ne calculaient pas avec des quantités et des équations comme nous le faisons aujourd'hui, mais au lieu de cela, ils utilisaient des proportionnalités pour exprimer la relation entre les quantités. Ainsi, le rapport de deux quantités similaires n'était pas juste une valeur numérique, comme nous le pensons aujourd'hui; le rapport de deux quantités similaires était une relation primitive entre elles.

Eudoxus a pu rétablir la confiance dans l'utilisation des proportionnalités en fournissant une définition stupéfiante du sens de l'égalité entre deux rapports. Cette définition de proportion forme le sujet du Livre V d'Euclid.

Dans la Définition 5 du Livre V d'Euclid, nous lisons:

Les grandeurs sont dites être dans le même rapport, la première à la seconde et la troisième à la quatrième quand, si l'on prend des équimultiples quelconques de la première et de la troisième, et des équimultiples quelconques de la seconde et de la quatrième, les équimultiples antérieurs surpassent, sont égaux à, ou tombent en deçà des équimultiples postérieurs respectivement pris dans l'ordre correspondant.

En utilisant la notation moderne, ceci est clarifié comme suit. Si nous prenons quatre quantités: a, b, c, et d, alors la première et la seconde ont un rapport a / b .

Maintenant, pour dire que a / b = c / d nous faisons ce qui suit: Pour deux entiers arbitraires quelconques, m et n, formez les équimultiples m·a et m·c de la première et de la troisième; formez également les équimultiples n·b et n·d de la seconde et de la quatrième.

S'il arrive que m·a > n·b, alors nous devons également avoir m·c > n·d. S'il arrive que m·a = n·b, alors nous devons également avoir m·c = n·d. Enfin, s'il arrive que m·a < n·b, alors nous devons également avoir m·c < n·d.

Notez que la définition dépend de la comparaison des quantités similaires m·a et n·b, et des quantités similaires m·c et n·d, et ne dépend pas de l'existence d'une unité commune de mesure de ces quantités.

La complexité de la définition reflète l'innovation conceptuelle et méthodologique profonde impliquée. Elle rappelle le célèbre cinquième postulat d'Euclid concernant les parallèles, qui est plus étendu et compliqué dans sa formulation que les autres postulats.

La définition eudoxienne de la proportionnalité utilise le quantificateur, « pour tout ... » pour exploiter l'infini et l'infinitésimal, tout comme le font les définitions modernes epsilon-delta de limite et de continuité.

De plus, la propriété archimédienne énoncée comme définition 4 du livre V d'Euclid est originellement due non pas à Archimedes mais à Eudoxus.

Astronomie

Dans la Grèce antique, l'astronomie était une branche des mathématiques; les astronomes cherchaient à créer des modèles géométriques qui pourraient imiter les apparences des motions célestes. Identifier le travail astronomique d'Eudoxus comme une catégorie distincte est donc une commodité moderne. Certains des textes astronomiques d'Eudoxus dont les noms ont survécu incluent:

• Disparitions du Soleil, possiblement sur les éclipses
• Oktaeteris Ὀκταετηρίς, sur un cycle lunisolare-Vénus de huit ans du calendrier
• Phaenomena Φαινόμενα et Entropon Ἔντροπον, sur l'astronomie sphérique, probablement basés sur des observations faites par Eudoxus en Égypte et Cnidus
• Sur les Vitesses, sur les mouvements planétaires

Nous sommes assez bien informés sur le contenu de Phaenomena, car le texte en prose d'Eudoxus a été la base d'un poème du même nom par Aratus. Hipparchus a cité le texte d'Eudoxus dans son commentaire sur Aratus.

Modèles planétaires eudoxiens

Une idée générale du contenu de Sur les Vitesses peut être tirée de la Métaphysique XII, 8 d'Aristotle, et un commentaire de Simplicius of Cilicia 6e siècle AD sur De caelo, une autre œuvre d'Aristotle. Selon une histoire rapportée par Simplicius, Plato a posé une question aux astronomes grecs: « Par l'hypothèse de quels mouvements uniformes et ordonnés les mouvements apparents des planètes peuvent-ils être expliqués? » cité dans Lloyd 1970, p. 84. Plato a proposé que les mouvements erratiques apparemment chaotiques des planètes pourraient être expliqués par des combinaisons de mouvements circulaires uniformes centrés sur une Terre sphérique, apparemment une idée nouvelle au 4e siècle BC.

Dans la plupart des reconstructions modernes du modèle eudoxien, la Lune se voit attribuer trois sphères:

• La plus externe tourne vers l'ouest une fois en 24 heures, expliquant le lever et le coucher.
• La deuxième tourne vers l'est une fois par mois, expliquant le mouvement mensuel de la Lune à travers le zodiaque.
• La troisième complète également sa révolution en un mois, mais son axe est incliné à un angle légèrement différent, expliquant le mouvement en latitude déviation de l'écliptique, et le mouvement des nœuds lunaires.

Le Soleil se voit également attribuer trois sphères. La deuxième complète son mouvement en un an au lieu d'un mois. L'inclusion d'une troisième sphère implique qu'Eudoxus croyait à tort que le Soleil avait un mouvement en latitude.

Les cinq planètes visibles Vénus, Mercure, Mars, Jupiter, et Saturne se voient attribuer quatre sphères chacune:

• La plus externe explique le mouvement quotidien.
• La deuxième explique le mouvement de la planète à travers le zodiaque.
• La troisième et la quatrième ensemble expliquent la rétrogradation, quand une planète semble ralentir, puis brièvement inverser son mouvement à travers le zodiaque. En inclinant les axes des deux sphères l'une par rapport à l'autre, et en les faisant tourner dans des directions opposées mais avec des périodes égales, Eudoxus pouvait faire qu'un point sur la sphère intérieure trace une forme en huit, ou hippopède.

Importance du système eudoxien

Callippus, un astronome grec du 4e siècle, a ajouté sept sphères aux 27 originales d'Eudoxus en plus des sphères planétaires, Eudoxus inclus une sphère pour les étoiles fixes. Aristotle décrit les deux systèmes, mais a insisté pour ajouter des sphères « déroulantes » entre chaque ensemble de sphères pour annuler les mouvements de l'ensemble extérieur. Aristotle était préoccupé par la nature physique du système; sans dérouleurs, les mouvements externes seraient transférés aux planètes intérieures.

Un défaut majeur du système eudoxien est son incapacité à expliquer les changements de luminosité des planètes vues de la Terre. Parce que les sphères sont concentriques, les planètes resteront toujours à la même distance de la Terre. Ce problème a été signalé dans l'Antiquité par Autolycus of Pitane. Les astronomes ont répondu en introduisant le déférent et l'épicycle, qui ont fait varier la distance d'une planète. Cependant, l'importance d'Eudoxus pour l'astronomie grecque est considérable, car il a été le premier à tenter une explication mathématique des planètes.

Éthique

Aristotle, dans l'Éthique à Nicomaque, attribue à Eudoxus un argument en faveur de l'hédonisme—c'est-à-dire que le plaisir est le bien ultime que l'activité recherche. Selon Aristotle, Eudoxus a avancé les arguments suivants pour cette position:

1. Toutes les choses, rationnelles et irrationnelles, visent le plaisir; les choses visent ce qu'elles croient être bon; une bonne indication de ce que le bien principal est serait la chose que la plupart des choses visent.
2. De même, l'opposé du plaisir—la douleur—est universellement évitée, ce qui fournit un soutien supplémentaire à l'idée que le plaisir est universellement considéré comme bon.
3. Les gens ne recherchent pas le plaisir comme un moyen pour quelque chose d'autre, mais comme une fin en soi.
4. N'importe quel autre bien auquel vous pouvez penser serait meilleur si le plaisir y était ajouté, et ce n'est que par le bien que le bien peut être augmenté.
5. De tous les choses qui sont bonnes, le bonheur est particulier pour ne pas être loué, ce qui peut montrer que c'est le bien suprême.