Como el sol eclipsa las estrellas por su brillo, así el hombre de conocimiento eclipsará la fama de otros en asambleas del pueblo si propone problemas algebraicos, y más aún si los resuelve.
Brahmagupta fue un matemático y astrónomo indio. Es el autor de dos obras tempranas sobre matemáticas y astronomía: la Brāhmasphuṭasiddhānta BSS, "doctrina establecida correctamente de Brahma", fechada en 628, un tratado teórico, y la Khaṇḍakhādyaka "bocado comestible", fechada en 665, un texto más práctico.
Brahmagupta fue el primero en dar reglas para calcular con cero. Los textos compuestos por Brahmagupta estaban en verso elíptico en sánscrito, como era práctica común en las matemáticas indias. Como no se dan demostraciones, se desconoce cómo se derivaron los resultados de Brahmagupta.
Vida y carrera
Brahmagupta nació en 598 d.C. según su propia afirmación. Vivió en Bhillamāla en Gurjaradesa, actual Bhinmal en Rajastán, India, durante el reinado del gobernante de la dinastía Chavda, Vyagrahamukha. Era hijo de Jishnugupta y era hindú de religión, en particular, un Shaivita. Vivió y trabajó allí durante buena parte de su vida. Prithudaka Svamin, un comentarista posterior, lo llamó Bhillamalacharya, el maestro de Bhillamala.
Bhillamala era la capital de Gurjaradesa, el segundo reino más grande de la India Occidental, que comprende Rajastán meridional y Gujarat septentrional en la India moderna. También fue un centro de aprendizaje para las matemáticas y la astronomía. Brahmagupta se convirtió en astrónomo de la escuela Brahmapaksha, una de las cuatro escuelas principales de astronomía india durante este período. Estudió los cinco Siddhartha tradicionales de la astronomía india, así como el trabajo de otros astrónomos incluyendo Aryabhata I, Latadeva, Pradyumna, Varahamihira, Simha, Srisena, Vijayanandin y Vishnuchandra.
En el año 628, a los 30 años, compuso la 'Brāhmasphuṭasiddhānta', el tratado mejorado de Brahma, que se cree que es una versión revisada de la Siddhanta recibida de la escuela de astronomía Brahmapaksha. Los estudiosos afirman que incorporó una gran cantidad de originalidad en su revisión, añadiendo una cantidad considerable de material nuevo. El libro consta de 24 capítulos con 1008 versos en el metro ārya. Gran parte de él trata sobre astronomía, pero también contiene capítulos clave sobre matemáticas, incluyendo álgebra, geometría, trigonometría y algorítmica, que se cree contienen nuevas perspectivas debidas al propio Brahmagupta.
Posteriormente, Brahmagupta se trasladó a Ujjaini, Avanti, que también fue un centro importante de astronomía en la India central. A los 67 años, compuso su siguiente obra bien conocida, Khanda-khādyaka, un manual práctico de astronomía india en la categoría karana destinado a ser utilizado por estudiantes.
Brahmagupta murió en 668 d.C., y se presume que murió en Ujjain.
Controversia
Brahmagupta dirigió una gran cantidad de críticas hacia el trabajo de astrónomos rivales, y su Brahmasphutasiddhanta muestra uno de los primeros cismas entre matemáticos indios. La división fue principalmente sobre la aplicación de las matemáticas al mundo físico, más que sobre las matemáticas en sí. En el caso de Brahmagupta, los desacuerdos surgieron principalmente de la elección de parámetros y teorías astronómicas. Las críticas de teorías rivales aparecen a lo largo de los primeros diez capítulos astronómicos y el capítulo once está completamente dedicado a la crítica de estas teorías, aunque no aparecen críticas en los capítulos doce y dieciocho.
Recepción
El historiador de la ciencia George Sarton lo llamó "uno de los mayores científicos de su raza y el mayor de su tiempo." Los avances matemáticos de Brahmagupta fueron continuados por Bhāskara II, un descendiente directo en Ujjain, quien describió a Brahmagupta como el ganaka-chakra-chudamani, la joya del círculo de matemáticos. Prithudaka Svamin escribió comentarios sobre ambas de sus obras, convirtiendo versos difíciles en lenguaje más simple e ilustraciones. Lalla y Bhattotpala en los siglos VIII y IX escribieron comentarios sobre la Khanda-khadyaka. Más comentarios continuaron siendo escritos hasta el siglo XII.
Pocas décadas después de la muerte de Brahmagupta, Sindh cayó bajo el Califato Árabe en 712 d.C. Se enviaron expediciones a Gurjaradesa "Al-Baylaman en Jurz", según historiadores árabes. El reino de Bhillamala parece haber sido aniquilado, pero Ujjain rechazó los ataques. La corte del Califa Al-Mansur 754–775 recibió una embajada de Sindh, incluyendo un astrólogo llamado Kanaka, quien llevó posiblemente textos astronómicos memorizados, incluyendo los de Brahmagupta. Los textos de Brahmagupta fueron traducidos al árabe por Muhammad al-Fazari, un astrónomo en la corte de Al-Mansur bajo los nombres Sindhind y Arakhand. Un resultado inmediato fue la expansión del sistema numérico decimal utilizado en los textos. El matemático Al-Khwarizmi 800–850 d.C. escribió un texto llamado al-Jam wal-tafriq bi hisal-al-Hind Adición y sustracción en aritmética india, que fue traducido al latín en el siglo XIII como Algorithmi de numero indorum. A través de estos textos, el sistema numérico decimal y los algoritmos de Brahmagupta para la aritmética se han extendido por todo el mundo. Al-Khwarizmi también escribió su propia versión de Sindhind, basándose en la versión de Al-Fazari e incorporando elementos ptolemaicos. El material astronómico indio circuló ampliamente durante siglos, incluso pasando a textos latinos medievales.
Matemáticas
Álgebra
Brahmagupta dio la solución de la ecuación lineal general en el capítulo dieciocho de Brahmasphutasiddhānta,
que es una solución para la ecuación bx + c = dx + e donde rupas se refiere a las constantes c y e. La solución dada es equivalente a x = e − c/b − d. Además, dio dos soluciones equivalentes a la ecuación cuadrática general
18.44. Disminuir por el número medio la raíz cuadrada de las rupas multiplicadas por cuatro veces el cuadrado e incrementadas por el cuadrado del número medio; dividir el resto por dos veces el cuadrado. [El resultado es] el número medio.
18.45. Lo que sea la raíz cuadrada de las rupas multiplicadas por el cuadrado [e] incrementadas por el cuadrado de la mitad de la incógnita, disminuir eso por la mitad de la incógnita [y] dividir [el resto] por su cuadrado. [El resultado es] la incógnita.
que son, respectivamente, soluciones para la ecuación ax2 + bx = c equivalentes a,
y
Continuó resolviendo sistemas de ecuaciones indeterminadas simultáneas, afirmando que la variable deseada debe aislarse primero, y luego la ecuación debe dividirse por el coeficiente de la variable deseada. En particular, recomendó usar "el pulverizador" para resolver ecuaciones con múltiples incógnitas.
18.51. Restar los colores diferentes del primer color. [El resto] dividido por el primero [coeficiente del color] es la medida del primero. [Los términos] dos a dos [se consideran] [cuando se reducen a] divisores similares, [y así] repetidamente. Si hay muchos [colores], el pulverizador [debe ser utilizado].
Como el álgebra de Diofanto, el álgebra de Brahmagupta era sincopada. La adición se indicaba colocando los números uno al lado del otro, la sustracción colocando un punto sobre el sustraendo, y la división colocando el divisor debajo del dividendo, similar a nuestra notación pero sin la barra. La multiplicación, evolución y cantidades desconocidas fueron representadas por abreviaturas de términos apropiados. La medida de la influencia griega en esta sincopación, si la hay, se desconoce y es posible que tanto la sincopación griega como la india puedan derivarse de una fuente babilónica común.
Aritmética
Las cuatro operaciones fundamentales adición, sustracción, multiplicación y división eran conocidas por muchas culturas antes de Brahmagupta. Este sistema actual se basa en el sistema numérico Hindu-Árabe y apareció por primera vez en Brahmasphutasiddhanta. Brahmagupta describe la multiplicación así: "El multiplicando se repite como una cuerda para ganado, tantas veces como hay partes integrantes en el multiplicador y se multiplica repetidamente por ellas y los productos se suman. Es multiplicación. O el multiplicando se repite tantas veces como hay partes componentes en el multiplicador". La aritmética india fue conocida en la Europa Medieval como "Modus Indorum" que significa método de los indios. En Brahmasphutasiddhanta, la multiplicación se llamaba Gomutrika.
Al comienzo del capítulo doce de su Brahmasphutasiddhānta, titulado Cálculo, Brahmagupta detalla operaciones sobre fracciones. Se espera que el lector conozca las operaciones aritméticas básicas hasta obtener la raíz cuadrada, aunque explica cómo encontrar la raíz cúbica y cúbica de un entero y luego da reglas que facilitan el cálculo de cuadrados y raíces cuadradas. Luego da reglas para tratar cinco tipos de combinaciones de fracciones: a/c + b/c; a/c × b/d; a/1 + b/d; a/c + b/d × a/c = ad + b/cd; y a/c − b/d × a/c = ad − b/cd.
Series
Brahmagupta luego procede a dar la suma de los cuadrados y cubos de los primeros n enteros.
Aquí Brahmagupta encontró el resultado en términos de la suma de los primeros n enteros, en lugar de en términos de n como es la práctica moderna.
Da la suma de los cuadrados de los primeros n números naturales como nn + 12n + 1/6 y la suma de los cubos de los primeros n números naturales como nn + 1/22.
Cero
La Brahmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta es el primer libro que proporciona reglas para manipulaciones aritméticas que se aplican al cero y a los números negativos. La Brahmasphutasiddhānta es el texto conocido más antiguo que trata el cero como un número en sí mismo, en lugar de simplemente como un dígito de posición para representar otro número como hacían los babilonios o como un símbolo de falta de cantidad como hacían Ptolomeo y los romanos. En el capítulo dieciocho de su Brahmasphutasiddhānta, Brahmagupta describe operaciones sobre números negativos. Primero describe la adición y la sustracción,
18.30. [La suma] de dos positivos es positiva, de dos negativos negativa; de un positivo y un negativo [la suma] es su diferencia; si son iguales es cero. La suma de un negativo y cero es negativa, [la] de un positivo y cero positiva, [y la] de dos ceros cero.
18.32. Un negativo menos cero es negativo, un positivo [menos cero] positivo; cero [menos cero] es cero. Cuando un positivo debe restarse de un negativo o un negativo de un positivo, entonces debe sumarse.
Continúa describiendo la multiplicación,
18.33. El producto de un negativo y un positivo es negativo, de dos negativos positivo, y de positivos positivo; el producto de cero y un negativo, de cero y un positivo, o de dos ceros es cero.
Pero su descripción de la división por cero difiere de nuestra comprensión moderna:
18.34. Un positivo dividido por un positivo o un negativo dividido por un negativo es positivo; un cero dividido por un cero es cero; un positivo dividido por un negativo es negativo; un negativo dividido por un positivo es [también] negativo.
18.35. Un negativo o un positivo dividido por cero tiene ese [cero] como su divisor, o cero dividido por un negativo o un positivo [tiene ese negativo o positivo como su divisor]. El cuadrado de un negativo o de un positivo es positivo; [el cuadrado] de cero es cero. Lo que es tal que [el cuadrado] es el cuadrado es [su] raíz cuadrada.
Aquí Brahmagupta afirma que / = 0 y en cuanto a la pregunta de a/ donde a ≠ 0 no se comprometió. Sus reglas para la aritmética sobre números negativos y cero son bastante cercanas a la comprensión moderna, excepto que en las matemáticas modernas la división por cero se deja indefinida.
Análisis diofantino
Ternas pitagóricas
En el capítulo doce de su Brahmasphutasiddhanta, Brahmagupta proporciona una fórmula útil para generar ternas pitagóricas:
12.39. La altura de una montaña multiplicada por un multiplicador dado es la distancia a una ciudad; no se borra. Cuando se divide por el multiplicador aumentado en dos, es el salto de uno de los dos que hacen el mismo viaje.
O, en otras palabras, si d = mx/x + 2, entonces un viajero que "salta" verticalmente hacia arriba una distancia d desde la cima de una montaña de altura m, y luego viaja en línea recta a una ciudad a una distancia horizontal mx desde la base de la montaña, viaja la misma distancia que uno que desciende verticalmente por la montaña y luego viaja horizontalmente a la ciudad. Dicho geométricamente, esto dice que si un triángulo rectángulo tiene una base de longitud a = mx y una altitud de longitud b = m + d, entonces la longitud, c, de su hipotenusa se da por c = m1 + x − d. Y, de hecho, la manipulación algebraica elemental muestra que a2 + b2 = c2 siempre que d tenga el valor indicado. Además, si m y x son racionales, también lo son d, a, b y c. Una terna pitagórica puede obtenerse de a, b y c multiplicando cada una de ellas por el mínimo común múltiplo de sus denominadores.
Ecuación de Pell
Brahmagupta continuó dando una relación de recurrencia para generar soluciones a ciertas instancias de ecuaciones diofantinas de la
