Eudoxus of Cnidus

De buena gana me quemaría hasta la muerte como Faetón, si este fuera el precio por llegar al sol y aprender su forma, tamaño y sustancia.

Eudoxo de Cnido fue un antiguo astrónomo griego, matemático, erudito y estudiante de Archytas y Platón. Todas sus obras se han perdido, aunque algunos fragmentos se conservan en el comentario de Hiparco sobre el poema de Arato sobre astronomía. Esféricos de Teodosio de Bitinia puede basarse en una obra de Eudoxo.

Vida

Eudoxo nació y murió en Cnido, también escrito Knidos, que fue una ciudad en la costa suroeste de la actual Turquía. Los años de nacimiento y muerte de Eudoxo no se conocen completamente, pero el rango puede haber sido c. 408 – c. 355 a.C., o c. 390 – c. 337 a.C. Su nombre Eudoxo significa "honrado" o "de buena reputación" εὔδοξος, de eu "bueno" y doxa "opinión, creencia, fama". Es análogo al nombre latino Benedictus.

El padre de Eudoxo, Aéscines de Cnido, le encantaba observar las estrellas por la noche. Eudoxo viajó primero a Tarento para estudiar con Archytas, de quien aprendió matemáticas. Mientras estaba en Italia, Eudoxo visitó Sicilia, donde estudió medicina con Filiston.

A los 23 años, viajó con el médico Teomedón —quien según Diógenes Laercio algunos creían que era su amante— a Atenas para estudiar con los seguidores de Sócrates. Eventualmente asistió a conferencias de Platón y otros filósofos durante varios meses, pero debido a un desacuerdo tuvieron una ruptura. Eudoxo era bastante pobre y solo podía permitirse un apartamento en el Pireo. Para asistir a las conferencias de Platón, caminaba las 7 millas 11 km en cada dirección todos los días. Debido a su pobreza, sus amigos recaudaron fondos suficientes para enviarlo a Heliópolis, Egipto, para continuar su estudio de astronomía y matemáticas. Vivió allí durante 16 meses. Desde Egipto, viajó hacia el norte a Cizico, ubicado en la costa sur del Mar de Mármara, el Ponto Euxino. Viajó hacia el sur a la corte de Mausolio. Durante sus viajes reunió muchos estudiantes propios.

Alrededor del 368 a.C., Eudoxo regresó a Atenas con sus estudiantes. Según algunas fuentes, alrededor del 367 asumió la dirección de la Academia durante el período de Platón en Siracusa, y enseñó a Aristóteles. Eventualmente regresó a su nativa Cnido, donde sirvió en la asamblea de la ciudad. Mientras estaba en Cnido, construyó un observatorio y continuó escribiendo y dando conferencias sobre teología, astronomía y meteorología. Tuvo un hijo, Aristágoras, y tres hijas, Actis, Fíltis y Delfis.

En astronomía matemática, su fama se debe a la introducción de las esferas concéntricas y sus primeras contribuciones a la comprensión del movimiento de los planetas.

Su trabajo sobre proporciones muestra perspicacia en los números reales; permite el tratamiento riguroso de cantidades continuas y no solo números enteros o incluso números racionales. Cuando fue revivido por Tartaglia y otros en el siglo XVI, se convirtió en la base del trabajo cuantitativo en la ciencia durante un siglo, hasta que fue reemplazado por Richard Dedekind.

Los cráteres en Marte y la Luna llevan su nombre. Una curva algebraica, la Kampyle de Eudoxo, también lleva su nombre.

Matemáticas

Eudoxo es considerado por algunos como el mayor de los matemáticos griegos clásicos, y en toda la Antigüedad segundo solo después de Arquímedes. Eudoxo fue probablemente la fuente de la mayor parte del libro V de los Elementos de Euclides. Desarrolló rigurosamente el método de exhaustión de Antifón, un precursor del cálculo integral que también fue utilizado de manera magistral por Arquímedes en el siglo siguiente. Al aplicar el método, Eudoxo demostró proposiciones matemáticas como: las áreas de los círculos son entre sí como los cuadrados de sus radios, los volúmenes de las esferas son entre sí como los cubos de sus radios, el volumen de una pirámide es un tercio del volumen de un prisma con la misma base y altura, y el volumen de un cono es un tercio del de un cilindro correspondiente.

Eudoxo introdujo la idea de magnitud matemática no cuantificada para describir y trabajar con entidades geométricas continuas como líneas, ángulos, áreas y volúmenes, evitando así el uso de números irracionales. Al hacerlo, invirtió un énfasis pitagórico en número y aritmética, enfocándose en cambio en conceptos geométricos como la base de las matemáticas rigurosas. Algunos pitagóricos, como el maestro de Eudoxo Archytas, habían creído que solo la aritmética podía proporcionar una base para las pruebas. Inducido por la necesidad de entender y operar con cantidades inconmensurables, Eudoxo estableció lo que puede haber sido la primera organización deductiva de las matemáticas sobre la base de axiomas explícitos. El cambio de enfoque de Eudoxo estimuló una división en las matemáticas que duró dos mil años. En combinación con una actitud intelectual griega despreocupada por los problemas prácticos, siguió un retroceso significativo en el desarrollo de técnicas en aritmética y álgebra.

Los pitagóricos habían descubierto que la diagonal de un cuadrado no tiene una unidad común de medición con los lados del cuadrado; este es el famoso descubrimiento de que la raíz cuadrada de 2 no puede expresarse como la razón de dos enteros. Este descubrimiento había anunciado la existencia de cantidades inconmensurables más allá de los enteros y fracciones racionales, pero al mismo tiempo cuestionó la idea de medición y cálculos en la geometría en su conjunto. Por ejemplo, Euclides proporciona una elaborada prueba del teorema de Pitágoras, Elementos I.47, utilizando la adición de áreas y solo mucho más tarde, Elementos VI.31, una prueba más simple de triángulos similares, que se basa en razones de segmentos de línea.

Los antiguos matemáticos griegos no calculaban con cantidades y ecuaciones como lo hacemos hoy, sino que utilizaban proporcionalidades para expresar la relación entre cantidades. Por lo tanto, la razón de dos cantidades similares no era solo un valor numérico, como pensamos hoy; la razón de dos cantidades similares era una relación primitiva entre ellas.

Eudoxo fue capaz de restaurar la confianza en el uso de proporcionalidades al proporcionar una definición asombrosa para el significado de la igualdad entre dos razones. Esta definición de proporción forma el tema del Libro V de Euclides.

En la Definición 5 del Libro V de Euclides leemos:

Se dice que las magnitudes están en la misma razón, la primera a la segunda y la tercera a la cuarta cuando, si se toman cualesquiera equimúltiplos de la primera y tercera, y cualesquiera equimúltiplos de la segunda y cuarta, los equimúltiplos anteriores exceden igualmente, son igualmente iguales a, o igualmente menores que, los equimúltiplos posteriores respectivamente tomados en orden correspondiente.

Utilizando la notación moderna, esto se aclara de la siguiente manera. Si tomamos cuatro cantidades: a, b, c y d, entonces la primera y segunda tienen una razón a / b.

Ahora para decir que a / b = c / d hacemos lo siguiente: Para cualesquiera dos enteros arbitrarios, m y n, formamos los equimúltiplos m·a y m·c de la primera y tercera; igualmente formamos los equimúltiplos n·b y n·d de la segunda y cuarta.

Si ocurre que m·a > n·b, entonces también debemos tener m·c > n·d. Si ocurre que m·a = n·b, entonces también debemos tener m·c = n·d. Finalmente, si ocurre que m·a < n·b, entonces también debemos tener m·c < n·d.

Observa que la definición depende de comparar las cantidades similares m·a y n·b, y las cantidades similares m·c y n·d, y no depende de la existencia de una unidad común de medición de estas cantidades.

La complejidad de la definición refleja la profunda innovación conceptual y metodológica implicada. Recuerda el famoso quinto postulado de Euclides sobre paralelas, que es más extenso y complicado en su formulación que los otros postulados.

La definición eudoxiana de proporcionalidad utiliza el cuantificador, "para todo ..." para dominar lo infinito e infinitesimal, tal como lo hacen las modernas definiciones epsilon-delta de límite y continuidad.

Además, la propiedad arquimediana expresada como definición 4 del libro V de Euclides originalmente no se debe a Arquímedes sino a Eudoxo.

Astronomía

En la antigua Grecia, la astronomía era una rama de las matemáticas; los astrónomos buscaban crear modelos geométricos que pudieran imitar las apariencias de los movimientos celestes. Identificar el trabajo astronómico de Eudoxo como una categoría separada es por lo tanto una conveniencia moderna. Algunos de los textos astronómicos de Eudoxo cuyos nombres han sobrevivido incluyen:

• Desapariciones del Sol, posiblemente sobre eclipses
• Oktaeteris Ὀκταετηρίς, sobre un ciclo lunisolar-venusiano de ocho años del calendario
• Phaenomena Φαινόμενα y Entropon Ἔντροπον, sobre astronomía esférica, probablemente basado en observaciones realizadas por Eudoxo en Egipto y Cnido
• Sobre Velocidades, sobre movimientos planetarios

Estamos bastante bien informados sobre el contenido de Phaenomena, pues el texto en prosa de Eudoxo fue la base de un poema del mismo nombre de Arato. Hiparco citó del texto de Eudoxo en su comentario sobre Arato.

Modelos planetarios eudoxianos

Una idea general del contenido de Sobre Velocidades puede obtenerse de la Metafísica XII, 8 de Aristóteles, y un comentario de Simplicio de Cilicia (siglo VI d.C.) sobre De caelo, otra obra de Aristóteles. Según una historia reportada por Simplicio, Platón planteó una pregunta a los astrónomos griegos: "¿Por supuesto de qué movimientos uniformes y ordenados pueden explicarse los movimientos aparentes de los planetas?" citado en Lloyd 1970, p. 84. Platón propuso que los movimientos aparentemente caóticos y errantes de los planetas podrían explicarse por combinaciones de movimientos circulares uniformes centrados en una Tierra esférica, aparentemente una idea novedosa en el siglo IV a.C.

En la mayoría de las reconstrucciones modernas del modelo eudoxiano, a la Luna se le asignan tres esferas:

• La más externa gira hacia el oeste una vez en 24 horas, explicando el orto y el ocaso.
• La segunda gira hacia el este una vez al mes, explicando el movimiento mensual de la Luna a través del zodiaco.
• La tercera también completa su revolución en un mes, pero su eje está inclinado en un ángulo ligeramente diferente, explicando el movimiento en latitud desviación de la eclíptica, y el movimiento de los nodos lunares.

Al Sol también se le asignan tres esferas. La segunda completa su movimiento en un año en lugar de un mes. La inclusión de una tercera esfera implica que Eudoxo creía erróneamente que el Sol tenía movimiento en latitud.

Los cinco planetas visibles Venus, Mercurio, Marte, Júpiter y Saturno reciben cuatro esferas cada uno:

• La más externa explica el movimiento diario.
• La segunda explica el movimiento del planeta a través del zodiaco.
• La tercera y cuarta juntas explican la retrogradación, cuando un planeta parece desacelerarse, luego invertir brevemente su movimiento a través del zodiaco. Al inclinar los ejes de las dos esferas una con respecto a la otra, y rotarlas en direcciones opuestas pero con períodos iguales, Eudoxo podría hacer que un punto en la esfera interior trazara una forma de ocho, u hipopeda.

Importancia del sistema eudoxiano

Calipo, un astrónomo griego del siglo IV, agregó siete esferas a las 27 originales de Eudoxo. Además de las esferas planetarias, Eudoxo incluyó una esfera para las estrellas fijas. Aristóteles describió ambos sistemas, pero insistió en agregar esferas de "despliegue" entre cada conjunto de esferas para cancelar los movimientos del conjunto externo. Aristóteles estaba preocupado por la naturaleza física del sistema; sin despliegues, los movimientos externos se transferirían a los planetas interiores.

Un defecto importante en el sistema eudoxiano es su incapacidad para explicar los cambios en el brillo de los planetas vistos desde la Tierra. Dado que las esferas son concéntricas, los planetas siempre permanecerán a la misma distancia de la Tierra. Este problema fue señalado en la Antigüedad por Autólico de Pitane. Los astrónomos respondieron introduciendo el deferente y el epiciclo, que causaron que un planeta variara su distancia. Sin embargo, la importancia de Eudoxo para la astronomía griega es considerable, ya que fue el primero en intentar una explicación matemática de los planetas.

Ética

Aristóteles, en la Ética a Nicómaco, atribuye a Eudoxo un argumento a favor del hedonismo —es decir, que el placer es el bien final que la actividad persigue. Según Aristóteles, Eudoxo presentó los siguientes argumentos para esta posición:

1. Todas las cosas, racionales e irracionales, apuntan al placer; las cosas apuntan a lo que creen que es bueno; una buena indicación de cuál es el bien principal sería la cosa a la que la mayoría de las cosas apuntan.
2. De manera similar, el opuesto del placer —el dolor— es universalmente evitado, lo que proporciona apoyo adicional para la idea de que el placer se considera universalmente bueno.
3. Las personas no buscan el placer como un medio para otra cosa, sino como un fin en sí mismo.
4. Cualquier otro bien que puedas pensar sería mejor si se le añadiera placer, y es solo por lo bueno que lo bueno puede aumentar.
5. De todas las cosas que son buenas, la felicidad es peculiar por no ser elogiada, lo que puede mostrar que es el bien supremo.