Da die Natur nicht mehr als drei Dimensionen zulässt ... kann es gerechterweise sehr unangemessen erscheinen, von einem Körper zu sprechen ... der in eine vierte, fünfte, sechste oder weitere Dimension gezogen wird.
John Wallis war ein englischer Geistlicher und Mathematiker, dem teilweise die Entwicklung der Infinitesimalrechnung zugeschrieben wird. Zwischen 1643 und 1689 diente er als Chefkryptograph für das Parlament und später für den königlichen Hof. Er wird dafür anerkannt, das Symbol ∞ zur Darstellung des Konzepts der Unendlichkeit eingeführt zu haben. Er verwendete ähnlich 1/∞ für eine infinitesimale Größe. John Wallis war ein Zeitgenosse Newtons und einer der größten Intellektuellen der frühen Renaissance der Mathematik.
Leben
John Wallis wurde in Ashford, Kent geboren. Er war das dritte von fünf Kindern von Reverend John Wallis und Joanna Chapman. Er wurde zunächst in einer Schule in Ashford ausgebildet, zog aber 1625 nach James Movats Schule in Tenterden um, nachdem ein Pestausbruch stattgefunden hatte. Wallis wurde 1631 in der Felsted School, damals als Martin Holbeachs Schule in Felsted bekannt, zum ersten Mal mit Mathematik konfrontiert; er mochte Mathematik, aber sein Studium war unregelmäßig, da „Mathematik zu dieser Zeit bei uns kaum als akademische Studien betrachtet wurde, sondern eher als mechanisch" Scriba 1970. In der Schule in Felsted lernte Wallis, Latein zu sprechen und zu schreiben. Zu dieser Zeit war er auch fließend in Französisch, Griechisch und Hebräisch. Da beabsichtigt war, dass er Arzt werden sollte, wurde er 1632 zum Emmanuel College, Cambridge geschickt. Dort führte er eine Debatte über die Lehre der Blutkreislauftheorie auf; dies soll die erste Gelegenheit in Europa gewesen sein, bei der diese Theorie öffentlich in einer Disputation vertreten wurde. Seine Interessen lagen jedoch auf der Mathematik. Er erhielt seinen Bachelor of Arts Grad 1637 und einen Master 1640, woraufhin er ins Priestertum eintrat. Von 1643 bis 1649 diente er als stimmloser Schreiber in der Westminster Assembly. Er wurde 1644 in ein Fellowship am Queens' College, Cambridge gewählt, von dem er nach seiner Heirat zurücktreten musste.
Während dieser Zeit war Wallis der Parlamentarierpartei nahegekommen, vielleicht aufgrund seiner Exposition gegenüber Holbeach an der Felsted School. Er leistete ihnen große praktische Hilfe beim Entziffern königlicher Depechen. Die Qualität der Kryptographie zu dieser Zeit war uneinheitlich; trotz der einzelnen Erfolge von Mathematikern wie François Viète wurden die Prinzipien, die der Chiffrengestaltung und -analyse zugrunde liegen, sehr schlecht verstanden. Die meisten Chiffren waren Ad-hoc-Methoden, die sich auf einen geheimen Algorithmus stützten, im Gegensatz zu Systemen basierend auf einem variablen Schlüssel. Wallis erkannte, dass letztere viel sicherer waren – er beschrieb sie sogar als „unzerbrechlich", war sich aber nicht sicher genug in dieser Aussage, um die Enthüllung kryptografischer Algorithmen zu fördern. Er war auch besorgt über die Verwendung von Chiffren durch fremde Mächte und weigerte sich beispielsweise, Gottfried Leibniz' Anfrage von 1697 zu erfüllen, hannoversche Studenten über Kryptographie zu unterrichten.
Nach seiner Rückkehr nach London – er war 1643 zum Kaplan an St Gabriel Fenchurch ernannt worden – trat Wallis der Gruppe von Wissenschaftlern bei, die sich später zur Royal Society entwickelte. Er konnte sich endlich seinen mathematischen Interessen widmen und meisterte William Oughtreds Clavis Mathematicae in wenigen Wochen im Jahr 1647. Bald begann er, seine eigenen Abhandlungen zu schreiben, die sich mit einer breiten Palette von Themen befassten, die er für den Rest seines Lebens fortsetzte. Wallis schrieb die erste Übersicht über mathematische Konzepte in England, in der er das Hindu-Arabische System diskutierte.
Wallis schloss sich den gemäßigten Presbyterianern an und unterzeichnete die Protestnote gegen die Hinrichtung von Charles I., wodurch er die dauerhafte Feindseligkeit der Unabhängigen erregte. Trotz ihrer Opposition wurde er 1649 auf den Savilian Chair of Geometry an der Oxford University ernannt, wo er bis zu seinem Tod am 8. November 1703 lebte. 1650 wurde Wallis als Minister ordiniert. Danach verbrachte er zwei Jahre als Privatkaplan bei Sir Richard Darley und Lady Vere. 1661 war er einer von zwölf presbyterianischen Vertretern auf der Savoy Conference.
Neben seinen mathematischen Werken schrieb er über Theologie, Logik, englische Grammatik und Philosophie, und er war an der Entwicklung eines Systems zum Unterrichten eines gehörlosen Jungen beteiligt, um in Littlecote House zu sprechen. William Holder hatte zuvor einen gehörlosen Mann, Alexander Popham, gelehrt, „deutlich und klar und mit guten und anmutigen Tönen" zu sprechen. Wallis beanspruchte später die Anerkennung dafür, was Holder dazu führte, Wallis zu beschuldigen, „die Besitztümer seiner Nachbarn zu berauben und sich mit deren Beute zu schmücken".
Wallis' Ernennung zum Savilian Professor of Geometry an der Oxford University
Die Parlamentarische Visitation von Oxford, die 1647 begann, entfernte viele hochrangige Akademiker aus ihren Positionen, einschließlich im November 1648 der Savilian Professors of Geometry and Astronomy. 1649 wurde Wallis zum Savilian Professor of Geometry ernannt. Wallis scheint weitgehend aus politischen Gründen gewählt worden zu sein, wie vielleicht auch sein königlistreuer Vorgänger Peter Turner, der trotz seiner Ernennung zu zwei Professuren nie mathematische Werke veröffentlichte; während Wallis vielleicht der führende Kryptograph der Nation war und Teil einer informellen Gruppe von Wissenschaftlern, die später die Royal Society werden würde, hatte er keinen besonderen Ruf als Mathematiker. Dennoch erwies sich Wallis' Ernennung durch seine nachfolgende Arbeit während der 54 Jahre, in denen er als Savilian Professor diente, als außerordentlich gerechtfertigt.
Beiträge zur Mathematik
Wallis leistete bedeutende Beiträge zur Trigonometrie, Kalkül, Geometrie und der Analyse unendlicher Reihen. In seiner Opera Mathematica I 1695 führte er den Begriff „Kettenbruch" ein.
Wallis lehnte die heute übliche Idee einer negativen Zahl als Größe, die kleiner als nichts ist, als absurd ab, akzeptierte aber die Ansicht, dass sie etwas Größeres als Unendlichkeit ist. Das Argument, dass negative Zahlen größer als Unendlichkeit sind, beinhaltet den Quotienten 1 x und die Überlegung, was geschieht, wenn x sich dem Punkt x = 0 von der positiven Seite nähert und dann überschreitet. Trotzdem wird er allgemein als Urheber der Idee der Zahlenlinie anerkannt, in der Zahlen geometrisch in einer Linie dargestellt werden, wobei die negativen Zahlen durch Längen dargestellt werden, die in entgegengesetzter Richtung zu Längen positiver Zahlen sind.
Analytische Geometrie
1655 veröffentlichte Wallis eine Abhandlung über Kegelschnitte, in der sie analytisch definiert wurden. Dies war das früheste Buch, in dem diese Kurven als Kurven zweiten Grades betrachtet und definiert werden. Es trug dazu bei, einige der wahrgenommenen Schwierigkeiten und Dunkelheit in René Descartes' Werk über analytische Geometrie zu beseitigen. In der Treatise on the Conic Sections popularisierte Wallis das Symbol ∞ für Unendlichkeit. Er schrieb: „Ich nehme an, dass jede Ebene nach der Geometrie der Unteilbaren von Cavalieri aus einer unendlichen Anzahl paralleler Linien oder, wie ich es lieber hätte, aus einer unendlichen Anzahl von Parallelogrammen gleicher Höhe zusammengesetzt ist; die Höhe von jedem dieser sollte ein unendlich kleiner Teil 1/∞ der Gesamthöhe sein, und das Symbol ∞ bezeichne Unendlichkeit und die Höhe aller, um die Höhe der Figur zu bilden."
Integralrechnung
Arithmetica Infinitorum, das wichtigste von Wallis' Werken, wurde 1656 veröffentlicht. In dieser Abhandlung wurden die Analysemethoden von Descartes und Cavalieri systematisiert und erweitert, doch einige Ideen waren kritikwürdig. Er begann nach einer kurzen Abhandlung über Kegelschnitte damit, die Standardnotation für Potenzen zu entwickeln und sie von positiven ganzen Zahlen auf rationale Zahlen auszudehnen:
Nachdem er die zahlreichen algebraischen Anwendungen dieser Entdeckung beiseite ließ, machte er sich daran, durch Integration die Fläche zu finden, die zwischen der Kurve y = xm, der x-Achse und einer beliebigen Ordinate x = h eingeschlossen ist, und er bewies, dass das Verhältnis dieser Fläche zu der des Parallelogramms auf der gleichen Basis und der gleichen Höhe 1/m + 1 ist, wobei Cavalieris Quadraturformel erweitert wird. Er nahm anscheinend an, dass das gleiche Ergebnis auch für die Kurve y = axm gültig wäre, wobei a eine beliebige Konstante und m eine beliebige positive oder negative Zahl ist, diskutierte jedoch nur den Fall der Parabel, in der m = 2, und der Hyperbel, in der m = −1. Im letzteren Fall ist seine Interpretation des Ergebnisses falsch. Dann zeigte er, dass ähnliche Ergebnisse für jede Kurve der Form aufgeschrieben werden können
und daher, dass, wenn die Ordinate y einer Kurve in Potenzen von x entwickelt werden kann, ihre Fläche bestimmt werden kann: somit sagt er, dass wenn die Gleichung der Kurve y = x + x1 + x2 + ... ist, ihre Fläche x + x2/2 + x3/3 + ... wäre. Anschließend wendete er dies auf die Quadratur der Kurven y = x − x2, y = x − x21, y = x − x22, usw., zwischen den Grenzen x = 0 und x = 1 an. Er zeigt, dass die Flächen jeweils 1, 1/6, 1/30, 1/140 usw. sind. Er betrachtete dann Kurven der Form y = x1/m und stellte den Satz auf, dass die von dieser Kurve und den Linien x = 0 und x = 1 begrenzte Fläche gleich der Fläche des Rechtecks auf der gleichen Basis und der gleichen Höhe wie m : m + 1 ist. Dies entspricht der Berechnung
Er veranschaulichte dies mit der Parabel, wobei m = 2 ist. Er stellte fest, aber bewies nicht, das entsprechende Ergebnis für eine Kurve der Form y = xp/q.
Wallis zeigte beträchtliche Geschicklichkeit beim Reduzieren der Gleichungen von Kurven auf die oben angegebenen Formen, konnte aber, da er den Binomialsatz nicht kannte, die Quadratur des Kreises nicht durchführen, dessen Gleichung y = 1 − x 2 als geometrisches Mittel der Werte von
angesehen werden könnte, das heißt, 1 und 2 3 sollten so gewählt werden, dass sie dem Gesetz dieser Reihe gehorchen. Dies führt durch eine aufwändige Methode, die hier nicht im Detail beschrieben wird, zu einem Wert für den interpolierten Term, der äquivalent zu
ist, was jetzt als das Wallis-Produkt bekannt ist.
In dieser Arbeit werden auch die Bildung und Eigenschaften von Kettenbrüchen erörtert, wobei das Thema durch Brunckers Verwendung dieser Brüche in den Vordergrund gerückt wurde.
Ein paar Jahre später, 1659, veröffentlichte Wallis eine Abhandlung mit der Lösung der Probleme auf der Zykloide, die von Blaise Pascal vorgeschlagen worden waren. Darin erklärte er beiläufig, wie die in seiner Arithmetica Infinitorum festgelegten Prinzipien für die Berichtigung algebraischer Kurven verwendet werden könnten, und gab eine Lösung des Problems, die Länge der semikubischen Parabel x3 = ay2 zu berichtigen, die 1657 von seinem Schüler William Neile entdeckt worden war. Da alle Versuche, die Ellipse und Hyperbel zu berichtigen, notwendigerweise erfolglos waren, wurde angenommen, dass keine Kurven berichtigt werden könnten, wie Descartes tatsächlich eindeutig behauptet hatte. Die logarithmische Spirale war von Evangelista Torricelli berichtigt worden und war die erste gekrümmte Linie neben dem Kreis, dessen Länge bestimmt wurde, aber die Erweiterung durch Neile und Wallis auf eine algebraische Kurve war neu. Die Zykloide war die nächste berichtigte Kurve; dies wurde 1658 von Christopher Wren durchgeführt.
Anfang 1658 wurde eine ähnliche Entdeckung, unabhängig von der Neiles, von van Heuraët gemacht, und diese wurde 1659 von van Schooten in seiner Ausgabe von Descartes' Geometria veröffentlicht. Van Heuraëts Methode ist wie folgt. Er nimmt an, dass die Kurve auf rechteckige Achsen bezogen wird; wenn dies der Fall ist und x, y die Koordinaten eines beliebigen Punktes darauf sind und n die Länge der Normalen ist, und wenn ein anderer Punkt, dessen Koordinaten x, η sind, so genommen wird, dass η : h = n : y, wobei h eine Konstante ist; wenn dann ds das Element der Länge der erforderlichen Kurve ist, so haben wir durch ähnliche Dreiecke ds : dx = n : y. Daher h ds = η dx. Daher, wenn die Fläche des Ortes des Punktes x, η gefunden werden kann, kann die erste Kurve berichtigt werden. Auf diese Weise effektuierte van Heuraët die Berichtigung der Kurve y3 = ax2 fügte aber hinzu, dass die Berichtigung der Parabel y2 = ax unmöglich ist, da sie die Quadratur der Hyperbel erfordert. Die Lösungen von Neile und Wallis sind der von van Heuraët gegebenen Lösung einigermaßen ähnlich, doch es wird keine allgemeine Regel formuliert, und die Analyse ist umständlich. Eine dritte Methode wurde 1660 von Fermat vorgeschlagen, aber sie ist inelegant und mühsam.
Kollision von Körpern
Die Theorie der Kollision von Körpern wurde 1668 von der Royal Society zur Überlegung durch Mathematiker vorgebracht. Wallis, Christopher Wren und Christian Huygens schickten richtige und ähnliche Lösungen, die alle auf das jetzt als Impulserhaltung bekannte Prinzip angewiesen sind; aber während Wren und Huygens ihre Theorie auf vollkommen elastische Körper (elastische Kollision) beschränkten, betrachtete Wallis auch unvollkommen elastische Körper (unelastische Kollision). Dies folgte 1669 durch ein Werk über Statik (Schwerpunkte) und 1670 durch eines über Dynamik: diese bieten einen bequemen Überblick über das, was damals über das Thema bekannt war.
Algebra
1685 veröffentlichte Wallis Algebra, dem eine historische Darstellung der Entwicklung des Themas vorausging, die eine Fülle wertvollen Informationen enthält. Die zweite Ausgabe, 1693 veröffentlicht und den zweiten Band seiner Opera bildend, wurde erheblich erweitert. Diese Algebra ist bemerkenswert dafür, dass sie die erste systematische Verwendung von Formeln enthält. Eine gegebene Größe wird hier durch das numerische Verhältnis dargestellt, das sie zur Einheit der gleichen Art von Größe trägt: somit betrachtet Wallis jede als mehrere Einheiten der Länge enthaltend, wenn er zwei Längen vergleichen möchte. Dies wird vielleicht klarer, wenn man bemerkt, dass die Beziehung zwischen dem in beliebiger Zeit von einem Teilchen, das sich mit einheitlicher Geschwindigkeit bewegt, beschriebenen Raum von Wallis durch die Formel gekennzeichnet wird
s = vt,
wobei s die Zahl ist, die das Verhältnis des beschriebenen Raums zur Längeneinheit darstellt; während
