Gottlob Frege

Jeder gute Mathematiker ist mindestens zur Hälfte Philosoph, und jeder gute Philosoph ist mindestens zur Hälfte Mathematiker.

Friedrich Ludwig Gottlob Frege war ein deutscher Philosoph, Logiker und Mathematiker. Er arbeitete als Mathematikprofessor an der Universität Jena und wird von vielen als der Vater der analytischen Philosophie verstanden, die sich auf die Philosophie der Sprache, Logik und Mathematik konzentriert. Obwohl er zu Lebzeiten weitgehend ignoriert wurde, führten Giuseppe Peano 1858–1932, Bertrand Russell 1872–1970 und in gewissem Maße Ludwig Wittgenstein 1889–1951 seine Arbeiten späteren Generationen von Philosophen ein.

Seine Beiträge umfassen die Entwicklung der modernen Logik in der Begriffsschrift und Arbeiten zu den Grundlagen der Mathematik. Sein Buch die Grundlagen der Arithmetik ist der grundlegende Text des logizistischen Projekts und wird von Michael Dummett als Ort der sprachlichen Wende angeführt. Seine philosophischen Arbeiten „Über Sinn und Bedeutung" und „Der Gedanke" werden ebenfalls häufig zitiert. Die erstere argumentiert für zwei verschiedene Arten von Bedeutung und Deskriptivismus. In den Grundlagen und „Der Gedanke" argumentiert Frege für Platonismus gegen Psychologismus oder Formalismus bezüglich Zahlen und Propositionen. Russells Paradoxie untergrub das logizistische Projekt, indem sie zeigte, dass Freges Grundgesetz V in den Grundlagen falsch ist.

Leben

Kindheit 1848–69

Frege wurde 1848 in Wismar, Mecklenburg-Schwerin, heute Teil von Mecklenburg-Vorpommern, geboren. Sein Vater Carl Karl Alexander Frege 1809–1866 war Mitbegründer und Direktor einer Mädchenschule bis zu seinem Tod. Nach Carls Tod wurde die Schule von Freges Mutter Auguste Wilhelmine Sophie Frege geb. Bialloblotzky, 12. Januar 1815 – 14. Oktober 1898, geleitet; ihre Mutter war Auguste Amalia Maria Ballhorn, eine Nachfahrin von Philipp Melanchthon, und ihr Vater war Johann Heinrich Siegfried Bialloblotzky, ein Nachfahre einer polnischen Adelsfamilie, die Polen im 17. Jahrhundert verließ.

In der Kindheit begegnete Frege Philosophien, die seine zukünftige wissenschaftliche Karriere lenken würden. Zum Beispiel schrieb sein Vater ein Lehrbuch über die deutsche Sprache für Kinder im Alter von 9–13 Jahren mit dem Titel Hülfsbuch zum Unterrichte in der deutschen Sprache für Kinder von 9 bis 13 Jahren 2. Aufl., Wismar 1850; 3. Aufl., Wismar und Ludwigslust: Hinstorff, 1862 Hilfsbuch zum Unterrichten von Deutsch für Kinder von 9 bis 13 Jahren, dessen erster Abschnitt sich mit der Struktur und Logik der Sprache befasste.

Frege studierte an der Große Stadtschule Wismar und schloss 1869 ab. Sein Lehrer Gustav Adolf Leo Sachse 5. November 1843 – 1. September 1909, ein Dichter, spielte die wichtigste Rolle bei der Bestimmung von Freges zukünftiger wissenschaftlicher Karriere und ermutigte ihn, seine Studien an der Universität Jena fortzusetzen.

Studium an der Universität 1869–74

Frege schrieb sich im Frühjahr 1869 als Bürger des Norddeutschen Bundes an der Universität Jena ein. In den vier Semestern seines Studiums besuchte er ungefähr zwanzig Vorlesungen, die meisten über Mathematik und Physik. Sein wichtigster Lehrer war Ernst Karl Abbe 1840–1905; Physiker, Mathematiker und Erfinder. Abbe hielt Vorlesungen über Gravitationstheorie, Galvanismus und Elektrodynamik, komplexe Analysetheorie von Funktionen einer komplexen Variablen, Anwendungen der Physik, ausgewählte Divisionen der Mechanik und Festkörpermechanik. Abbe war mehr als nur ein Lehrer für Frege: er war ein vertrauter Freund und als Direktor des optischen Herstellers Carl Zeiss AG in der Lage, Freges Karriere zu fördern. Nach Freges Abschluss kamen sie in engere Korrespondenz.

Seine anderen bemerkenswerten Universitätslehrer waren Christian Philipp Karl Snell 1806–86; Fachgebiete: Anwendung der Infinitesimalanalysis in der Geometrie, analytische Geometrie der Ebenen, analytische Mechanik, Optik, physikalische Grundlagen der Mechanik; Hermann Karl Julius Traugott Schaeffer 1824–1900; analytische Geometrie, angewandte Physik, algebraische Analyse, über den Telegraph und andere elektronische Maschinen; und der Philosoph Kuno Fischer 1824–1907; Kantische und kritische Philosophie.

Ab 1871 setzte Frege sein Studium in Göttingen fort, der führenden Universität für Mathematik im deutschsprachigen Raum, wo er an Vorlesungen von Rudolf Friedrich Alfred Clebsch 1833–72 teilnahm; analytische Geometrie, Ernst Christian Julius Schering 1824–97; Funktionentheorie, Wilhelm Eduard Weber 1804–91; physikalische Studien, angewandte Physik, Eduard Riecke 1845–1915; Elektrizitätstheorie, und Hermann Lotze 1817–81; Religionsphilosophie. Viele der philosophischen Lehren des reifen Frege haben Parallelen bei Lotze; es war Gegenstand wissenschaftlicher Debatten, ob es einen direkten Einfluss von Lotzes Vorlesungen auf Freges Ansichten gab oder nicht.

1873 erreichte Frege seinen Doktortitel unter Ernst Christian Julius Schering mit einer Dissertation mit dem Titel „Ueber eine geometrische Darstellung der imaginären Gebilde in der Ebene" „Über eine geometrische Darstellung imaginärer Gebilde in der Ebene", in der er darauf abzielte, grundlegende Probleme der Geometrie wie die mathematische Interpretation der unendlich fernen imaginären Punkte der projektiven Geometrie zu lösen.

Frege heiratete Margarete Katharina Sophia Anna Lieseberg 15. Februar 1856 – 25. Juni 1904 am 14. März 1887.

Arbeit als Logiker

Obwohl sich seine Ausbildung und frühe mathematische Arbeit hauptsächlich auf Geometrie konzentrierte, wandte sich Freges Arbeit bald der Logik zu. Seine Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens , Halle a/S: Verlag von Louis Nebert, 1879 markierte einen Wendepunkt in der Geschichte der Logik. Die Begriffsschrift brach neues Terrain auf, einschließlich einer strengen Behandlung der Ideen von Funktionen und Variablen. Freges Ziel war es zu zeigen, dass Mathematik aus Logik hervorgeht, und dabei entwickelte er Techniken, die ihn weit über die aristotelische Syllogistik und stoische propositionale Logik hinausbrachten, die ihm in der logischen Tradition überliefert worden waren.

Tatsächlich erfand Frege im großen Maße dank seiner Erfindung quantifizierter Variablen die axiomatische Prädikatenlogik, die schließlich in Mathematik und Logik allgegenwärtig wurde und das Problem der mehrfachen Allgemeinheit löste. Die frühere Logik hatte sich mit den logischen Konstanten und, oder, wenn...dann..., nicht sowie einige und alle befasst, aber Iterationen dieser Operationen, besonders „einige" und „alle", waren wenig verstanden: selbst die Unterscheidung zwischen einem Satz wie „jeder Junge liebt ein Mädchen" und „ein Mädchen wird von jedem Jungen geliebt" konnte nur sehr künstlich dargestellt werden, während Freges Formalismus keine Schwierigkeit hatte, die verschiedenen Lesarten von „jeder Junge liebt ein Mädchen, das einen Jungen liebt, der ein Mädchen liebt" und ähnliche Sätze vollständig parallel zu seiner Behandlung von beispielsweise „jeder Junge ist dumm" auszudrücken.

Ein häufig zitiertes Beispiel ist, dass Aristoteles' Logik mathematische Aussagen wie Euklids Satz, eine grundlegende Aussage der Zahlentheorie, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, nicht darstellen kann. Freges „Begriffsnotation" kann jedoch solche Schlussfolgerungen darstellen. Die Analyse logischer Konzepte und die Formalisierungsmaschinerie, die für Principia Mathematica 3 Bde., 1910–13, von Bertrand Russell, 1872–1970, und Alfred North Whitehead, 1861–1947, für Russells Beschreibungstheorie, für Kurt Gödels 1906–78 Unvollständigkeitssätze und für Alfred Tarskis 1901–83 Wahrheitstheorie wesentlich ist, geht letztendlich auf Frege zurück.

Einer von Freges erklärten Zwecken war es, genuisch logische Inferenzprinzipien zu isolieren, damit man in der richtigen Darstellung eines mathematischen Beweises niemals zur „Intuition" appellieren würde. Wenn es ein intuitives Element gab, sollte es isoliert und separat als Axiom dargestellt werden: von da an sollte der Beweis rein logisch und ohne Lücken sein. Nachdem er diese Möglichkeit gezeigt hatte, war Freges größerer Zweck, die Ansicht zu verteidigen, dass Arithmetik ein Zweig der Logik ist, eine Ansicht, die als Logizismus bekannt ist: Im Gegensatz zur Geometrie sollte die Arithmetik gezeigt werden, dass sie keine Grundlage in „Intuition" hat und keine Notwendigkeit für nicht-logische Axiome. Bereits in der Begriffsschrift von 1879 wurden wichtige vorläufige Sätze, zum Beispiel eine verallgemeinerte Form des Gesetzes der Trichotomie, im Rahmen dessen abgeleitet, was Frege als reine Logik verstand.

Diese Idee wurde in nicht-symbolischen Begriffen in seinem The Foundations of Arithmetic Die Grundlagen der Arithmetik, 1884 formuliert. Später versuchte Frege in seinen Basic Laws of Arithmetic Grundgesetze der Arithmetik, Bd. 1, 1893; Bd. 2, 1903; Bd. 2 wurde auf eigene Kosten veröffentlicht, unter Verwendung seiner Symbolik alle Gesetze der Arithmetik aus Axiomen abzuleiten, die er als logisch behauptete. Die meisten dieser Axiome wurden aus seiner Begriffsschrift übernommen, allerdings nicht ohne einige erhebliche Änderungen. Das einzige wirklich neue Prinzip war eines, das er Grundgesetz V nannte: der „Werteverlauf" der Funktion fx ist derselbe wie der „Werteverlauf" der Funktion gx dann und nur dann, wenn ∀x.

Der entscheidende Fall des Gesetzes kann in moderner Notation wie folgt formuliert werden. Lass {x|Fx} die Erweiterung des Prädikats Fx bezeichnen, das heißt die Menge aller Fs, und ähnlich für Gx. Dann besagt Grundgesetz V, dass die Prädikate Fx und Gx die gleiche Erweiterung haben dann und nur dann, wenn ∀x. Die Menge der Fs ist die gleiche wie die Menge der Gs genau dann, wenn jedes F ein G und jedes G ein F ist. Der Fall ist besonders, weil das, was hier die Erweiterung eines Prädikats oder eine Menge genannt wird, nur ein Typ des „Wertverlaufs" einer Funktion ist.

In einem berühmten Vorfall schrieb Bertrand Russell an Frege, gerade als Bd. 2 der Grundgesetze 1903 in den Druck gehen sollte, und zeigte, dass Russells Paradoxie aus Freges Grundgesetz V abgeleitet werden konnte. Es ist einfach, die Relation der Mitgliedschaft einer Menge oder Erweiterung in Freges System zu definieren; Russell zog dann die Aufmerksamkeit auf „die Menge der Dinge x, die so beschaffen sind, dass x kein Element von x ist". Das System der Grundgesetze besagt, dass die so charakterisierte Menge sowohl ein Element von sich selbst als auch kein Element von sich selbst ist und somit inkonsistent ist. Frege schrieb einen übereilten, letzten Anhang zu Bd. 2, leitete den Widerspruch ab und schlug vor, ihn durch Änderung des Grundgesetzes V zu beseitigen. Frege eröffnete den Anhang mit der außergewöhnlich ehrlichen Bemerkung: „Kaum etwas Unglücklicheres kann einen wissenschaftlichen Schriftsteller treffen, als dass eines der Fundamente seines Gebäudes nach Abschluss der Arbeit erschüttert wird. Dies war die Lage, in die ich durch einen Brief des Herrn Bertrand Russell versetzt wurde, gerade als der Druck dieses Bandes zu Ende ging." Dieser Brief und Freges Antwort sind in Jean van Heijenoort 1967 übersetzt.

Freges vorgeschlagener Abhilfemaßstab erwies sich später als implizierend, dass es nur ein Objekt im Diskursuniversum gibt, und ist daher wertlos; tatsächlich würde dies einen Widerspruch in Freges System bedeuten, wenn er die Idee axiomatisiert hätte, die seiner Diskussion zugrunde liegt, dass das Wahre und das Falsche unterschiedliche Objekte sind; siehe zum Beispiel Dummett 1973, aber neuere Arbeiten haben gezeigt, dass viel des Programms der Grundgesetze möglicherweise auf andere Weise gerettet werden könnte:

• Grundgesetz V kann auf andere Weise geschwächt werden. Die bekannteste Weise geht auf den Philosophen und mathematischen Logiker George Boolos 1940–1996 zurück, der ein Experte für Freges Arbeit war. Ein „Konzept" F ist „klein", wenn die unter F fallenden Objekte nicht in eine eins-zu-eins Entsprechung mit dem Diskursuniversum gebracht werden können, das heißt, es sei denn: ∃R[R ist 1-zu-1 & ∀x∃yxRy & Fy]. Schwächen Sie nun V zu V*: ein „Konzept" F und ein „Konzept" G haben die gleiche „Erweiterung", wenn und nur wenn weder F noch G klein ist oder ∀xFx ↔ Gx. V* ist konsistent, wenn die Arithmetik zweiter Ordnung es ist, und reicht aus, um die Axiome der Arithmetik zweiter Ordnung zu beweisen.
• Grundgesetz V kann einfach durch Humes Prinzip ersetzt werden, das besagt, dass die Anzahl der Fs gleich der Anzahl der Gs ist, wenn und nur wenn die Fs in eine eins-zu-eins Entsprechung mit den Gs gebracht werden können. Dieses Prinzip ist auch konsistent, wenn die Arithmetik zweiter Ordnung es ist, und reicht aus, um die Axiome der Arithmetik zweiter Ordnung zu beweisen. Dieses Ergebnis wird Freges Satz genannt, weil bemerkt wurde, dass sich Freges Verwendung des Grundgesetzes V bei der Entwicklung der Arithmetik auf einen Beweis von Humes Prinzip beschränkt; aus diesem werden wiederum arithmetische Prinzipien abgeleitet. Zu Humes Prinzip und Freges Satz siehe „Frege's Logic, Theorem, and Foundations for Arithmetic".
• Freges Logik, jetzt als Logik zweiter Ordnung bekannt, kann zu sogenannter prädikativer Logik zweiter Ordnung geschwächt werden. Prädikative Logik zweiter Ordnung plus Grundgesetz V ist beweisbar konsistent durch finitistische oder konstruktive Methoden, kann aber nur sehr schwache Fragmente der Arithmetik interpretieren.

Freges Arbeit in der Logik erhielt bis 1903 wenig internationale Aufmerksamkeit, als Russell einen Anhang zu The Principles of Mathematics schrieb, in dem er seine Unterschiede zu Frege darlegte. Die diagrammatische Notation, die Frege verwendete, hatte keine Vorgänger und hat seither keine Nachahmer gehabt. Darüber hinaus war bis Russell und Whiteheads Principia Mathematica 3 Bde. 1910–13 erschien, der vorherrschende Ansatz zur mathematischen Logik noch der von George Boole 1815–64 und seinen geistigen Nachkommen, besonders Ernst Schröder 1841–1902. Freges logische Ideen verbreiteten sich jedoch durch die Schriften seines Studenten Rudolf Carnap 1891–1970 und anderer Bewunderer, besonders Bertrand Russell und Ludwig Wittgenstein 1889–1951.

Philosoph

Frege ist einer der Gründer der analytischen Philosophie, dessen Arbeit über Logik und Sprache den linguistischen Wandel in der Philosophie hervorbrachte. Seine Beiträge zur Philosophie der Sprache umfassen:

• Funktions- und Argumentanalyse der Proposition;
• Unterscheidung zwischen Konzept und Gegenstand Begriff und Gegenstand