William Kingdon Clifford

Eine kleine Überlegung wird uns zeigen, dass jeder Glaube, auch der einfachste und grundlegendste, über die Erfahrung hinausgeht, wenn man ihn als Leitfaden für unser Handeln betrachtet.

William Kingdon Clifford war ein englischer Mathematiker und Philosoph. Aufbauend auf der Arbeit von Hermann Grassmann führte er ein, was heute als geometrische Algebra bekannt ist, ein Spezialfall der zu seinen Ehren benannten Clifford-Algebra. Die Operationen der geometrischen Algebra bewirken Spiegelung, Rotation, Translation und Abbildung der modellierten geometrischen Objekte auf neue Positionen. Clifford-Algebren im Allgemeinen und geometrische Algebra im Besonderen haben eine zunehmend wichtigere Bedeutung für mathematische Physik, Geometrie und Informatik. Clifford war der erste, der vorschlug, dass Gravitation eine Manifestation einer zugrunde liegenden Geometrie sein könnte. In seinen philosophischen Schriften prägte er den Ausdruck mind-stuff.

Biographie

William Clifford, der in Exeter geboren wurde, zeigte bereits in der Schule großes Potenzial. Er besuchte die King's College London im Alter von 15 Jahren und das Trinity College Cambridge, wo er 1868 zum Fellow gewählt wurde, nachdem er 1867 Zweiter Wrangler und Zweiter Smith's Prize-Träger war. Der zweite Platz war ein Schicksal, das er mit anderen teilte, die berühmte Wissenschaftler wurden, darunter William Thomson Lord Kelvin und James Clerk Maxwell. 1870 nahm er an einer Expedition nach Italien teil, um die Sonnenfinsternis vom 22. Dezember 1870 zu beobachten. Während dieser Reise überlebte er einen Schiffbruch vor der sizilianischen Küste.

1871 wurde er zum Professor für Mathematik und Mechanik am University College London ernannt, und 1874 wurde er Fellow der Royal Society. Er war auch Mitglied der London Mathematical Society und der Metaphysical Society.

Am 7. April 1875 heiratete Clifford Lucy Lane, mit der er zwei Kinder bekam. Clifford mochte es, Kinder zu unterhalten, und schrieb eine Sammlung von Märchen, The Little People.

Tod und Vermächtnis

1876 erlitt Clifford einen Zusammenbruch, wahrscheinlich ausgelöst durch Überarbeitung. Er unterrichtete und verwaltete tagsüber und schrieb nachts. Ein halbjähriger Urlaub in Algerien und Spanien ermöglichte es ihm, seine Aufgaben 18 Monate lang fortzusetzen, woraufhin er erneut zusammenbrach. Er reiste auf die Insel Madeira zur Genesung, starb dort aber nach wenigen Monaten an Tuberkulose und hinterließ eine Witwe mit zwei Kindern.

Clifford und seine Frau sind auf dem Highgate Cemetery in London begraben, in der Nähe der Gräber von George Eliot und Herbert Spencer, unmittelbar nördlich des Grabes von Karl Marx.

Die akademische Zeitschrift Advances in Applied Clifford Algebras veröffentlicht über Cliffords Vermächtnis in Kinematik und abstrakter Algebra.

Mathematik

Die Entdeckung der nichteuklidischen Geometrie eröffnete in Cliffords Zeit neue Möglichkeiten in der Geometrie. Das Gebiet der inneren Differentialgeometrie wurde geboren, mit dem Konzept der Krümmung, das breit auf den Raum selbst sowie auf gekrümmte Linien und Flächen angewendet wird. Clifford war sehr beeindruckt von Bernhard Riemanns Essay „Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen" von 1854. 1870 berichtete er der Cambridge Philosophical Society über die gekrümmten Raumkonzepte von Riemann und spekulierte über die Verbiegung von Raum durch Gravitation. Cliffords Übersetzung von Riemanns Papier wurde 1873 in Nature veröffentlicht. Sein Bericht in Cambridge, „On the Space-Theory of Matter", wurde 1876 veröffentlicht und antizipierte Albert Einsteins allgemeine Relativitätstheorie um 40 Jahre. Clifford entwickelte elliptische Raumgeometrie als einen nicht-euklidischen metrischen Raum. Äquidistante Kurven in elliptischem Raum werden heute Clifford-Parallelen genannt.

Clifford war vor allem und in erster Linie ein Geometer.

Cliffords Zeitgenossen hielten ihn für scharfsinnig und originell, witzig und warmherzig. Er arbeitete oft bis spät in die Nacht, was seinen Tod möglicherweise beschleunigt hat. Er veröffentlichte Arbeiten zu verschiedenen Themen einschließlich algebraischer Formen und projektiver Geometrie sowie dem Lehrbuch Elements of Dynamic. Seine Anwendung der Graphentheorie auf die Invariantentheorie wurde von William Spottiswoode und Alfred Kempe fortgesetzt.

Algebren

1878 veröffentlichte Clifford ein grundlegendes Werk, das auf Grassmanns umfangreicher Algebra aufbaute. Es gelang ihm, die Quaternionen, die von William Rowan Hamilton entwickelt worden waren, mit Grassmanns äußerem Produkt, auch als äußeres Produkt bekannt, zu vereinen. Er verstand die geometrische Natur von Grassmanns Schöpfung und dass die Quaternionen sauber in die von Grassmann entwickelte Algebra passten. Die Versoren in Quaternionen ermöglichen die Darstellung von Rotation. Clifford legte den Grundstein für ein geometrisches Produkt, das sich aus der Summe des inneren Produkts und Grassmanns äußerem Produkt zusammensetzt. Das geometrische Produkt wurde schließlich vom ungarischen Mathematiker Marcel Riesz formalisiert. Das innere Produkt versieht die geometrische Algebra mit einer Metrik und integriert vollständig Abstands- und Winkelbeziehungen für Linien, Ebenen und Volumen, während das äußere Produkt diesen Ebenen und Volumen vektorähnliche Eigenschaften, einschließlich einer Richtungsverzerrung, verleiht.

Die Kombination der beiden brachte die Operation der Division ins Spiel. Dies erweiterte unser qualitatives Verständnis dafür, wie Objekte im Raum interagieren, erheblich. Entscheidend war, dass es auch die Mittel zur quantitativen Berechnung der räumlichen Folgen dieser Wechselwirkungen bereitstellte. Die resultierende geometrische Algebra, wie er sie nannte, verwirklichte schließlich das seit langem ersehnte Ziel, eine Algebra zu schaffen, die die Bewegungen und Projektionen von Objekten im dreidimensionalen Raum widerspiegelt.

Darüber hinaus erstreckt sich Cliffords algebraisches Schema auf höhere Dimensionen. Die algebraischen Operationen haben die gleiche symbolische Form wie in 2 oder 3-Dimensionen. Die Bedeutung allgemeiner Clifford-Algebren hat im Laufe der Zeit zugenommen, während ihre Isomorphismussätze – als reale Algebren – in anderen mathematischen Systemen jenseits einfach der Quaternionen identifiziert wurden.

Die Bereiche der realen Analyse und komplexen Analyse wurden durch die Algebra H der Quaternionen erweitert, dank ihrer Vorstellung einer dreidimensionalen Sphäre, die in einem vierdimensionalen Raum eingebettet ist. Quaternionen-Versoren, die auf dieser 3-Sphäre leben, bieten eine Darstellung der Rotationsgruppe SO3. Clifford bemerkte, dass Hamiltons Biquaternionen ein Tensorprodukt H ⊗ C duale Quaternionen waren. Die Algebra der dualen Quaternionen wird verwendet, um Schraubversetzung, eine häufige Abbildung in der Kinematik, auszudrücken.

Philosophie

Als Philosoph ist Cliffords Name hauptsächlich mit zwei von ihm geprägten Ausdrücken verbunden: mind-stuff und das tribal self. Der erstere symbolisiert seine metaphysische Konzeption, die ihm durch die Lektüre von Baruch Spinoza nahegelegt wurde und die Clifford 1878 wie folgt definierte:

Jenes Element, das, wie wir gesehen haben, selbst das einfachste Gefühl ist, ist ein Komplex, werde ich Mind-stuff nennen. Ein sich bewegendes Molekül anorganischer Materie besitzt keinen Geist oder Bewusstsein; aber es besitzt ein kleines Stück Mind-stuff. Wenn Moleküle so kombiniert sind, dass sie die Schicht auf der Unterseite einer Qualle bilden, sind die Elemente des Mind-stuff, die mit ihnen verbunden sind, so kombiniert, dass sie die schwachen Anfänge von Gefühl bilden. Wenn die Moleküle so kombiniert sind, dass sie das Gehirn und Nervensystem eines Wirbeltiers bilden, kombinieren sich die entsprechenden Elemente des Mind-stuff so, dass sie eine Art Bewusstsein bilden; das heißt, Veränderungen im Komplex, die gleichzeitig stattfinden, werden so miteinander verknüpft, dass die Wiederholung der einen die Wiederholung der anderen impliziert. Wenn Materie die komplexe Form eines lebenden menschlichen Gehirns annimmt, nimmt das entsprechende Mind-stuff die Form eines menschlichen Bewusstseins an, das Intelligenz und Willen hat.

Zu Cliffords Konzept schrieb Sir Frederick Pollock:

Kurz gesagt ist die Vorstellung die, dass Geist die einzige letztendliche Realität ist; nicht Geist, wie wir ihn in den komplexen Formen von bewusstem Gefühl und Gedanke kennen, sondern die einfacheren Elemente, aus denen Gedanke und Gefühl aufgebaut sind. Das hypothetische letzte Element des Geistes oder Atom des Mind-stuff entspricht genau dem hypothetischen Atom der Materie und ist die letzte Tatsache, deren Phänomen das materielle Atom ist. Materie und das wahrnehmbare Universum sind die Beziehungen zwischen bestimmten Organismen, das heißt, Geist, der sich in Bewusstsein organisiert hat, und dem Rest der Welt. Dies führt zu Ergebnissen, die im lockeren und populären Sinne als materialistisch bezeichnet würden. Aber die Theorie muss, als metaphysische Theorie, auf der idealistischen Seite gerechnet werden. Technisch gesprochen ist es ein idealistischer Monismus.

Das tribal self hingegen gibt den Schlüssel zu Cliffords ethischer Ansicht, die Gewissen und Sittengesetz durch die Entwicklung in jedem Individuum eines „Selbst" erklärt, das das Verhalten vorschreibt, das dem Wohlergehen des „Stammes" förderlich ist. Ein großer Teil von Cliffords zeitgenössischer Prominenz war auf seine Einstellung gegenüber Religion zurückzuführen. Angetrieben durch intensive Liebe zu seiner Wahrheitsauffassung und Hingabe an Pflicht gegenüber der Öffentlichkeit führte er Krieg gegen solche kirchlichen Systeme, die ihm Obskurantismus zu begünstigen und die Ansprüche der Sekte über die der menschlichen Gesellschaft zu stellen schienen. Die Besorgnis war größer, da die Theologie immer noch nicht mit dem Darwinismus versöhnt war; und Clifford wurde als gefährlicher Verfechter der anti-spirituellen Tendenzen angesehen, die damals der modernen Wissenschaft zugeschrieben wurden. Es gab auch Diskussionen über das Ausmaß, in dem Cliffords Lehre der „Konkomitanz" oder „psychophysischen Parallelität" John Hughlings Jacksons Modell des Nervensystems und durch ihn die Arbeiten von Janet, Freud, Ribot und Ey beeinflusste.

Ethik

In seinem Essay von 1877 „The Ethics of Belief" argumentiert Clifford, dass es unmoralisch ist, an Dinge zu glauben, für die man keine Beweise hat. Er beschreibt einen Schiffsbesitzer, der ein altes und nicht gut gebautes Schiff voller Passagiere in See stechen wollte. Dem Schiffsbesitzer kamen Zweifel, dass das Schiff möglicherweise nicht seetüchtig sein könnte: „Diese Zweifel plagten seinen Geist und machten ihn unglücklich." Er erwog, das Schiff überarbeiten zu lassen, obwohl es teuer würde. Schließlich „gelang es ihm, diese düsteren Gedanken zu überwinden." Er sah das Schiff abfahren, „leichten Herzens… und er erhielt sein Versicherungsgeld, als es mitten im Ozean unterging und keine Geschichten erzählte."

Clifford argumentiert, dass der Schiffsbesitzer schuldig am Tod der Passagiere war, obwohl er aufrichtig glaubte, dass das Schiff seetüchtig war: „Er hatte kein Recht, auf solcher Grundlage Glauben zu haben, wie sie vor ihm lag." Darüber hinaus behauptet er, dass selbst in dem Fall, in dem das Schiff erfolgreich das Ziel erreicht, die Entscheidung immer noch unmoralisch bleibt, weil die Moral der Wahl für immer definiert wird, sobald die Wahl getroffen wird, und das tatsächliche Ergebnis, definiert durch blinden Zufall, nicht zählt. Der Schiffsbesitzer wäre nicht weniger schuldig: sein Fehlverhalten würde nie entdeckt, aber er hatte immer noch kein Recht, diese Entscheidung angesichts der zu diesem Zeitpunkt verfügbaren Informationen zu treffen.

Clifford schließt berühmterweise: „Es ist immer, überall und für jeden falsch, irgendetwas auf unzureichende Beweise hin zu glauben."

Als solcher argumentiert er in direktem Gegensatz zu religiösen Denkern, für die „blinder Glaube", d. h. der Glaube an Dinge trotz mangelnder Beweise für sie, eine Tugend war. Dieses Papier wurde berühmterweise von pragmatischem Philosoph William James in seinem Vortrag „Will to Believe" angegriffen. Oft werden diese beiden Arbeiten zusammen gelesen und veröffentlicht als Leuchttürme für die Debatte über Evidentialismus, Glaube und Überglauben.

Vorbote der Relativität

Obwohl Clifford nie eine vollständige Theorie von Raumzeit und Relativität konstruierte, gibt es einige bemerkenswerte Beobachtungen, die er gedruckt machte, die diese modernen Konzepte vorwegnahmen: In seinem Buch Elements of Dynamic 1878 führte er „quasi-harmonische Bewegung in einer Hyperbel" ein. Er schrieb einen Ausdruck für eine parametrisierte Einheitshyperbel, den andere Autoren später als Modell für relativistische Geschwindigkeit verwendeten. An anderer Stelle bemerkt er:

Diese Stelle verweist auf Biquaternionen, obwohl Clifford diese als seine unabhängige Entwicklung in Split-Biquaternionen machte. Das Buch setzt sich fort mit einem Kapitel „On the bending of space", dem Wesen der allgemeinen Relativitätstheorie. Clifford erörterte seine Ansichten auch in On the Space-Theory of Matter 1876.

1910 zitierte William Barrett Frankland die Space-Theory of Matter in seinem Buch über Parallelismus: „Die Kühnheit dieser Spekulation ist in der Geschichte des Denkens sicherlich unerreicht. Bislang hat es jedoch das Aussehen eines Ikarus-Flugs." Jahre später, nachdem Albert Einstein die allgemeine Relativitätstheorie vorangetrieben hatte, merkten verschiedene Autoren an, dass Clifford Einstein antizipiert hatte. Hermann Weyl erwähnte beispielsweise 1923 Clifford als einen von denjenigen, die, wie Bernhard Riemann, die geometrischen Ideen der Relativität antizipiert hatten.

1940 veröffentlichte Eric Temple Bell The Development of Mathematics, in dem er die Vorausschau von Clifford auf die Relativität diskutiert:

Kühner sogar als Riemann bekannte sich Clifford 1870 zu seinem Glauben, dass Materie nur eine Manifestation der Krümmung in einer Raumzeit-Mannigfaltigkeit ist. Diese embryonale Ahnung wurde als Antizipation von Einsteins (1915–16) relativistischer Theorie des Gravitationsfeldes begrüßt. Die eigentliche Theorie trägt jedoch nur wenig Ähnlichkeit mit Cliffords eher detailliertem Glaubensbekenntnis. In der Regel erzielen diese mathematischen Propheten, die nie zu Besonderheiten absteigen, die besten Ergebnisse. Fast jeder kann eine Scheune aus vierzig Yards mit einer Ladung Schrot treffen.

John Archibald Wheeler stellte während des 1960 International Congress for Logic, Methodology, and Philosophy of Science CLMPS an der Stanford seine Geometrodynamik-Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie vor, indem er Clifford als Initiator anerkannte.

In The Natural Philosophy of Time 1961 beschreibt Gerald James Whitrow