Wir müssen wissen. Wir werden wissen.
David Hilbert war ein deutscher Mathematiker und einer der einflussreichsten und vielseitigsten Mathematiker des 19. und frühen 20. Jahrhunderts. Hilbert entdeckte und entwickelte eine breite Palette grundlegender Ideen in vielen Bereichen, darunter Invariantentheorie, Variationsrechnung, kommutative Algebra, algebraische Zahlentheorie, Grundlagen der Geometrie, Spektraltheorie von Operatoren und deren Anwendung auf Integralgleichungen, mathematische Physik und Grundlagen der Mathematik, insbesondere Beweistheorie.
Hilbert vertrat und verteidigte warmherzig Georg Cantors Mengenlehre und transfinite Zahlen. Ein berühmtes Beispiel seiner Führungsrolle in der Mathematik ist seine Präsentation einer Sammlung von Problemen im Jahr 1900, die den Kurs für viel der mathematischen Forschung des 20. Jahrhunderts bestimmte.
Hilbert und seine Studenten trugen wesentlich dazu bei, Strenge zu etablieren und entwickelten wichtige Werkzeuge, die in der modernen mathematischen Physik verwendet werden. Hilbert ist als einer der Gründer der Beweistheorie und mathematischen Logik bekannt.
Leben
Frühe Jahre und Ausbildung
Hilbert, das erste von zwei Kindern und einziger Sohn von Otto und Maria Therese Erdtmann Hilbert, wurde in der Provinz Preußen, Königreich Preußen, entweder in Königsberg nach Hilberts eigener Aussage oder in Wehlau, seit 1946 als Znamensk bekannt, in der Nähe von Königsberg geboren, wo sein Vater zum Zeitpunkt seiner Geburt arbeitete.
Ende 1872 trat Hilbert in das Friedrichskolleg Gymnasium Collegium fridericianum ein, dieselbe Schule, die Immanuel Kant 140 Jahre zuvor besucht hatte; aber nach einer unglücklichen Zeit wechselte er Ende 1879 zum naturwissenschaftlich ausgerichterteren Wilhelm Gymnasium und machte 1880 seinen Abschluss. Nach seinem Abschluss im Herbst 1880 schrieb sich Hilbert an der Universität Königsberg, der „Albertina", ein. Anfang 1882 kehrte Hermann Minkowski, zwei Jahre jünger als Hilbert und ebenfalls ein Einwohner Königsbergs, aber drei Semester nach Berlin gegangen war, nach Königsberg zurück und trat in die Universität ein. Hilbert entwickelte eine lebenslange Freundschaft mit dem schüchternen, begabten Minkowski.
Karriere
1884 kam Adolf Hurwitz aus Göttingen als Extraordinarius, d. h. außerordentlicher Professor. Ein intensiver und fruchtbarer wissenschaftlicher Austausch unter den drei begann, und Minkowski und Hilbert würden sich gegenseitig in verschiedenen Zeiten ihrer wissenschaftlichen Karrieren beeinflussen. Hilbert promovierte 1885 mit einer Dissertation unter Ferdinand von Lindemann, betitelt Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen „Über die invarianten Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelflächenfunktionen".
Hilbert blieb von 1886 bis 1895 als Privatdozent an der Universität Königsberg. 1895 erhielt er auf Intervention von Felix Klein die Position eines Professors für Mathematik an der Universität Göttingen. Während der Klein- und Hilbert-Jahre wurde Göttingen zur führenden Institution in der mathematischen Welt. Er blieb dort den Rest seines Lebens.
Göttinger Schule
Unter Hilberts Studenten waren Hermann Weyl, Schachmeister Emanuel Lasker, Ernst Zermelo und Carl Gustav Hempel. John von Neumann war sein Assistent. An der Universität Göttingen war Hilbert von einem sozialen Kreis einiger der wichtigsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts umgeben, wie Emmy Noether und Alonzo Church.
Unter seinen 69 Doktoranden in Göttingen waren viele, die später berühmte Mathematiker wurden, einschließlich mit Dissertationsdatum: Otto Blumenthal 1898, Felix Bernstein 1901, Hermann Weyl 1908, Richard Courant 1910, Erich Hecke 1910, Hugo Steinhaus 1911 und Wilhelm Ackermann 1925. Zwischen 1902 und 1939 war Hilbert Herausgeber der Mathematische Annalen, der führenden mathematischen Zeitschrift der Zeit.
„Gut, er hatte nicht genug Fantasie, um Mathematiker zu werden." — Hilberts Antwort, als er hörte, dass einer seiner Studenten ausgestiegen war, um Poesie zu studieren.
Späte Jahre
Um 1925 entwickelte Hilbert bösartige Anämie, einen damals unheilbaren Vitaminmangel, dessen primäres Symptom Erschöpfung ist; sein Assistent Eugene Wigner beschrieb ihn als unter „enormer Müdigkeit" leidend und wie er „ziemlich alt wirkte", und dass er, selbst nachdem er schließlich diagnostiziert und behandelt wurde, „nach 1925 kaum noch ein Wissenschaftler war, und sicherlich kein Hilbert."
Hilbert erlebte, wie die Nazis 1933 viele der prominenten Fakultätsmitglieder der Universität Göttingen reinigten. Die Vertriebenen waren Hermann Weyl, der Hilberts Lehrstuhl übernahm, als er 1930 in den Ruhestand ging, Emmy Noether und Edmund Landau. Eine Person, die Deutschland verlassen musste, Paul Bernays, hatte mit Hilbert in mathematischer Logik zusammengearbeitet und war Mitautor des wichtigen Buches Grundlagen der Mathematik, das schließlich in zwei Bänden 1934 und 1939 erschien. Dies war eine Fortsetzung des Hilbert-Ackermann-Buches Principles of Mathematical Logic von 1928. Hermann Weyls Nachfolger war Helmut Hasse.
Etwa ein Jahr später nahm Hilbert an einem Bankett teil und saß neben dem neuen Bildungsminister Bernhard Rust. Rust fragte, ob „das Mathematische Institut wirklich so sehr unter dem Weggang der Juden gelitten hat". Hilbert antwortete: „Gelitten? Es existiert doch gar nicht mehr!"
Tod
Als Hilbert 1943 starb, hatten die Nazis die Universität fast vollständig neu besetzt, da viele der ehemaligen Fakultätsmitglieder entweder Juden waren oder mit Juden verheiratet waren. Hilberts Beerdigung wurde von weniger als einem Dutzend Menschen besucht, von denen nur zwei akademische Kollegen waren, unter ihnen Arnold Sommerfeld, ein theoretischer Physiker und ebenfalls ein Einwohner Königsbergs. Die Nachricht von seinem Tod wurde erst sechs Monate nach seinem Tod der breiteren Welt bekannt.
Die Inschrift auf seinem Grabstein in Göttingen besteht aus den berühmten Zeilen, die er am Ende seiner Ruhestandsrede an die Gesellschaft Deutscher Naturforscher und Ärzte am 8. September 1930 sprach. Die Worte wurden als Antwort auf die lateinische Maxime gegeben: „Ignoramus et ignorabimus" oder „Wir wissen nicht, wir werden nicht wissen":
Auf Englisch:
Wir müssen wissen.
Wir werden wissen.
Am Tag vor Hilberts Ausspruch dieser Phrasen auf der jährlichen Tagung der Gesellschaft Deutscher Naturforscher und Ärzte 1930 kündigte Kurt Gödel – in einer Podiumsdiskussion während der Konferenz für Erkenntnistheorie, die gemeinsam mit den Gesellschaftssitzungen abgehalten wurde – vorsichtig die erste Äußerung seines Unvollständigkeitssatzes an. Gödels Unvollständigkeitssätze zeigen, dass selbst elementare axiomatische Systeme wie die Peano-Arithmetik entweder in sich widersprüchlich sind oder logische Aussagen enthalten, die unmöglich zu beweisen oder zu widerlegen sind.
Privatleben
1892 heiratete Hilbert Käthe Jerosch 1864–1945 aus einer deutsch-jüdischen Familie, „die Tochter eines Königsberger Kaufmanns, eine freimütige junge Dame mit einer Unabhängigkeit des Geistes, die seiner eigenen entsprach". Während ihres Aufenthalts in Königsberg hatten sie ihr einziges Kind, Franz Hilbert 1893–1969.
Hilberts Sohn Franz litt sein ganzes Leben unter einer nicht diagnostizierten psychischen Krankheit. Sein minderes Intellekt war eine furchtbare Enttäuschung für seinen Vater und dieses Unglück war ein Grund der Betrübnis für die Mathematiker und Studenten in Göttingen.
Hilbert betrachtete den Mathematiker Hermann Minkowski als seinen „besten und treuesten Freund".
Hilbert wurde getauft und als Calvinist in der Preußischen Evangelischen Kirche aufgezogen. Er verließ die Kirche später und wurde Agnostiker. Er argumentierte auch, dass mathematische Wahrheit unabhängig von der Existenz Gottes oder anderen A-priori-Annahmen war. Als Galileo Galilei dafür kritisiert wurde, dass er nicht für seine Überzeugungen zur heliozentrischen Theorie eintrat, wandte Hilbert ein: „Aber war nicht ein Idiot. Nur ein Idiot könnte glauben, dass wissenschaftliche Wahrheit Märtyrertum braucht; das kann in der Religion notwendig sein, aber wissenschaftliche Ergebnisse beweisen sich selbst mit der Zeit."
Hilbert löst Gordans Problem
Hilberts erste Arbeit über invariante Funktionen führte ihn 1888 zur Demonstration seines berühmten Endlichkeitssatzes. Zwanzig Jahre zuvor hatte Paul Gordan den Satz der Endlichkeit von Generatoren für binäre Formen mit einem komplexen rechnerischen Ansatz demonstriert. Versuche, seine Methode auf Funktionen mit mehr als zwei Variablen zu verallgemeinern, scheiterten aufgrund der enormen Schwierigkeit der beteiligten Berechnungen. Um das Problem zu lösen, das in einigen Kreisen als Gordans Problem bekannt geworden war, erkannte Hilbert, dass es notwendig war, einen völlig anderen Weg einzuschlagen. Infolgedessen demonstrierte er Hilberts Basissatz und zeigte die Existenz eines endlichen Satzes von Generatoren für die Invarianten von Quantiken in beliebig vielen Variablen, aber in abstrakter Form. Das heißt, während er die Existenz solch einer Menge demonstrierte, war es kein konstruktiver Beweis — er zeigte nicht „ein Objekt" — sondern vielmehr war es ein Existenzbeweis und verließ sich auf die Verwendung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten in einer unendlichen Erweiterung.
Hilbert schickte seine Ergebnisse an die Mathematische Annalen. Gordan, der Hausexperte zur Invariantentheorie für die Mathematische Annalen, konnte die revolutionäre Natur von Hilberts Satz nicht schätzen und lehnte den Artikel ab, kritisierend die Darstellung, weil sie unzureichend umfassend war. Sein Kommentar war:
Dies ist keine Mathematik. Dies ist Theologie
Klein hingegen erkannte die Bedeutung der Arbeit und garantierte, dass sie ohne Änderungen veröffentlicht würde. Ermutigt durch Klein, erweiterte Hilbert seine Methode in einem zweiten Artikel, lieferte Schätzungen über den maximalen Grad des minimalen Satzes von Generatoren und schickte ihn erneut an die Annalen. Nachdem er das Manuskript gelesen hatte, schrieb Klein ihm:
Ohne Zweifel ist dies die wichtigste Arbeit zur allgemeinen Algebra, die die Annalen je veröffentlicht haben.
Später, nachdem die Nützlichkeit von Hilberts Methode universell erkannt wurde, würde Gordan selbst sagen:
Ich habe mich davon überzeugt, dass auch die Theologie ihre Vorzüge hat.
Trotz all seiner Erfolge schuf die Natur seines Beweises mehr Schwierigkeiten, als Hilbert sich hätte vorstellen können. Obwohl Kronecker zugestanden hatte, würde Hilbert später auf ähnliche Kritik anderer antworten, dass „viele verschiedene Konstruktionen unter eine fundamentale Idee subsumiert werden" — mit anderen Worten, um Reid zu zitieren: „Durch einen Existenzbeweis hatte Hilbert eine Konstruktion erhalten können"; „der Beweis", d. h. die Symbole auf der Seite, war „das Objekt". Nicht alle waren überzeigt. Während Kronecker bald darauf starb, würde seine konstruktivistische Philosophie mit dem jungen Brouwer und seiner sich entwickelnden intuitionistischen „Schule" fortfahren, sehr zu Hilberts Qual in seinen späteren Jahren. Tatsächlich würde Hilbert seinen „begabten Schüler" Weyl zum Intuitionismus verlieren — „Hilbert war gestört durch seinen ehemaligen Studenten Faszination für die Ideen von Brouwer, die in Hilbert die Erinnerung an Kronecker weckte". Brouwer der Intuitionist widersetzte sich besonders der Verwendung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten über unendlichen Mengen, wie Hilbert ihn verwendet hatte. Hilbert antwortete:
Axiomatisierung der Geometrie
Das Werk Grundlagen der Geometrie tr.: Foundations of Geometry, veröffentlicht von Hilbert 1899, schlägt einen formalen Satz vor, genannt Hilberts Axiome, der die traditionellen Axiome von Euklid ersetzt. Sie vermeiden Schwächen, die in denen von Euklid identifiziert wurden, dessen Werke damals noch im Lehrbuchstil verwendet wurden. Es ist schwierig, die von Hilbert verwendeten Axiome zu spezifizieren, ohne auf die Veröffentlichungsgeschichte der Grundlagen zu verweisen, da Hilbert sie mehrfach änderte und modifizierte. Die ursprüngliche Monographie wurde schnell von einer französischen Übersetzung gefolgt, in der Hilbert V.2, das Vollständigkeitsaxiom, hinzufügte. Eine von Hilbert autorisierte englische Übersetzung wurde von E. J. Townsend angefertigt und 1902 urheberrechtlich geschützt. Diese Übersetzung enthielt die in der französischen Übersetzung vorgenommenen Änderungen und wird daher als Übersetzung der 2. Auflage betrachtet. Hilbert machte weiterhin Änderungen am Text und mehrere Auflagen erschienen auf Deutsch. Die 7. Auflage war die letzte, die zu Hilberts Lebzeiten erschien. Nach der 7. Auflage folgten neue Auflagen, aber der Haupttext wurde im Wesentlichen nicht überarbeitet.
Hilberts Ansatz signalisierte den Wechsel zur modernen axiomatischen Methode. Darin wurde Hilbert von Moritz Paschs Arbeit von 1882 vorweggenommen. Axiome werden nicht als selbstverständliche Wahrheiten angenommen. Geometrie kann sich mit Dingen befassen, über die wir starke Intuitionen haben, aber es ist nicht notwendig, den undefinierten Konzepten eine explizite Bedeutung zuzuordnen. Die Elemente wie Punkt, Linie, Ebene und andere könnten, wie Hilbert Schoenflies und Kötter berichtet haben soll, durch Tische, Stühle, Biergläser und andere solche Objekte ersetzt werden. Es sind ihre definierten Beziehungen, die diskutiert werden.
Hilbert zählt zunächst die undefinierten Konzepte auf: Punkt, Linie, Ebene, Liegen-auf-einer-Relation zwischen Punkten und Linien, Punkten und Ebenen sowie Linien und Ebenen, Betweenness, Kongruenz von Punktpaaren Liniensegmenten und Kongruenz von Winkeln. Die Axiome vereinheitlichen sowohl die ebene Geometrie als auch die räumliche Geometrie von Euklid
