Wenn ich nur die Theoreme hätte! Dann würde ich die Beweise leicht genug finden.
Georg Friedrich Bernhard Riemann war ein deutscher Mathematiker, der Beiträge zur Analysis, Zahlentheorie und Differentialgeometrie leistete. Im Bereich der reellen Analysis ist er vor allem für die erste strenge Formulierung des Integrals, des Riemann-Integrals, und seine Arbeiten zu Fourier-Reihen bekannt. Seine Beiträge zur komplexen Analysis umfassen insbesondere die Einführung von Riemann-Flächen, die neue Wege in einer natürlichen, geometrischen Behandlung der komplexen Analysis öffneten. Seine berühmte Arbeit von 1859 über die Primzahlzählfunktion, die die ursprüngliche Formulierung der Riemann-Hypothese enthält, gilt als eine der einflussreichsten Arbeiten in der analytischen Zahlentheorie. Durch seine Pionierarbeiten zur Differentialgeometrie legte Riemann die Grundlagen der Mathematik der allgemeinen Relativitätstheorie. Viele halten ihn für einen der größten Mathematiker aller Zeiten.
Biografie
Frühe Jahre
Riemann wurde am 17. September 1826 in Breselenz geboren, einem Dorf in der Nähe von Dannenberg im Königreich Hannover. Sein Vater, Friedrich Bernhard Riemann, war ein armer lutherischer Pfarrer in Breselenz, der in den Napoleonischen Kriegen kämpfte. Seine Mutter, Charlotte Ebell, starb, bevor ihre Kinder erwachsen wurden. Riemann war das zweite von sechs Kindern, schüchtern und litt unter zahlreichen Nervenzusammenbrüchen. Riemann zeigte außergewöhnliche mathematische Fähigkeiten, wie Rechenfähigkeiten, von früh an, litt aber unter Schüchternheit und Angst vor öffentlichem Reden.
Ausbildung
Während des Jahres 1840 ging Riemann nach Hannover, um bei seiner Großmutter zu leben und die mittleren Schuljahre des Lyzeums zu besuchen. Nach dem Tod seiner Großmutter 1842 besuchte er die Oberrealschule am Johanneum Lüneburg. In der Oberschule studierte Riemann die Bibel intensiv, wurde aber oft durch Mathematik abgelenkt. Seine Lehrer waren erstaunt über seine Fähigkeit, komplizierte mathematische Operationen durchzuführen, bei denen er das Wissen seiner Lehrer oft übertraf. 1846 begann er im Alter von 19 Jahren, Philologie und christliche Theologie zu studieren, um Pfarrer zu werden und seiner Familie finanziell zu helfen.
Im Frühjahr 1846 schickte sein Vater Riemann, nachdem er genug Geld gesammelt hatte, an die Universität Göttingen, wo er ein Theologiestudium anstrebte. Dort begann er jedoch, Mathematik unter Carl Friedrich Gauss zu studieren, insbesondere dessen Vorlesungen über die Methode der kleinsten Quadrate. Gauss empfahl Riemann, seine theologische Arbeit aufzugeben und sich der Mathematik zuzuwenden; nach Zustimmung seines Vaters wechselte Riemann 1847 an die Universität Berlin. Während seiner Studienzeit unterrichteten Carl Gustav Jacob Jacobi, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Jakob Steiner und Gotthold Eisenstein. Er blieb zwei Jahre in Berlin und kehrte 1849 nach Göttingen zurück.
Akademische Karriere
Riemann hielt seine ersten Vorlesungen 1854, die das Gebiet der Riemannschen Geometrie begründeten und damit den Grundstein für Albert Einsteins allgemeine Relativitätstheorie legten. 1857 gab es einen Versuch, Riemann zum außerordentlichen Professor an der Universität Göttingen zu befördern. Obwohl dieser Versuch scheiterte, führte er doch dazu, dass Riemann endlich ein regelmäßiges Gehalt erhielt. 1859 wurde er nach dem Tod von Dirichlet, der Gauss' Lehrstuhl an der Universität Göttingen innehatte, zum Leiter der Mathematikabteilung an der Universität Göttingen befördert. Er war auch der erste, der vorschlug, Dimensionen höher als nur drei oder vier zu verwenden, um die physikalische Realität zu beschreiben.
1862 heiratete er Elise Koch und sie bekamen eine Tochter Ida Schilling, die am 22. Dezember 1862 geboren wurde.
Protestantische Familie und Tod in Italien
Riemann floh aus Göttingen, als 1866 die Armeen von Hannover und Preußen dort aufeinander trafen. Er starb an Tuberkulose während seiner dritten Reise nach Italien in Selasca, heute ein Weiler von Verbania am Lago Maggiore, wo er auf dem Friedhof in Biganzolo Verbania begraben wurde.
Riemann war ein engagierter Christ, der Sohn eines protestantischen Pfarrers, und sah sein Leben als Mathematiker als eine weitere Möglichkeit, Gott zu dienen. Während seines Lebens hielt er sich eng an seinen christlichen Glauben und betrachtete ihn als den wichtigsten Aspekt seines Lebens. Bei seinem Tod rezitierte er das Vaterunser mit seiner Frau und starb, bevor sie das Gebet beendeten. Inzwischen warf seine Haushälterin in Göttingen einige der Papiere in seinem Büro weg, einschließlich vieler unveröffentlichter Arbeiten. Riemann weigerte sich, unvollständige Arbeiten zu veröffentlichen, und einige tiefe Einsichten gingen möglicherweise für immer verloren.
Riemanns Grabstein in Biganzolo Italien verweist auf Römer 8,28:
Hier ruht in Gott
Georg Friedrich Bernhard Riemann
Professor in Göttingen
geboren in Breselenz, 17. September 1826
gestorben in Selasca, 20. Juli 1866
Denen die Gott lieben, müssen alle Dinge zum Besten zusammenwirken
Hier ruht in Gott Georg Friedrich Bernhard Riemann Professor in Göttingen geboren in Breselenz, 17. September 1826 gestorben in Selasca, 20. Juli 1866 Denen die Gott lieben, müssen alle Dinge zum Besten zusammenwirken
Riemannsche Geometrie
Riemanns veröffentlichte Arbeiten eröffneten Forschungsbereiche, die Analysis mit Geometrie verbinden. Diese würden später zu Hauptteilen der Theorien der Riemannschen Geometrie, algebraischen Geometrie und Theorie komplexer Mannigfaltigkeiten werden. Die Theorie der Riemann-Flächen wurde von Felix Klein und besonders von Adolf Hurwitz ausgearbeitet. Dieses Gebiet der Mathematik ist Teil der Grundlagen der Topologie und wird immer noch auf neuartige Weise auf mathematische Physik angewendet.
1853 bat Gauss Riemann, seinen Schüler, eine Habilitationsschrift über die Grundlagen der Geometrie zu verfassen. Über viele Monate entwickelte Riemann seine Theorie der höheren Dimensionen und hielt seine Vorlesung 1854 in Göttingen mit dem Titel „Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen" „Über die Hypothesen, die der Geometrie zugrunde liegen". Sie wurde erst zwölf Jahre später 1868 von Dedekind veröffentlicht, zwei Jahre nach seinem Tod. Ihre frühe Rezeption scheint langsam gewesen zu sein, aber sie wird nun als einer der wichtigsten Werke in der Geometrie anerkannt.
Das Gebiet, das durch dieses Werk gegründet wurde, ist die Riemannsche Geometrie. Riemann fand die richtige Weise, die Differentialgeometrie von Flächen, die Gauss selbst mit seinem theorema egregium bewies, auf n Dimensionen auszuweiten. Das Fundamentalobjekt heißt der Riemannsche Krümmungstensor. Für den Oberflächenfall kann dies auf eine Zahl reduziert werden – Skalar, positiv, negativ oder null; die nichtnulligen und konstanten Fälle sind Modelle der bekannten nichteuklidischen Geometrien.
Riemanns Idee war, eine Sammlung von Zahlen an jedem Punkt im Raum einzuführen, d. h. einen Tensor, der beschreiben würde, wie sehr er gebogen oder gekrümmt war. Riemann fand, dass man in vier räumlichen Dimensionen an jedem Punkt eine Sammlung von zehn Zahlen benötigt, um die Eigenschaften einer Mannigfaltigkeit zu beschreiben, egal wie verzerrt sie ist. Dies ist die berühmte Konstruktion, die für seine Geometrie zentral ist und heute als Riemannsche Metrik bekannt ist.
Komplexe Analysis
In seiner Dissertation etablierte er eine geometrische Grundlage für komplexe Analysis durch Riemann-Flächen, durch die mehrwertige Funktionen wie der Logarithmus mit unendlich vielen Blättern oder die Quadratwurzel mit zwei Blättern zu eineindeutigen Funktionen werden konnten. Komplexe Funktionen sind harmonische Funktionen, das heißt, sie erfüllen die Laplace-Gleichung und damit die Cauchy-Riemann-Gleichungen auf diesen Flächen und werden durch die Lage ihrer Singularitäten und die Topologie der Flächen beschrieben. Das topologische „Geschlecht" der Riemann-Flächen wird durch g = w / 2 − n + 1 Parameter die „Moduli" gegeben.
Seine Beiträge zu diesem Bereich sind zahlreich. Das berühmte Riemann-Abbildungstheorem besagt, dass ein einfach zusammenhängendes Gebiet in der komplexen Ebene „biholomorph äquivalent" ist, d. h. es gibt eine Bijektion zwischen ihnen, die holomorph mit einer holomorphen Umkehrung zu entweder C oder zum Inneren des Einheitskreises ist. Die Verallgemeinerung des Satzes auf Riemann-Flächen ist das berühmte Uniformisierungstheorem, das im 19. Jahrhundert von Henri Poincaré und Felix Klein bewiesen wurde. Auch hier wurden strenge Beweise erst nach der Entwicklung reichhaltigerer mathematischer Werkzeuge gegeben – in diesem Fall Topologie. Für den Beweis der Existenz von Funktionen auf Riemann-Flächen verwendete er eine Minimalitätsbedingung, die er das Dirichlet-Prinzip nannte. Karl Weierstrass fand eine Lücke im Beweis: Riemann hatte nicht bemerkt, dass seine Annahme, dass das Minimum existierte, möglicherweise nicht funktioniert; der Funktionenraum könnte nicht vollständig sein, und daher war die Existenz eines Minimums nicht garantiert. Durch die Arbeiten von David Hilbert in der Variationsrechnung wurde das Dirichlet-Prinzip schließlich etabliert. Ansonsten war Weierstrass sehr beeindruckt von Riemann, besonders von seiner Theorie der abelschen Funktionen. Als Riemanns Arbeit erschien, zog Weierstrass seine Arbeit aus dem Journal von Crelle zurück und veröffentlichte sie nicht. Sie hatten ein gutes Verständnis, als Riemann ihn 1859 in Berlin besuchte. Weierstrass ermutigte seinen Schüler Hermann Amandus Schwarz, Alternativen zum Dirichlet-Prinzip in der komplexen Analysis zu finden, bei denen er erfolgreich war. Eine Anekdote von Arnold Sommerfeld zeigt die Schwierigkeiten, die zeitgenössische Mathematiker mit Riemanns neuen Ideen hatten. 1870 hatte Weierstrass Riemanns Dissertation zu einem Urlaub nach Rigi mitgenommen und beschwert sich, dass sie schwer zu verstehen war. Der Physiker Hermann von Helmholtz half ihm über Nacht dabei und kehrte mit dem Kommentar zurück, dass es „natürlich" und „sehr verständlich" war.
Weitere Highlights umfassen seine Arbeiten zu abelschen Funktionen und Theta-Funktionen auf Riemann-Flächen. Riemann hatte seit 1857 einen Wettbewerb mit Weierstrass, um das Jacobi-Umkehrproblem für abelsche Integrale, eine Verallgemeinerung von elliptischen Integralen, zu lösen. Riemann verwendete Theta-Funktionen in mehreren Variablen und reduzierte das Problem auf die Bestimmung der Nullstellen dieser Theta-Funktionen. Riemann untersuchte auch Periodmatrizen und charakterisierte sie durch die „Riemannschen Periodenrelationen" – symmetrisch, reeller Teil negativ. Von Ferdinand Georg Frobenius und Solomon Lefschetz ist die Gültigkeit dieser Relation äquivalent mit der Einbettung von C n / Ω, dies ist die Jacobi-Varietät der Riemann-Fläche, ein Beispiel einer abelschen Mannigfaltigkeit.
Viele Mathematiker wie Alfred Clebsch erweiterten Riemanns Arbeiten zu algebraischen Kurven. Diese Theorien hingen von den Eigenschaften einer Funktion ab, die auf Riemann-Flächen definiert ist. Zum Beispiel sagt das Riemann-Roch-Theorem – Roch war ein Schüler von Riemann – etwas über die Anzahl der linear unabhängigen Differentiale mit bekannten Bedingungen an den Nullstellen und Polen einer Riemann-Fläche aus.
Laut Detlef Laugwitz erschienen automorphe Funktionen zum ersten Mal in einem Aufsatz über die Laplace-Gleichung auf elektrisch geladenen Zylindern. Riemann verwendete jedoch solche Funktionen für konforme Abbildungen, wie das Abbilden topologischer Dreiecke auf den Kreis in seiner Vorlesung von 1859 über hypergeometrische Funktionen oder in seiner Abhandlung über Minimalflächen.
Reelle Analysis
Im Bereich der reellen Analysis entdeckte er das Riemann-Integral in seiner Habilitation. Unter anderem zeigte er, dass jede stückweise stetige Funktion integrierbar ist. Ebenso geht das Stieltjes-Integral auf den Göttinger Mathematiker zurück, und daher sind sie zusammen als Riemann-Stieltjes-Integral bekannt.
In seiner Habilitationsarbeit zu Fourier-Reihen, bei der er der Arbeit seines Lehrers Dirichlet folgte, zeigte er, dass Riemann-integrierbare Funktionen durch Fourier-Reihen „darstellbar" sind. Dirichlet hatte dies für stetige, stückweise differenzierbare Funktionen gezeigt, also mit abzählbar vielen nicht differenzierbaren Punkten. Riemann gab ein Beispiel einer Fourier-Reihe, die eine stetige, fast nirgendwo differenzierbare Funktion darstellte, ein Fall, der nicht von Dirichlet abgedeckt wurde. Er bewies auch das Riemann-Lebesgue-Lemma: Wenn eine Funktion durch eine Fourier-Reihe darstellbar ist, gehen die Fourier-Koeffizienten für große n gegen Null.
Riemanns Aufsatz war auch der Ausgangspunkt für Georg Cantors Arbeiten mit Fourier-Reihen, die der Anlass für die Mengenlehre waren.
Er arbeitete auch 1857 mit hypergeometrischen Differentialgleichungen unter Verwendung komplexer analytischer Methoden und präsentierte die Lösungen durch das Verhalten geschlossener Pfade um Singularitäten, beschrieben durch die Monodromie-Matrix. Der Beweis der Existenz solcher Differentialgleichungen durch vorher bekannte Monodromie-Matrizen ist eines der Hilbert-Probleme.
Zahlentheorie
Er leistete einige berühmte Beiträge zur modernen analytischen Zahlentheorie. In einem einzigen kurzen Aufsatz, dem einzigen, den er zum Thema Zahlentheorie veröffentlichte, untersuchte er die Zeta-Funktion, die jetzt seinen Namen trägt, und etablierte ihre Bedeutung für das Verständnis der Verteilung von Primzahlen. Die Riemann-Hypothese war eine von mehreren Vermutungen, die er über die Eigenschaften der Funktion aufstellte.
In Riemanns Arbeiten gibt es viele weitere interessante Entwicklungen. Er bewies die Funktionalgleichung für die Zeta-Funktion, die bereits Leonhard Euler bekannt war, hinter der eine Theta-Funktion liegt. Durch die Summation dieser Approximationsfunktion über die nicht-trivialen Nullstellen auf der Linie mit Realteil 1/2 gab er eine exakte, „explizite Formel" für π x an.
Riemann kannte die Arbeiten von Pafnuty Chebyshev zum Primzahlsatz. Er h
