Wie die Sonne die Sterne durch ihre Helligkeit verfinstert, so wird der Mann des Wissens den Ruhm anderer in Versammlungen des Volkes verfinstern, wenn er algebraische Probleme vorschlägt, und noch mehr, wenn er sie löst.
Brahmagupta war ein indischer Mathematiker und Astronom. Er ist der Autor von zwei frühen Werken über Mathematik und Astronomie: die Brāhmasphuṭasiddhānta BSS, „korrekt etablierte Lehre des Brahma", datiert auf 628, eine theoretische Abhandlung, und die Khaṇḍakhādyaka „essbarer Bissen", datiert auf 665, ein praktischerer Text.
Brahmagupta war der erste, der Regeln zur Berechnung mit Null gab. Die von Brahmagupta verfassten Texte waren in elliptischen Versen auf Sanskrit, wie es in der indischen Mathematik üblich war. Da keine Beweise angegeben werden, ist nicht bekannt, wie Brahmaguptas Ergebnisse hergeleitet wurden.
Leben und Karriere
Brahmagupta wurde 598 n. Chr. geboren, wie er selbst feststellte. Er lebte in Bhillamāla in Gurjaradesa, dem heutigen Bhinmal in Rajasthan, Indien, während der Herrschaft des Chavda-Dynastieherrschers Vyagrahamukha. Er war der Sohn von Jishnugupta und war von Religionszugehörigkeit Hindu, insbesondere ein Shaivit. Er lebte und arbeitete dort einen großen Teil seines Lebens. Prithudaka Svamin, ein späterer Kommentator, nannte ihn Bhillamalacharya, den Lehrer aus Bhillamala.
Bhillamala war die Hauptstadt von Gurjaradesa, dem zweitgrößten Königreich Westindiens, das das südliche Rajasthan und nördliche Gujarat im heutigen Indien umfasste. Es war auch ein Zentrum des Lernens für Mathematik und Astronomie. Brahmagupta wurde Astronom der Brahmapaksha-Schule, eine der vier Hauptschulen der indischen Astronomie in dieser Zeit. Er studierte die fünf traditionellen Siddhartha der indischen Astronomie sowie die Werke anderer Astronomen, darunter Aryabhata I, Latadeva, Pradyumna, Varahamihira, Simha, Srisena, Vijayanandin und Vishnuchandra.
Im Jahr 628, im Alter von 30 Jahren, verfasste er die „Brāhmasphuṭasiddhānta", die verbesserte Abhandlung des Brahma, die als überarbeitete Version der erhaltenen Siddhanta der Brahmapaksha-Schule der Astronomie angesehen wird. Gelehrte geben an, dass er seiner Überarbeitung eine große Originalität verlieh und eine beträchtliche Menge neuen Materials hinzufügte. Das Buch besteht aus 24 Kapiteln mit 1008 Versen im ārya-Metrum. Ein großer Teil davon ist Astronomie, enthält aber auch Schlüsselkapitel über Mathematik, einschließlich Algebra, Geometrie, Trigonometrie und Algorithmik, die vermutlich neue Erkenntnisse von Brahmagupta selbst enthalten.
Später zog Brahmagupta nach Ujjaini, Avanti, das auch ein großes Zentrum für Astronomie in Zentralindien war. Im Alter von 67 Jahren verfasste er sein nächstes bekanntes Werk Khanda-khādyaka, ein praktisches Handbuch der indischen Astronomie in der karana-Kategorie, das von Schülern verwendet werden sollte.
Brahmagupta starb 668 n. Chr., und es wird angenommen, dass er in Ujjain starb.
Kontroverse
Brahmagupta richtete viel Kritik gegen die Arbeiten rivalisierender Astronomen, und sein Brahmasphutasiddhanta zeigt eine der frühesten Spaltungen unter indischen Mathematikern. Die Teilung betraf hauptsächlich die Anwendung von Mathematik auf die physische Welt, nicht die Mathematik selbst. In Brahmaguptas Fall stammten die Meinungsverschiedenheiten hauptsächlich von der Wahl astronomischer Parameter und Theorien. Kritiken an rivalisierenden Theorien erscheinen throughout die ersten zehn astronomischen Kapitel, und das elfte Kapitel ist ganz der Kritik dieser Theorien gewidmet, obwohl keine Kritiken im zwölften und achtzehnten Kapitel erscheinen.
Rezeption
Der Wissenschaftshistoriker George Sarton nannte ihn „einen der größten Wissenschaftler seiner Rasse und den größten seiner Zeit." Brahmaguptas mathematische Fortschritte wurden von Bhāskara II, einem direkten Nachkommen in Ujjain, weitergeführt, der Brahmagupta als ganaka-chakra-chudamani, das Juwel des Kreises der Mathematiker, beschrieb. Prithudaka Svamin schrieb Kommentare zu beiden seinen Werken und vereinfachte schwierige Verse in eine einfachere Sprache und fügte Illustrationen hinzu. Lalla und Bhattotpala im 8. und 9. Jahrhundert schrieben Kommentare zur Khanda-khadyaka. Weitere Kommentare wurden bis ins 12. Jahrhundert hinein geschrieben.
Ein paar Jahrzehnte nach dem Tod von Brahmagupta kam Sindh 712 n. Chr. unter das arabische Kalifat. Expeditionen wurden nach Gurjaradesa „Al-Baylaman in Jurz" entsandt, wie arabische Historiker berichten. Das Königreich Bhillamala scheint vernichtet worden zu sein, aber Ujjain wehrte die Angriffe ab. Der Hof des Kalifen Al-Mansur 754–775 empfing eine Gesandtschaft aus Sindh, einschließlich eines Astrologen namens Kanaka, der möglicherweise auswendig gelernte astronomische Texte mitbrachte, darunter die von Brahmagupta. Brahmaguptas Texte wurden von Muhammad al-Fazari, einem Astronomen am Hof von Al-Mansur, unter den Namen Sindhind und Arakhand ins Arabische übersetzt. Eine unmittelbare Folge war die Verbreitung des in den Texten verwendeten dezimalen Zahlensystems. Der Mathematiker Al-Khwarizmi 800–850 n. Chr. schrieb einen Text namens al-Jam wal-tafriq bi hisal-al-Hind Addition und Subtraktion in der indischen Arithmetik, der im 13. Jahrhundert als Algorithmi de numero indorum ins Lateinische übersetzt wurde. Durch diese Texte verbreiteten sich das dezimale Zahlensystem und Brahmaguptas Algorithmen für Arithmetik in der ganzen Welt. Al-Khwarizmi schrieb auch seine eigene Version von Sindhind, die sich auf Al-Fazaris Version stützte und ptolemäische Elemente incorporierte. Indisches astronomisches Material zirkulierte jahrhundertelang weit herum und gelangte sogar in mittelalterliche lateinische Texte.
Mathematik
Algebra
Brahmagupta gab die Lösung der allgemeinen linearen Gleichung in Kapitel achtzehn der Brahmasphutasiddhānta,
dies ist eine Lösung für die Gleichung bx + c = dx + e, wobei rupas auf die Konstanten c und e verweist. Die gegebene Lösung ist äquivalent zu x = e − c/b − d. Er gab dann zwei äquivalente Lösungen für die allgemeine quadratische Gleichung
18.44. Verringern Sie um die mittlere [Zahl] die Quadratwurzel der rupas, die mit viermal dem Quadrat multipliziert und um das Quadrat der mittleren [Zahl] erhöht wird; teilen Sie den Rest durch zweimal das Quadrat. [Das Ergebnis ist] die mittlere [Zahl].
18.45. Was auch immer die Quadratwurzel der rupas ist, die mit dem Quadrat [und] erhöht um das Quadrat der Hälfte der Unbekannten multipliziert wird, verringern Sie das um die Hälfte der Unbekannten [und] teilen Sie [den Rest] durch sein Quadrat. [Das Ergebnis ist] die Unbekannte.
dies sind jeweils Lösungen für die Gleichung ax2 + bx = c, äquivalent zu,
und
Er fuhr fort, Systeme simultaner unbestimmter Gleichungen zu lösen, indem er feststellte, dass die gewünschte Variable zunächst isoliert werden muss und dann die Gleichung durch den Koeffizienten der gewünschten Variablen geteilt werden muss. Insbesondere empfahl er, „den Pulverizer" zu verwenden, um Gleichungen mit mehreren Unbekannten zu lösen.
18.51. Subtrahieren Sie die Farben, die sich von der ersten Farbe unterscheiden. [Der Rest] geteilt durch die erste [Farbkoeffizient] ist das Maß der ersten. [Ausdrücke] zwei zu zwei [werden] berücksichtigt [wenn reduziert auf] ähnliche Divisoren, [und so weiter] wiederholt. Wenn es viele [Farben] gibt, wird der Pulverizer [verwendet].
Wie die Algebra des Diophant war die Algebra des Brahmagupta synkopiert. Addition wurde durch Nebeneinander der Zahlen angezeigt, Subtraktion durch Platzierung eines Punktes über dem Subtrahend und Division durch Platzierung des Divisors unter dem Dividenden, ähnlich unserer Notation, aber ohne den Strich. Multiplikation, Evolution und unbekannte Größen wurden durch Abkürzungen angemessener Begriffe dargestellt. Das Ausmaß des griechischen Einflusses auf diese Synkope, falls vorhanden, ist nicht bekannt, und es ist möglich, dass sowohl griechische als auch indische Synkope von einer gemeinsamen babylonischen Quelle stammen könnten.
Arithmetik
Die vier grundlegenden Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division waren vielen Kulturen vor Brahmagupta bekannt. Dieses aktuelle System basiert auf dem Hindu-Arabischen Zahlensystem und erschien zunächst in der Brahmasphutasiddhanta. Brahmagupta beschreibt die Multiplikation wie folgt: „Der Multiplikand wird wie eine Schnur für Rinder wiederholt, so oft wie es integrale Teile im Multiplikator gibt, und wird wiederholt mit ihnen multipliziert und die Produkte werden zusammenaddiert. Es ist Multiplikation. Oder der Multiplikand wird so oft wiederholt wie es Komponententeile im Multiplikator gibt". Indische Arithmetik war im Mittelalter in Europa als „Modus Indorum" bekannt, was „Methode der Inder" bedeutet. In der Brahmasphutasiddhanta wurde Multiplikation Gomutrika genannt.
Zu Beginn von Kapitel zwölf seiner Brahmasphutasiddhānta mit dem Titel Berechnung gibt Brahmagupta Operationen auf Brüchen an. Es wird erwartet, dass der Leser die grundlegenden arithmetischen Operationen bis zur Berechnung der Quadratwurzel kennt, obwohl er erklärt, wie man die Kubikwurzel und Kubikwurzel einer ganzen Zahl findet, und später Regeln angibt, die die Berechnung von Quadraten und Quadratwurzeln erleichtern. Er gibt dann Regeln für den Umgang mit fünf Arten von Bruchkombinationen an: a/c + b/c; a/c × b/d; a/1 + b/d; a/c + b/d × a/c = ad + b/cd; und a/c − b/d × a/c = ad − b/cd.
Reihen
Brahmagupta fährt dann fort, die Summe der Quadrate und Kuben der ersten n ganzen Zahlen zu geben.
Hier fand Brahmagupta das Ergebnis in Bezug auf die Summe der ersten n ganzen Zahlen, statt in Bezug auf n wie in der modernen Praxis.
Er gibt die Summe der Quadrate der ersten n natürlichen Zahlen als nn + 12n + 1/6 und die Summe der Kuben der ersten n natürlichen Zahlen als nn + 1/22 an.
Null
Brahmaguptas Brahmasphuṭasiddhānta ist das erste Buch, das Regeln für arithmetische Manipulationen gibt, die auf Null und negative Zahlen anwendbar sind. Die Brahmasphutasiddhānta ist der früheste bekannte Text, der Null als Zahl in sich selbst behandelt, nicht nur als Platzhalterziffer bei der Darstellung einer anderen Zahl wie bei den Babyloniern oder als Symbol für das Fehlen einer Menge wie bei Ptolemäus und den Römern. In Kapitel achtzehn seiner Brahmasphutasiddhānta beschreibt Brahmagupta Operationen auf negative Zahlen. Er beschreibt zunächst Addition und Subtraktion,
18.30. [Die Summe] von zwei Positiven ist positiv, von zwei Negativen negativ; von einem Positiven und einem Negativen [die Summe] ist ihre Differenz; wenn sie gleich sind, ist es Null. Die Summe aus Negativ und Null ist negativ, [die] eines Positiven und Null Positiv, [und die] von zwei Nullen Null.
18.32. Ein Negatives minus Null ist negativ, ein Positives [minus Null] positiv; Null [minus Null] ist Null. Wenn ein Positives von einem Negativen subtrahiert werden soll oder ein Negatives von einem Positiven, dann muss es addiert werden.
Er fährt dann fort, die Multiplikation zu beschreiben,
18.33. Das Produkt eines Negativen und eines Positiven ist negativ, von zwei Negativen positiv, und von Positiven positiv; das Produkt von Null und einem Negativen, von Null und einem Positiven oder von zwei Nullen ist Null.
Aber seine Beschreibung der Division durch Null unterscheidet sich von unserem modernen Verständnis:
18.34. Ein Positives geteilt durch ein Positives oder ein Negatives geteilt durch ein Negatives ist positiv; eine Null geteilt durch eine Null ist Null; ein Positives geteilt durch ein Negatives ist negativ; ein Negatives geteilt durch ein Positives ist [auch] negativ.
18.35. Ein Negatives oder ein Positives geteilt durch Null hat das [Null] als seinen Divisor, oder Null geteilt durch ein Negatives oder ein Positives [hat das Negative oder Positive als seinen Divisor]. Das Quadrat eines Negativen oder eines Positiven ist positiv; [das Quadrat] von Null ist Null. Das, dessen [Quadrat] das Quadrat ist, ist [seine] Quadratwurzel.
Hier stellt Brahmagupta fest, dass / = 0, und zur Frage von a/, wobei a ≠ 0, hat er sich nicht festgelegt. Seine Regeln für arithmetische Operationen auf negative Zahlen und Null sind dem modernen Verständnis ziemlich nahe, außer dass in der modernen Mathematik die Division durch Null undefiniert bleibt.
Diophantische Analyse
Pythagoreische Tripel
In Kapitel zwölf seiner Brahmasphutasiddhanta liefert Brahmagupta eine Formel, die zum Generieren von pythagoräischen Tripeln nützlich ist:
12.39. Die Höhe eines Berges multipliziert mit einem gegebenen Multiplikator ist die Entfernung zu einer Stadt; sie wird nicht gelöscht. Wenn sie durch den Multiplikator erhöht um zwei geteilt wird, ist es der Sprung eines der zwei, die die gleiche Reise machen.
Mit anderen Worten, wenn d = mx/x + 2, dann reist ein Reisender, der vertikal nach oben um eine Strecke d von der Spitze eines Berges der Höhe m „springt" und dann in einer geraden Linie zu einer Stadt in einer horizontalen Entfernung mx von der Basis des Berges reist, die gleiche Strecke wie einer, der vertikal den Berg hinuntersteigt und dann horizontal zur Stadt reist. Geometrisch ausgedrückt, bedeutet dies, dass wenn ein rechtwinkliges Dreieck eine Basis der Länge a = mx und eine Höhe der Länge b = m + d hat, die Länge c seiner Hypotenuse durch c = m1 + x − d gegeben ist. Und tatsächlich zeigt elementare algebraische Manipulation, dass a2 + b2 = c2 wann immer d den angegebenen Wert hat. Auch wenn m und x rational sind, sind d, a, b und c rational. Ein pythagoräisches Tripel kann daher aus a, b und c erhalten werden, indem jedes von ihnen mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen ihrer Nenner multipliziert wird.
Pells Gleichung
Brahmagupta fuhr fort, eine Rekurrenzrelation zum Generieren von Lösungen für bestimmte Instanzen diophantischer Gleichungen der
