Eudoxus of Cnidus

Gerne würde ich wie Phaeton in Flammen aufgehen, wenn dies der Preis für das Erreichen der Sonne wäre und das Erlernen ihrer Form, ihrer Größe und ihrer Substanz.

Eudoxus von Cnidus war ein antiker griechischer Astronom, Mathematiker, Gelehrter und Schüler von Archytas und Platon. Alle seine Werke sind verloren, obwohl einige Fragmente in Hipparchs Kommentar zu Aratus' Gedicht über Astronomie erhalten sind. Sphaerics von Theodosius von Bithynien könnte auf einem Werk von Eudoxus basieren.

Leben

Eudoxus wurde geboren und starb in Cnidus, auch Knidos geschrieben, einer Stadt an der Südwestküste der heutigen Türkei. Die Jahre der Geburt und des Todes von Eudoxus sind nicht vollständig bekannt, aber die Spanne könnte c. 408 – c. 355 v.Chr. oder c. 390 – c. 337 v.Chr. gewesen sein. Sein Name Eudoxus bedeutet „geehrt" oder „von gutem Ruf" εὔδοξος, von eu „gut" und doxa „Meinung, Glaube, Ruhm". Es ist analog zum lateinischen Namen Benedictus.

Eudoxus' Vater, Aeschines von Cnidus, liebte es, nachts die Sterne zu beobachten. Eudoxus reiste zuerst nach Tarentum, um mit Archytas zu studieren, von dem er Mathematik lernte. Während seines Aufenthalts in Italien besuchte Eudoxus Sizilien, wo er Medizin mit Philiston studierte.

Im Alter von 23 Jahren reiste er mit dem Arzt Theomedon – der nach Diogenes Laërtius von einigen für seinen Liebhaber gehalten wurde – nach Athen, um bei den Anhängern des Sokrates zu studieren. Er besuchte schließlich Vorlesungen von Platon und anderen Philosophen mehrere Monate lang, aber aufgrund eines Streits zerstritten sie sich. Eudoxus war sehr arm und konnte sich nur eine Wohnung im Piraeus leisten. Um an Platons Vorlesungen teilzunehmen, lief er täglich 7 Meilen 11 km in jede Richtung. Aufgrund seiner Armut sammelten seine Freunde Mittel, um ihn nach Heliopolis, Ägypten, zu schicken, um sein Studium der Astronomie und Mathematik fortzusetzen. Dort lebte er 16 Monate lang. Von Ägypten aus reiste er dann nach Norden nach Cyzicus, das an der Südküste des Marmarameeres, der Propontis, liegt. Er reiste nach Süden zum Hof von Mausolus. Während seiner Reisen sammelte er viele eigene Schüler.

Um 368 v.Chr. kehrte Eudoxus mit seinen Schülern nach Athen zurück. Nach einigen Quellen übernahm er um 367 die Leitung der Akademie während Platons Zeit in Syrakus und unterrichtete Aristoteles. Er kehrte schließlich in sein Heimatland Cnidus zurück, wo er in der Stadtversammlung tätig war. Während seines Aufenthalts in Cnidus baute er ein Observatorium und schrieb weiterhin und hielt Vorlesungen über Theologie, Astronomie und Meteorologie. Er hatte einen Sohn, Aristagoras, und drei Töchter, Actis, Philtis und Delphis.

In der mathematischen Astronomie verdankt er seinen Ruhm der Einführung der konzentrischen Sphären und seinen frühen Beiträgen zum Verständnis der Planetenbewegung.

Seine Arbeit zu Proportionen zeigt Einsicht in reelle Zahlen; sie ermöglicht eine strenge Behandlung von kontinuierlichen Größen und nicht nur von ganzen Zahlen oder auch nur von rationalen Zahlen. Als sie im 16. Jahrhundert von Tartaglia und anderen wiederbelebt wurde, wurde sie zur Grundlage für quantitative Arbeiten in der Wissenschaft für ein Jahrhundert, bis sie von Richard Dedekind ersetzt wurde.

Krater auf dem Mars und dem Mond sind zu seinen Ehren benannt. Eine algebraische Kurve, die Kampyle von Eudoxus, ist ebenfalls nach ihm benannt.

Mathematik

Eudoxus wird von einigen als der größte klassische griechische Mathematiker angesehen und in der gesamten Antike nur von Archimedes übertroffen. Eudoxus war wahrscheinlich die Quelle für den größten Teil von Buch V der Elemente von Euklid. Er entwickelte rigoros Antiphons Exhaustionsmethode, einen Vorläufer der Integralrechnung, die auch von Archimedes im folgenden Jahrhundert meisterlich verwendet wurde. Bei der Anwendung dieser Methode bewies Eudoxus mathematische Aussagen wie: Flächen von Kreisen verhalten sich zueinander wie die Quadrate ihrer Radien, Volumen von Sphären verhalten sich zueinander wie die Kuben ihrer Radien, das Volumen einer Pyramide ist ein Drittel des Volumens eines Prismas mit derselben Basis und Höhe, und das Volumen eines Kegels ist ein Drittel des Volumens des entsprechenden Zylinders.

Eudoxus führte die Idee einer nicht quantifizierten mathematischen Größe ein, um kontinuierliche geometrische Entitäten wie Linien, Winkel, Flächen und Volumen zu beschreiben und zu bearbeiten, wodurch die Verwendung von irrationalen Zahlen vermieden wurde. Dadurch kehrte er die pythagoräische Betonung von Zahl und Arithmetik um und konzentrierte sich stattdessen auf geometrische Konzepte als Grundlage der rigorosen Mathematik. Einige Pythagoräer, wie Eudoxus' Lehrer Archytas, hatten geglaubt, dass nur die Arithmetik eine Grundlage für Beweise bieten könne. Durch die Notwendigkeit, inkommensurable Größen zu verstehen und damit zu arbeiten, etablierte Eudoxus möglicherweise die erste deduktive Organisation der Mathematik auf der Grundlage expliziter Axiome. Der Fokus-Wechsel durch Eudoxus stimulierte eine Spaltung in der Mathematik, die zweitausend Jahre anhielt. In Kombination mit einer griechischen intellektuellen Haltung, die sich nicht um praktische Probleme kümmerte, folgte ein bedeutsamer Rückgang in der Entwicklung von Techniken in Arithmetik und Algebra.'

Die Pythagoräer hatten entdeckt, dass die Diagonale eines Quadrats keine gemeinsame Maßeinheit mit den Seiten des Quadrats hat; dies ist die berühmte Entdeckung, dass die Quadratwurzel von 2 nicht als Verhältnis von zwei ganzen Zahlen ausgedrückt werden kann. Diese Entdeckung hatte die Existenz von inkommensurablen Größen jenseits der ganzen Zahlen und rationalen Brüche angekündigt, aber gleichzeitig stellte sie die Idee von Messung und Berechnung in der Geometrie als Ganzes in Frage. Beispielsweise liefert Euklid einen aufwendigen Beweis des Satzes des Pythagoras Elements I.47 durch Addition von Flächen und erst viel später Elements VI.31 einen einfacheren Beweis aus ähnlichen Dreiecken, der auf Verhältnissen von Liniensegmenten beruht.

Antike griechische Mathematiker rechneten nicht mit Größen und Gleichungen wie wir heute, sondern verwendeten stattdessen Proportionalitäten, um die Beziehung zwischen Größen auszudrücken. Somit war das Verhältnis von zwei ähnlichen Größen nicht nur ein numerischer Wert, wie wir es heute denken; das Verhältnis von zwei ähnlichen Größen war eine primitive Beziehung zwischen ihnen.

Eudoxus konnte das Vertrauen in die Verwendung von Proportionalitäten wiederherstellen, indem er eine erstaunliche Definition für die Bedeutung der Gleichheit zwischen zwei Verhältnissen lieferte. Diese Definition der Proportion bildet das Thema von Euklids Buch V.

In Definition 5 von Euklids Buch V lesen wir:

Größen sollen in demselben Verhältnis stehen, die erste zur zweiten und die dritte zur vierten, wenn beliebige Vielfache der ersten und dritten einerseits und beliebige Vielfache der zweiten und vierten andererseits, diese Vielfachen in derselben Reihenfolge jeweils übertreffen, gleich sind oder hinter den letzteren Vielfachen zurückbleiben.

Unter Verwendung moderner Notation wird dies wie folgt verdeutlicht. Wenn wir vier Größen nehmen: a, b, c und d, dann haben die erste und zweite ein Verhältnis a / b .

Um zu sagen, dass a / b = c / d, machen wir Folgendes: Für zwei beliebige ganze Zahlen m und n bilden wir die Vielfachen m·a und m·c der ersten und dritten; ebenso bilden wir die Vielfachen n·b und n·d der zweiten und vierten.

Wenn es sich ergibt, dass m·a > n·b, dann müssen wir auch m·c > n·d haben. Wenn es sich ergibt, dass m·a = n·b, dann müssen wir auch m·c = n·d haben. Schließlich, wenn es sich ergibt, dass m·a < n·b, dann müssen wir auch m·c < n·d haben.

Beachten Sie, dass die Definition vom Vergleich der ähnlichen Größen m·a und n·b sowie der ähnlichen Größen m·c und n·d abhängt und nicht von der Existenz einer gemeinsamen Maßeinheit dieser Größen abhängt.

Die Komplexität der Definition widerspiegelt die tiefe konzeptionelle und methodische Innovation, die beteiligt ist. Sie erinnert an das berühmte fünfte Postulat von Euklid bezüglich Parallelen, das in seiner Formulierung umfangreicher und komplizierter ist als die anderen Postulate.

Die eudoxische Definition der Proportionalität verwendet den Quantor „für alle ...", um das Unendliche und das Infinitesimale zu nutzen, genau wie die modernen Epsilon-Delta-Definitionen von Limit und Stetigkeit.

Darüber hinaus ist die archimedische Eigenschaft, die als Definition 4 von Euklids Buch V angegeben ist, ursprünglich nicht auf Archimedes zurückzuführen, sondern auf Eudoxus.

Astronomie

Im antiken Griechenland war die Astronomie ein Zweig der Mathematik; Astronomen versuchten, geometrische Modelle zu schaffen, die die Erscheinungen von Himmelsbewegungen nachahmen konnten. Die Identifizierung der astronomischen Arbeiten von Eudoxus als separate Kategorie ist daher eine moderne Bequemlichkeit. Einige der astronomischen Texte von Eudoxus, deren Namen erhalten sind, sind:

• Verschwinden der Sonne, möglicherweise über Finsternisse
• Oktaeteris Ὀκταετηρίς, über einen achtzährigen lunisolar-Venus-Zyklus des Kalenders
• Phaenomena Φαινόμενα und Entropon Ἔντροπον, über sphärische Astronomie, wahrscheinlich basierend auf Beobachtungen von Eudoxus in Ägypten und Cnidus
• Über Geschwindigkeiten, über Planetenbewegungen

Wir sind ziemlich gut über den Inhalt von Phaenomena informiert, denn Eudoxus' Prosatext war die Grundlage für ein Gedicht mit demselben Namen von Aratus. Hipparch zitierte aus dem Text von Eudoxus in seinem Kommentar zu Aratus.

Eudoxische Planetenmodelle

Ein allgemeiner Eindruck des Inhalts von Über Geschwindigkeiten lässt sich aus Aristoteles' Metaphysik XII, 8 und einem Kommentar von Simplicius von Cilicia 6. Jahrhundert n.Chr. zu De caelo, einem anderen Werk von Aristoteles, gewinnen. Nach einer Geschichte, die von Simplicius berichtet wird, stellte Platon eine Frage an griechische Astronomen: „Durch die Annahme welcher gleichmäßigen und ordnungsgemäßen Bewegungen können die scheinbaren Bewegungen der Planeten erklärt werden?" zitiert in Lloyd 1970, S. 84. Platon schlug vor, dass die scheinbar chaotischen Wanderbewegungen der Planeten durch Kombinationen von einheitlichen kreisförmigen Bewegungen, die auf einer kugelförmigen Erde zentriert sind, erklärt werden könnten, offenbar eine neuartige Idee im 4. Jahrhundert v.Chr.

In den meisten modernen Rekonstruktionen des eudoxischen Modells werden dem Mond drei Sphären zugeordnet:

• Die äußerste rotiert westlich einmal in 24 Stunden und erklärt das Aufgehen und Untergehen.
• Die zweite rotiert östlich einmal im Monat und erklärt die monatliche Bewegung des Mondes durch den Tierkreis.
• Die dritte vollzieht ihre Umdrehung ebenfalls in einem Monat, aber ihre Achse ist in einem leicht anderen Winkel geneigt, was die Bewegung in Breitengrad (Abweichung von der Ekliptik) und die Bewegung der Mondknoten erklärt.

Der Sonne werden ebenfalls drei Sphären zugeordnet. Die zweite vollzieht ihre Bewegung in einem Jahr statt in einem Monat. Die Einbeziehung einer dritten Sphäre impliziert, dass Eudoxus fälschlicherweise glaubte, dass die Sonne eine Bewegung im Breitengrad hatte.

Die fünf sichtbaren Planeten Venus, Merkur, Mars, Jupiter und Saturn werden jeweils vier Sphären zugeordnet:

• Die äußerste erklärt die tägliche Bewegung.
• Die zweite erklärt die Bewegung des Planeten durch den Tierkreis.
• Die dritte und vierte erklären gemeinsam die Rückläufigkeit, wenn ein Planet zu verlangsamen scheint, dann kurz seine Bewegung durch den Tierkreis kurzzeitig umkehrt. Durch Neigung der Achsen der beiden Sphären zueinander und Drehung in entgegengesetzten Richtungen mit gleichen Perioden konnte Eudoxus einen Punkt auf der inneren Sphäre eine Acht-Form oder Hippopede nachzeichnen lassen.

Bedeutung des eudoxischen Systems

Callippus, ein griechischer Astronom des 4. Jahrhunderts, fügte sieben Sphären zu Eudoxus' ursprünglichen 27 hinzu, zusätzlich zu den Planetensphären schloss Eudoxus eine Sphäre für die Fixsterne ein. Aristoteles beschrieb beide Systeme, bestand aber darauf, „Abrollungs"-Sphären zwischen jedem Satz von Sphären hinzuzufügen, um die Bewegungen der äußeren Sphäre zu stornieren. Aristoteles sorgte sich um die physische Natur des Systems; ohne Abroller würden die äußeren Bewegungen auf die inneren Planeten übertragen.

Ein großer Fehler im eudoxischen System ist seine Unfähigkeit, Veränderungen in der Helligkeit von Planeten, wie sie von der Erde aus zu sehen sind, zu erklären. Da die Sphären konzentrisch sind, werden Planeten immer in derselben Entfernung von der Erde bleiben. Dieses Problem wurde in der Antike von Autolycus von Pitane hingewiesen. Astronomen reagierten, indem sie den Deferent und Epizykel einführten, was einen Planeten dazu brachte, seine Entfernung zu variieren. Eudoxus' Bedeutung für die griechische Astronomie ist jedoch erheblich, da er der erste war, der eine mathematische Erklärung der Planeten versuchte.

Ethik

Aristoteles schreibt in der Nikomachischen Ethik Eudoxus ein Argument zugunsten des Hedonismus zu – das heißt, dass Vergnügen das ultimative Gut ist, das Aktivität anstrebt. Nach Aristoteles brachte Eudoxus die folgenden Argumente für diese Position vor:

1. Alle Dinge, rationale und irrationale, streben nach Vergnügen; Dinge streben danach, was sie für gut halten; ein guter Hinweis darauf, was das höchste Gut ist, wäre das, das die meisten Dinge anstreben.
2. Ähnlich wird Vergnügens Gegenteil – Schmerz – universell vermieden, was zusätzliche Unterstützung für die Idee liefert, dass Vergnügen universell als gut angesehen wird.
3. Menschen suchen Vergnügen nicht als Mittel zu etwas anderem, sondern als Zweck an sich.
4. Jedes andere Gut, das Sie sich vorstellen können, wäre besser, wenn Vergnügen hinzugefügt würde, und nur durch Gutes kann Gutes vermehrt werden.
5. Von all den Dingen, die gut sind, ist Glück insofern eigenartig, als es nicht gelobt wird, was zeigen könnte, dass es das überragende Gut ist.