Carl Gustav Jacob Jacobi

كارل جوستاف جاكوب جاكوبي كان عالم رياضيات ألمانياً قدم مساهمات أساسية في الدوال الإهليلجية والديناميكا والمعادلات التفاضلية والمحددات ونظرية الأعداد. 

كان جاكوبي أول عالم رياضيات يهودي يتم تعيينه كأستاذ في جامعة ألمانية.

السيرة الذاتية

وُلد جاكوبي من أصول يهودية أشكنازية في Potsdam في 10 ديسمبر 1804. كان الثاني من أربعة أطفال لمصرفي يدعى Simon Jacobi. كان أخوه الأكبر Moritz von Jacobi سيصبح لاحقاً معروفاً كمهندس وفيزيائي. تلقى تعليمه في البداية على يد عمه Lehman في المنزل، الذي علمه اللغات الكلاسيكية وعناصر الرياضيات. في عام 1816، ذهب جاكوبي وهو في الثانية عشرة من عمره إلى Potsdam Gymnasium، حيث تم تدريس الطلاب جميع المواضيع المعيارية: اللغات الكلاسيكية والتاريخ والفيلولوجيا والرياضيات والعلوم وغيرها. نتيجة للتعليم الجيد الذي تلقاه من عمه، وكذلك قدراته الاستثنائية الخاصة به، تمت ترقية جاكوبي إلى السنة النهائية بعد أقل من ستة أشهر رغم صغر سنه. ومع ذلك، نظراً لأن الجامعة لم تقبل طلاباً يقل عمرهم عن 16 سنة، كان عليه البقاء في الفصل النهائي حتى عام 1821. استخدم هذا الوقت لتطوير معرفته، مبدياً اهتماماً بجميع المواضيع، بما فيها اللاتينية واليونانية والفيلولوجيا والتاريخ والرياضيات. خلال هذه الفترة قام أيضاً بمحاولاته الأولى في البحث العلمي، محاولاً حل معادلة الدرجة الخامسة بالجذور.

في عام 1821 ذهب جاكوبي للدراسة في جامعة Berlin، حيث قسّم انتباهه في البداية بين شغفه بالفيلولوجيا والرياضيات. في الفيلولوجيا شارك في حلقات دراسية مع Böckh، مما لفت انتباه الأستاذ بموهبته. لم يتابع جاكوبي الكثير من محاضرات الرياضيات في الجامعة، لأن المستوى المنخفض للرياضيات في جامعة Berlin في ذلك الوقت جعلها أولية جداً بالنسبة له. ومع ذلك، استمر في دراسته الخاصة للأعمال الأكثر تقدماً لـ Euler و Lagrange و Laplace. بحلول عام 1823 أدرك أنه يحتاج إلى اتخاذ قرار بين اهتماماته المتنافسة واختار تكريس كل اهتمامه للرياضيات. في نفس العام أصبح مؤهلاً للتدريس في المدارس الثانوية وتم عرض عليه منصب في Joachimsthal Gymnasium في Berlin. قرر جاكوبي بدلاً من ذلك الاستمرار في العمل نحو الحصول على منصب جامعي. في عام 1825 حصل على درجة الدكتوراه في الفلسفة برسالة عن التحليل الجزئي للكسور النسبية دافع عنها أمام لجنة برئاسة Enno Dirksen. تابع مباشرة مع تأهيله وفي نفس الوقت اعتنق المسيحية. الآن وهو مؤهل للتدريس في الفصول الجامعية، ألقى جاكوبي وهو في الحادية والعشرين محاضرات في 1825/26 عن نظرية المنحنيات والأسطح في جامعة Berlin.

في عام 1827 أصبح جاكوبي أستاذاً وفي عام 1829، أستاذاً بتعاقد دائم في الرياضيات في جامعة Königsberg، وشغل الكرسي حتى عام 1842. عاني من انهيار جسدي من الإرهاق في عام 1843. ثم زار إيطاليا لعدة أشهر لاستعادة صحته. عند عودته انتقل إلى Berlin، حيث عاش كمتقاعد ملكي حتى وفاته. خلال ثورة 1848 شارك جاكوبي في النشاط السياسي وقدم بدون جدوى ترشيحه البرلماني نيابة عن نادٍ ليبرالي. أدى هذا، بعد قمع الثورة، إلى قطع المنحة الملكية له – لكن شهرته وسمعته كانت بحيث تم استئنافها قريباً. في عام 1836، تم انتخاؤه عضواً أجنبياً في الأكاديمية الملكية السويدية للعلوم.

توفي جاكوبي في عام 1851 من عدوى الجدري. يتم الحفاظ على قبره في مقبرة في منطقة Kreuzberg في Berlin، وهي Friedhof I der Dreifaltigkeits-Kirchengemeinde 61 Baruther Street. قبره قريب من قبر Johann Encke، الفلكي. فوهة Jacobi على القمر سميت على اسمه.

المساهمات العلمية

كانت إحدى أعظم إنجازات جاكوبي نظريته في الدوال الإهليلجية وعلاقتها بدالة ثيتا الإهليلجية. تم تطويرها في أطروحته العظيمة Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum 1829، وفي الأوراق اللاحقة في Crelle's Journal. تتمتع دوال ثيتا بأهمية كبيرة في الفيزياء الرياضية بسبب دورها في المشكلة العكسية للتدفقات الدورية وشبه الدورية. تكون معادلات الحركة قابلة للتكامل بدلالة دوال جاكوبي الإهليلجية في الحالات المعروفة جيداً للبندول والقمة أويلر والقمة لاغرانج المتماثلة في حقل جاذبية ومشكلة كيبلر للحركة الكوكبية في حقل جاذبية مركزي.

قدم أيضاً مساهمات أساسية في دراسة المعادلات التفاضلية والميكانيكا الكلاسيكية، وبشكل خاص نظرية Hamilton–Jacobi.

كان في التطور الجبري حيث كانت القوة الخاصة بجاكوبي تقع بشكل رئيسي، وقدم مساهمات مهمة من هذا النوع في العديد من مناطق الرياضيات، كما يتضح من قائمته الطويلة من الأوراق في Crelle's Journal وفي أماكن أخرى من عام 1826 فما بعده. يُقال أنه أخبر طلابه أنه عند البحث عن موضوع بحثي، يجب على المرء أن 'يعكس، دائماً يعكس' 'man muss immer umkehren'، مما يعكس اعتقاده أن عكس النتائج المعروفة يمكن أن يفتح مجالات جديدة للبحث، على سبيل المثال عكس التكاملات الإهليلجية والتركيز على طبيعة الدوال الإهليلجية ودوال ثيتا.

في ورقته عام 1835، أثبت جاكوبي النتيجة الأساسية التالية لتصنيف الدوال الدورية بما فيها الدوال الإهليلجية: إذا كانت دالة أحادية القيمة أحادية المتغير دورية متعددة، فإن مثل هذه الدالة لا يمكن أن يكون لها أكثر من دورتين، ونسبة الدورات لا يمكن أن تكون رقماً حقيقياً. اكتشف العديد من الخصائص الأساسية لدوال ثيتا، بما فيها المعادلة الدالية وصيغة جاكوبي الثلاثية، بالإضافة إلى العديد من النتائج الأخرى على سلاسل q والسلاسل فوق الهندسية.

حل مشكلة جاكوبي العكسية لخريطة Abel فوق الإهليلجية بواسطة Weierstrass في عام 1854 تطلب إدخال دالة ثيتا فوق الإهليلجية والاحقاً دالة Riemann ثيتا العامة للمنحنيات الجبرية ذات الجنس التعسفي. يُشار إلى الطارة المعقدة المرتبطة بجنس g بواسطة شبكة الدورات باسم متنوع جاكوبيان. قد يُنظر إلى طريقة الانقلاب هذه وامتدادها اللاحق بواسطة Weierstrass و Riemann إلى منحنيات جبرية تعسفية على أنها تعميم جنس أعلى للعلاقة بين التكاملات الإهليلجية ودوال جاكوبي أو Weierstrass الإهليلجية.

كان جاكوبي أول من طبق الدوال الإهليلجية على نظرية الأعداد، على سبيل المثال إثبات نظرية فيرما ذات المربعين ونظرية لاغرانج ذات المربعات الأربعة، والنتائج المماثلة لـ 6 و 8 مربعات. استمرت أعماله الأخرى في نظرية الأعداد في عمل C. F. Gauss: براهين جديدة للمعاملة التربيعية وإدخال رمز جاكوبي؛ مساهمات في قوانين المعاملة الأعلى، تحقيقات الكسور المستمرة، واختراع مجاميع جاكوبي.

كان أيضاً أحد المؤسسين الأوائل لنظرية المحددات. على وجه الخصوص، اخترع محدد جاكوبيان المشكل من مشتقات جزئية n2 من n دوال معطاة لـ n متغيرات مستقلة، والذي يلعب دوراً مهماً في تغييرات المتغيرات في التكاملات المتعددة، وفي العديد من التحقيقات التحليلية. في عام 1841 أعاد إدخال رمز المشتق الجزئي ∂ الخاص بـ Legendre، والذي كان ليصبح معياراً.

كان أحد الأوائل الذين أدخلوا ودرسوا كثيرات الحدود المتماثلة المعروفة الآن باسم كثيرات حدود Schur، مما يعطي ما يسمى بصيغة bialternant لهذه، وهي حالة خاصة من صيغة Weyl character، واشتقاق متطابقات Jacobi–Trudi. اكتشف أيضاً صيغة Desnanot–Jacobi للمحددات، التي تكمن وراء علاقات Plucker للـ Grassmannians.

طلاب حقول المتجهات ونظرية Lie والميكانيكا الهاملتونية وجبر المؤثرات غالباً ما يواجهون متطابقة جاكوبي، التناظرية للترابط بالنسبة لعملية قوس Lie.

احتلت نظرية الكواكب والمشاكل الديناميكية الخاصة الأخرى انتباهه من وقت لآخر. أثناء المساهمة في الميكانيكا السماوية، أدخل جاكوبي تكامل جاكوبي 1836 لنظام إحداثيات نجمي. يتم التعامل مع نظريته للمضاعف الأخير في Vorlesungen über Dynamik، حررها Alfred Clebsch 1866.

ترك كارل جوستاف العديد من المخطوطات، تم نشر أجزاء منها على فترات في Crelle's Journal. تشمل أعماله الأخرى Commentatio de transformatione integralis duplicis indefiniti in formam simpliciorem 1832، و Canon arithmeticus 1839، و Opuscula mathematica 1846–1857. تم نشر أعماله المجمعة Gesammelte Werke 1881–1891 بواسطة أكاديمية Berlin.

حقيقة طريفة

اسم كارل جوستاف يُكتب أحياناً باسم Carolus Gustavus Iacobus Iacobi في كتبه اللاتينية، وأحياناً يُعطى اسمه الأول باسم Karl.