Gottlob Frege

Her iyi matematikçi en az yarı filozof, her iyi filozof da en az yarı matematikçidir.

Friedrich Ludwig Gottlob Frege, Alman bir filozof, mantıkçı ve matematikçiydi. Jena Üniversitesi'nde matematik profesörü olarak çalıştı ve analitik felsefenin kurucusu olarak kabul edilir; dil felsefesi, mantık ve matematik üzerine yoğunlaşmıştır. Yaşamı boyunca büyük ölçüde göz ardı edilmesine rağmen, Giuseppe Peano 1858–1932, Bertrand Russell 1872–1970 ve bir ölçüde Ludwig Wittgenstein 1889–1951 onun çalışmalarını sonraki nesillere tanıttılar.

Onun katkıları, Begriffsschrift'te modern mantığın geliştirilmesini ve matematik temelleri alanındaki çalışmaları içerir. Aritmetiğin Temelleri kitabı, logisist projenin temel metnidir ve Michael Dummett tarafından dilsel dönüşümün nereden başladığını göstermek için alıntılanmaktadır. Felsefi makaleleri "Anlam ve Referans Üzerine" ve "Düşünce" de geniş çapta alıntılanmaktadır. Birincisi iki farklı anlam türü ve tanımlayıcılığın savunmasını yapar. Temelleri ve "Düşünce"de Frege, sırasıyla sayılar ve önermeler hakkında psikolojizme veya biçimciliğe karşı Platonizmi savunur. Russell'ın paradoksu, Frege'nin Temelleri'ndeki Temel Yasa V'in yanlış olduğunu göstererek logisist projeyi baltalamıştır.

Hayat

Çocukluk 1848–69

Frege 1848'de Wismar, Mecklenburg-Schwerin'de doğdu; bugün Mecklenburg-Vorpommern'in bir parçasıdır. Babası Carl Karl Alexander Frege 1809–1866, ölümüne kadar bir kız ortaokulu kurucusu ve müdürüydü. Carl'ın ölümünden sonra, okul Frege'nin annesi Auguste Wilhelmine Sophie Frege (kızlık soyadı Bialloblotzky, 12 Ocak 1815 – 14 Ekim 1898) tarafından yönetilmiştir; onun annesi Auguste Amalia Maria Ballhorn, Philipp Melanchthon'un soyundan gelen ve babası Johann Heinrich Siegfried Bialloblotzky, 17. yüzyılda Polanya'dan ayrılan Polonyalı asil bir ailenin soyundan gelen kişiydi.

Çocuklukta Frege, gelecekteki bilimsel kariyerini yönlendirecek felsefelerle karşılaştı. Örneğin, babası 9–13 yaşındaki çocuklar için Almanca öğretimi konusunda bir ders kitabı yazdı; başlığı Hülfsbuch zum Unterrichte in der deutschen Sprache für Kinder von 9 bis 13 Jahren 2. baskı, Wismar 1850; 3. baskı, Wismar ve Ludwigslust: Hinstorff, 1862 9 ile 13 yaş arası çocuklara Almanca öğretmek için yardımcı kitap, ilk bölümü dilin yapısı ve mantığı ile ilgiliydi.

Frege, Große Stadtschule Wismar'da okudu ve 1869'da mezun oldu. Öğretmeni Gustav Adolf Leo Sachse 5 Kasım 1843 – 1 Eylül 1909, bir şair olan, Frege'nin gelecekteki bilimsel kariyerini belirlemede en önemli rol oynadı; ona Jena Üniversitesi'nde çalışmasına devam etmesini teşvik etti.

Üniversitede Eğitim 1869–74

Frege, 1869 baharında Jena Üniversitesi'ne Kuzey Alman Konfederasyonu'nun bir vatandaşı olarak kaydoldu. Eğitiminin dört döneminde yaklaşık yirmi ders dinledi; çoğu matematik ve fizik hakkındaydı. En önemli öğretmeni Ernst Karl Abbe 1840–1905 oldu; fizikçi, matematikçi ve mucit. Abbe, yer çekimi teorisi, galvanizm ve elektrodinamik, karmaşık analiz, karmaşık değişkenlerin fonksiyon teorisi, fizik uygulamaları, mekanik seçilmiş bölümleri ve katı cisimlerin mekaniği üzerine dersler verdi. Abbe, Frege için bir öğretmen olmanın ötesindeydi: güvenilir bir arkadaştı ve optik üreticisi Carl Zeiss AG'nin müdürü olarak Frege'nin kariyerini ilerletme konumundaydı. Frege'nin mezuniyetinden sonra, daha yakından yazışmaya başladılar.

Diğer önemli üniversite öğretmenleri Christian Philipp Karl Snell 1806–86 (konular: geometride sonsuz küçük analiz kullanımı, düzlemlerin analitik geometrisi, analitik mekanik, optik, mekanik fizikal temelleri); Hermann Karl Julius Traugott Schaeffer 1824–1900 (analitik geometri, uygulamalı fizik, cebirsel analiz, telgraf ve diğer elektronik makineler hakkında); ve filozof Kuno Fischer 1824–1907 (Kantian ve eleştirel felsefe) idi.

1871'den başlayarak Frege, Alman konuşulan ülkelerde matematik alanında önde gelen üniversite olan Göttingen'de çalışmalarına devam etti; burada Rudolf Friedrich Alfred Clebsch 1833–72 (analitik geometri), Ernst Christian Julius Schering 1824–97 (fonksiyon teorisi), Wilhelm Eduard Weber 1804–91 (fizik çalışmaları, uygulamalı fizik), Eduard Riecke 1845–1915 (elektrik teorisi) ve Hermann Lotze 1817–81 (din felsefesi) derslerini dinledi. Olgun Frege'nin birçok felsefi doktrininin Lotze'deki paralellikler vardır; Frege'nin görüşleri üzerinde Lotze'nin derslerine katılmasından doğan doğrudan bir etkinin olup olmadığı bilimsel tartışmaların konusu olmuştur.

1873'te Frege, Ernst Christian Julius Schering yönetiminde doktorasını aldı; başlığı "Ueber eine geometrische Darstellung der imaginären Gebilde in der Ebene" "Bir Düzlemde Hayali Biçimlerin Geometrik Bir Temsili Hakkında" olan tezi, geometrideki sonsuz uzak hayali noktaların matematiksel yorumlaması gibi temel sorunları çözmek amaçlıydı.

Frege, Margarete Katharina Sophia Anna Lieseberg 15 Şubat 1856 – 25 Haziran 1904 ile 14 Mart 1887'de evlendi.

Mantıkçı Olarak Çalışması

Eğitimi ve erken matematik çalışması öncelikle geometriye odaklanmış olsa da, Frege'nin çalışması kısa zamanda mantığa yöneldi. Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens , Halle a/S: Verlag von Louis Nebert, 1879 mantık tarihinde bir dönüm noktasını işaretledi. Begriffsschrift, fonksiyonlar ve değişkenlerin fikirlerinin titiz bir şekilde ele alınması da dahil olmak üzere yeni zemin açtı. Frege'nin amacı, matematiğin mantıktan kaynaklandığını göstermekti ve bunu yaparken, kendisine gelen Aristoteles kıyaslaması ve Stoa önerme mantığının çok ötesine geçen teknikler geliştirdi.

Fiilen Frege, büyük ölçüde nicelleştirilmiş değişkenlerin icadı sayesinde, sonunda matematik ve mantıkta her yerde bulunur hale gelen ve çoklu genellilik sorununu çözen aksiyomatik yüklem mantığını icat etti. Önceki mantık, mantıksal sabitlerle ve, ya da, eğer... o zaman..., değil ve bazı ve hepsi ile ilgilenmişti, ancak bu işlemlerin yinelemeleri, özellikle "bazı" ve "hepsi", çok az anlaşılmıştı: hatta "her çocuk bir kız sevir" gibi bir cümle ile "her çocuk bazı kızları sever" arasındaki ayrım bile yapay bir şekilde temsil edilebilirdi, oysa Frege'nin biçimciliği "her çocuk bazı kızları sever" gibi cümleleri de dahil olmak üzere, örneğin "her çocuk aptal" gibi ifadelere paralel olarak temsil etmede zorlanmıyordu ve benzer cümleler.

Sıkça belirtilen bir örnek, Aristoteles mantığının, sayı teorisinin temel bir ifadesi olan Euclid'in teoremi gibi matematiksel ifadeleri temsil edemeyişidir; sonsuz sayıda asal sayı vardır. Ancak Frege'nin "kavramsal gösterimi" bu tür çıkarımları temsil edebilir. Mantıksal kavramların analizi ve biçimselleştirme makinesi, Bertrand Russell 1872–1970 ve Alfred North Whitehead 1861–1947 tarafından yazılan Principia Mathematica 3 cilt, 1910–13'e, Russell'ın tanım teorisine, Kurt Gödel'in 1906–78 eksiklik teoremlerine ve Alfred Tarski'nin 1901–83 gerçek teorisine, sonuçta Frege'ye bağlıdır.

Frege'nin belirtilen amaçlarından biri, gerçekten mantıksal çıkarım ilkelerini izole etmekti, böylece matematiksel kanıtın uygun gösteriminde, hiçbir noktada "sezgiye" başvurmak istemezdi. Sezgisel bir öğe varsa, ayrı ayrı bir aksiyom olarak izole edilmeli ve temsil edilmeliydi: oradan itibaren, kanıt tamamen mantıksal ve boşluksuz olmalıydı. Bu olasılığı gösterdikten sonra, Frege'nin daha geniş amacı, aritmetiğin mantığın bir dalı olduğu görüşünü savunmaktı; logisizm olarak bilinen bir görüş: geometrinin aksine, aritmetiğin "sezgide" hiçbir temeli olmadığı ve mantık dışı aksiyomlara ihtiyacı olmadığı gösterilmeliydi. Zaten 1879 Begriffsschrift'te önemli ön teoremler, örneğin trikotomi yasasının genelleştirilmiş bir biçimi, Frege'nin saf mantık olarak anladığı şey içinde türetilmişti.

Bu fikir, Aritmetiğin Temelleri Die Grundlagen der Arithmetik, 1884'te sembolik olmayan terimlerle formüle edildi. Daha sonra Aritmetiğin Temel Yasaları Grundgesetze der Arithmetik, cilt. 1, 1893; cilt. 2, 1903; cilt. 2 kendi masrafıyla yayımlandı, Frege sembolizmini kullanarak aritmetiğin tüm yasalarını mantıksal olarak ileri sürdüğü aksiyomlardan türetmeyi denedi. Bu aksiyomların çoğu Begriffsschrift'ten taşındı, ancak bazı önemli değişiklikler olmaksızın değil. Gerçekten yeni olan tek ilke, Temel Yasa V olarak adlandırdığı ilkeydi: fx fonksiyonunun "değer aralığı" gx fonksiyonunun "değer aralığı" ile aynıdır ancak ve ancak ∀x ise.

Yasanın çözüm noktası modern gösterimle aşağıdaki gibi formüle edilebilir. {x|Fx} yükleminin Fx uzantısını, yani tüm F'lerin kümesini göstersin ve Gx için de benzer şekilde. O zaman Temel Yasa V, yüklemler Fx ve Gx'in aynı uzantıya sahip olduğunu söyler ancak ve ancak ∀x ise. F'lerin kümesi, her F bir G ve her G bir F olması durumunda ve ancak o zaman G'lerin kümesiyle aynıdır. Bu durum özel çünkü burada yüklemin uzantısı veya küme olarak adlandırılan şey, bir fonksiyonun "değer aralığı"nın yalnızca bir türüdür.

Ünlü bir olayda, Bertrand Russell 1903'te Grundgesetze'nin Cilt 2 basına gitmek üzereyken Frege'ye yazarak Russell'ın paradoksunun Frege'nin Temel Yasa V'den türetilebileceğini gösterdi. Frege'nin sisteminde bir kümenin veya uzantının üyeliği ilişkisini tanımlamak kolaydır; Russell daha sonra "x öyle şeyler dizilişi ki x, x'in üyesi değildir" dikkat çekti. Grundgesetze sistemi, bu şekilde karakterize edilen kümenin hem kendisinin üyesi hem de kendisinin üyesi olmadığını ve dolayısıyla tutarsız olduğunu ima eder. Frege, Cilt 2'ye aceleyle, son dakika Eki yazarak çelişkiyi türetti ve bunu Temel Yasa V'i değiştirerek ortadan kaldırmayı önerdi. Frege, Eki istisnai dürüstlükle açtı: "Bilimsel bir yazara yayında daha talihsiz bir şey başarılamaz; binanın temellerinden biri sarsıldığında işi bitmiştir. Bu durum bana Bertrand Russell'ın bir mektubu tarafından konuldu, tam bu cilt baskısı tamamlanmak üzereyken." Bu mektup ve Frege'nin cevabı Jean van Heijenoort 1967'de çevrilmiştir.

Frege'nin önerilen çözümü, daha sonra söylem evreninde yalnızca bir nesne olduğunu ima ettiği gösterildi ve dolayısıyla değersizdi; aslında bu, Frege'nin sisteminde bir çelişkiye yol açacaktı, eğer tartışması için temelde olan fikri aksiyomatize etmiş olsaydı, Doğru ve Yanlış farklı nesnelerdir; örneğin bkz. Dummett 1973, ancak son çalışmalar Grundgesetze programının çoğunun diğer şekillerde kurtarılabileceğini göstermiştir:

• Temel Yasa V diğer şekillerde zayıflatılabilir. En bilinen yol, Frege'nin çalışmasında uzman olan filozof ve matematiksel mantıkçı George Boolos 1940–1996'ya bağlıdır. Bir "kavram" F "küçük"tür eğer F altında düşen nesneler söylem evreniyle birebir yazışmaya konulamazsa, yani sürece: ∃R[R 1'e 1'dir & ∀x∃yxRy & Fy]. Şimdi V'yi V*'e zayıflatın: bir "kavram" F ve bir "kavram" G aynı "uzantıya" sahiptir ancak ve ancak ne F ne de G küçük değilse veya ∀xFx ↔ Gx ise. V*, ikinci dereceden aritmetik ise tutarlıdır ve ikinci dereceden aritmetiğin aksiyomlarını kanıtlamak için yeterlidir.
• Temel Yasa V, basitçe Hume'nin ilkesi ile değiştirilebilir; bu, F sayısının G sayısı ile aynı olduğunu söyler ancak ve ancak F'ler G'lerle birebir yazışmaya konulabilirse. Bu ilke de, ikinci dereceden aritmetik ise tutarlıdır ve ikinci dereceden aritmetiğin aksiyomlarını kanıtlamak için yeterlidir. Bu sonuç Frege'nin teoremi olarak adlandırılır, çünkü aritmetiği geliştirmede Frege'nin Temel Yasa V kullanımının Hume ilkesinin kanıtıyla sınırlı olduğu fark edilmiştir; bu ise aritmetik ilkelerinin türetilmesinde baştan sona geçer. Hume'nin ilkesi ve Frege'nin teoremi hakkında bkz. "Frege'nin Mantığı, Teoremi ve Aritmetiğin Temelleri".
• Frege'nin mantığı, şimdi ikinci dereceden mantık olarak biliniyor, sözde yüklemsel ikinci dereceden mantığa zayıflatılabilir. Yüklemsel ikinci dereceden mantık ve Temel Yasa V, finitistik veya yapıcı yöntemler tarafından kanıtlanabilir şekilde tutarlıdır, ancak yalnızca aritmetiğin çok zayıf parçalarını yorumlayabilir.

Frege'nin mantık alanındaki çalışması, 1903'te Russell'ın Matematik İlkeleri'ne Frege ile kendi farklılıklarını belirten bir ek yazana kadar çok az uluslararası dikkat çekti. Frege'nin kullandığı şematik gösterim hiçbir öncedeni olmadı ve o zamandan beri hiçbir takipçisi olmadı. Üstelik Russell ve Whitehead'in Principia Mathematica 3 cilt, 1910–13 ortaya çıkana kadar, matematiksel mantığa yaklaşım George Boole 1815–64 ve entelektüel mirasçıları, özellikle Ernst Schröder 1841–1902'ninkiydi. Frege'nin mantıksal fikirleri yine de öğrencisi Rudolf Carnap 1891–1970 ve diğer hayranların yazıları, özellikle Bertrand Russell ve Ludwig Wittgenstein 1889–1951 aracılığıyla yayıldı.

Filozof

Frege, analitik felsefenin kurucularından biridir; mantık ve dil hakkındaki çalışması felsefede dilsel dönüşüme yol açmıştır. Dil felsefesine katkıları şunları içerir:

• Önermenin fonksiyon ve argüman analizi;
• Kavram ve nesne arasında ayrım Begriff und Gegenstand