Felix Klein

Herkes bir eğrinin ne olduğunu bilir, ta ki yeterince matematik çalışarak sayısız olası istisnadan dolayı kafası karışıncaya kadar.

Christian Felix Klein, grup teorisi, karmaşık analiz, Öklid dışı geometri ile çalışmaları ve geometri ile grup teorisi arasındaki bağlantılarıyla bilinen bir Alman matematikçi ve matematik eğitmenidir. 1872'deki Erlangen programı, geometrileri temel simetri gruplarına göre sınıflandıran, o zamanın matematiğinin çoğunun etkili bir senteziydi.

Yaşam

Felix Klein, 25 Nisan 1849'da Düsseldorf'ta Prusya ailesi tarafından doğmuştur; babası Caspar Klein 1809–1889, Ren Bölgesi'nde görevli bir Prusya hükümet memuru sekreteri idi. Klein'in annesi Sophie Elise Klein 1819–1890 idi, soyadı Kayser. Düsseldorf'taki Gymnasium'a gitti, ardından 1865–1866'da Bonn Üniversitesi'nde matematik ve fizik okudu; fizikçi olmayı amaçlıyordu. O zamanlar Julius Plücker, Bonn'da matematik ve deneysel fizik profesörlüğüne sahipti, ancak Klein 1866'da onun asistanı olduğunda Plücker'in ilgisi geometriye yönelmişti. Klein, Plücker tarafından yönetilen doktorasını 1868'de Bonn Üniversitesi'nden aldı.

Plücker 1868'de öldü, çizgi geometrisinin temelleri hakkındaki kitabını tamamlanmamış bıraktı. Klein, Plücker'in Neue Geometrie des Raumes'ının ikinci kısmını tamamlamak için en uygun kişiydi ve böylece Alfred Clebsch ile tanışma fırsatı buldu; Clebsch 1868'de Göttingen'e taşınmıştı. Klein ertesi yıl Clebsch'i ziyaret etti, ayrıca Berlin ve Paris'e de ziyaretler yaptı. 1870 Temmuz'unda, Franco-Prussian Savaşı'nın başında Paris'teydi ve ülkeyi terk etmek zorunda kaldı. Kısa bir süre Prusya ordusunda tıbbi yardımcı olarak görev yaptıktan sonra 1871 başlarında Göttingen'de öğretim görevlisine atandı.

Erlangen, Klein'i 1872'de, yalnızca 23 yaşındayken profesöra atadı. Bunun için Clebsch tarafından desteklendi; Clebsch onu zamanının en iyi matematikçisi olmaya aday görüyordu. Klein, az sayıda öğrenci olan Erlangen'de okul istemedi ve bu nedenle 1875'te München'in Technische Hochschule'sinde profesörlük teklifi aldığı için memnun oldu. Orada, Alexander von Brill ile birlikte, Adolf Hurwitz, Walther von Dyck, Karl Rohn, Carl Runge, Max Planck, Luigi Bianchi ve Gregorio Ricci-Curbastro dahil olmak üzere birçok mükemmel öğrenciye ileri kurslar öğretti.

1875'te Klein, filozof Georg Wilhelm Friedrich Hegel'in kızı Anne Hegel ile evlendi.

Technische Hochschule'de beş yıl sonra Klein, Leipzig'te geometri profesörlüğüne atandı. Oradaki meslektaşları arasında Walther von Dyck, Rohn, Eduard Study ve Friedrich Engel vardı. Klein'in Leipzig'teki yılları, 1880'den 1886'ya kadar, hayatını temelden değiştirdi. 1882'de sağlığı çöktü; 1883–1884'te depresyonla mücadele etti. Buna rağmen araştırması devam etti; hiperelliptik sigma fonksiyonları üzerine seminal çalışması bu dönemden kaynaklanıyor; 1886 ve 1888'de yayımlandı.

Klein, 1886'da Göttingen Üniversitesi'nde profesörlük kabul etti. O zaman başlayarak 1913'teki emekli olmasına kadar, Göttingen'i dünyanın ana matematik araştırma merkezi olarak yeniden kurmaya çalıştı. Ancak hiçbir zaman Leipzig'ten Göttingen'e geometri geliştirici olarak kendi başkalığını aktaramadı. Göttingen'de, esas olarak matematik ve fizik arasındaki arayüz ile ilgili, mekanik ve potansiyel teorisi gibi çeşitli dersler öğretti.

Klein'in Göttingen'de kurduğu araştırma tesisi, dünyadaki en iyi tesisler için model oldu. Haftalık tartışma toplantıları başlattı ve matematiksel okuma odası ve kütüphane oluşturdu. 1895'te Klein, David Hilbert'i Königsberg Üniversitesi'nden Göttingen'e getirdi; bu atama çok önemli oldu, çünkü Hilbert, 1932'deki kendi emekli olmasına kadar Göttingen'in iyi ünü devam ettirdi.

Klein'in editörlüğü altında, Mathematische Annalen, dünyanın en iyi matematik dergilerinden biri haline geldi. Clebsch tarafından kuruldu ve yalnızca Klein'in yönetimi altında Berlin Üniversitesi'nde bulunan Crelle's Journal'ı ilk olarak rakip hale geldi, sonra geçti. Klein, düzenli olarak toplanan ve demokratik kararlar alan küçük bir editör ekibi oluşturdu. Dergi, en azından Hilbert konuyu bitirene kadar karmaşık analiz, cebirsel geometri ve değişmezlik teorisinde uzmanlaştı. Ayrıca reel analiz ve yeni grup teorisi için önemli bir çıkış noktası sağladı.

1893'te Chicago'da, Klein, Dünya Columbian Sergisi'nin bir parçası olarak düzenlenen Uluslararası Matematik Kongresi'nde önemli bir konuşmacıydı. Kısmen Klein'in çabaları sayesinde, Göttingen 1893'te kadınları kabul etmeye başladı. Göttingen'de bir kadın tarafından yazılan ilk matematik doktora tezini yönetmiştir; o, Arthur Cayley'nin İngiliz öğrencisi Grace Chisholm Young idi; Klein onu takdir ediyordu. 1897'de Klein, Hollanda Sanat ve Bilim Akademisi Kraliyet Üyesi oldu.

Yaklaşık 1900'de Klein, okullarda matematik öğretimine ilgi duymaya başladı. 1905'te, analitik geometri, diferansiyel ve integral calculus'ün temelleri ve fonksiyon kavramının ortaokullarda öğretilmesini tavsiye eden bir planın formüle edilmesinde belirleyici rol oynadı. Bu tavsiye, dünya çapındaki birçok ülkede kademeli olarak uygulanmaya başlandı. 1908'de Klein, Roma'da Matematikçiler Uluslararası Kongresi'nde Matematiksel Öğretim Uluslararası Komisyonu başkanlığına seçildi. Onun rehberliğinde, Komisyon'un Alman kısmı, Almanya'da tüm seviyelerde matematik öğretimi hakkında birçok cilt yayımladı.

Londra Matematik Toplumu, Klein'e 1893'te De Morgan Madalyası verdi. 1885'te Kraliyet Derneği'ne üye seçildi ve 1912'de Copley Madalyası ile ödüllendirildi. Ertesi yıl sağlık nedeniyle emekli oldu, ancak daha birkaç yıl boyunca evinde matematik öğretmeye devam etti.

Klein, Birinci Dünya Savaşı'nın erken aşamalarında Belçika'nın Alman işgaline destek olmak amacıyla yazılan bir belge olan Doksan Üçün Manifestosu'nun 93 imzacısından biriydi.

Klein, Geheimrat güvenilir danışman unvanını taşıyordu.

1925'te Göttingen'de öldü.

Çalışmalar

Klein'in dissertasyonu, çizgi geometrisi ve mekanikle olan uygulamalar hakkında, Weierstrass'ın temel bölenlerin teorisini kullanarak ikinci dereceden çizgi komplekslerini sınıflandırdı.

Klein'in ilk önemli matematiksel keşifleri 1870'te yapıldı. Sophus Lie ile işbirliğinde, Kummer yüzeyi üzerindeki asimptotik çizgilerin temel özelliklerini keşfetti. Daha sonra bir projektif dönüşüm grubunun altında değişmez olan eğriler olan W-eğrileri araştırdılar. Klein'i grup kavramına tanıştıran Lie olmuştur; bu, daha sonraki çalışmasında önemli bir rol oynaması gerekti. Klein ayrıca Camille Jordan'dan gruplar hakkında bilgi aldı.

Klein, kendisinin adını taşıyan "Klein şişesi"ni tasarladı; bu, tek yüzlü kapalı bir yüzeydir ve üç boyutlu Öklid uzayına gömülemez, ancak kendisini kendi "içinden" diğer ucuyla birleştirmek için kendi içine geri dönen silindir olarak daldırılabilir. Dört ve daha yüksek boyutlu Öklid uzayına gömülebilir. Klein Şişesi kavramı, 3 Boyutlu Möbius şeridi olarak tasarlanmıştır; yapı yöntemlerinden biri iki Möbius şeridinin kenarlarının birleştirilmesidir.

1890'ların während'da, Klein matematiksel fiziği daha yoğun bir şekilde incelemeye başladı; Arnold Sommerfeld ile jiroskop hakkında yazılar yayımladı. 1894'te, uygulamalarını da kapsayan bir matematik ansiklopedisi fikrinin başlatıcısı oldu; bu, Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften'e dönüştü. 1935'e kadar devam eden bu girişim, kalıcı değeri olan önemli bir standart referans sağladı.

Erlangen programı

1871'de, Göttingen'deyken Klein geometride önemli keşifler yaptı. Sözde Öklid Dışı Geometri Üzerine başlıklı iki makale yayımladı; Öklid ve Öklid dışı geometrilerin Cayley-Klein metriği tarafından belirlenen metrik uzaylar olarak düşünülebileceğini gösterdi. Bu anlayış, Öklid dışı geometrinin tutarlı olması ancak ve ancak Öklid geometrisinin tutarlı olması koşuluyla tutarlı olduğu sonucunun bir sonucuydu; bu da Öklid ve Öklid dışı geometrilere aynı statüyü verdi ve Öklid dışı geometri hakkındaki tüm tartışmaları sonlandırdı. Arthur Cayley, Klein'in argümanını asla kabul etmedi; bunun dairesel olduğuna inanıyordu.

Klein'in geometriyi, belirli bir dönüşüm grubunun altında değişmez olan bir uzayın özellikleri olarak incelenmesi olarak sentezlenmesi, Erlangen programı 1872 olarak bilinir ve matematiğin evrimini derin şekilde etkiledi. Bu program Klein'in Erlangen'de profesör olarak inaugural dersinden başlatıldı, ancak bu, muhtemelen verdiği asıl konuşma değildi. Program, modern yöntemin kabul edilen hale gelmiş olan birleştirilmiş bir geometri sistemini önerdi. Klein, belirli bir geometrinin temel özelliklerinin bu özellikleri koruyan dönüşüm grubu tarafından nasıl temsil edileceğini gösterdi. Dolayısıyla programın geometri tanımı hem Öklid hem de Öklid dışı geometriyi kapsadı.

Şu anda Klein'in geometriye yaptığı katkıların önemi oldukça açıkça görülüyor, ama bu katkılar artık garip veya yanlış olarak düşünüldüğü için değil. Aksine, bu katkılar bugünkü matematiksel düşüncemizin bir parçası haline gelmişler ki, bunların yenilikçiliğini ve çağdaşları tarafından hemen kabul edilmemiş olma şeklini takdir etmemiz zor.

Karmaşık analiz

Klein, karmaşık analiz üzerine çalışmasını matematiğe yaptığı ana katkı olarak gördü; özellikle:

• Riemann'ın belirli fikirlerinin değişmezlik teorisi ile bağlantısı,
• Sayı teorisi ve soyut cebir;
• Grup teorisi;
• 3'ten fazla boyutlu geometri ve diferansiyel denklemler, özellikle kendi tasarladığı eliptik modüler fonksiyonlar ve otomorf fonksiyonlar denklemleri.

Klein, modüler grubun, o düzlemi döşemesi için kompleks düzlemin temel bölgesini taşıdığını gösterdi. 1879'da, modüler grubun bir görüntüsü olarak düşünülen PSL2,7'nin etkisini inceledi ve şu anda Klein dörtlüsü olarak adlandırılan bir Riemann yüzeyinin açık bir temsili elde etti. O yüzeyinin projektif uzayda bir eğri olduğunu, denkleminin x3y + y3z + z3x = 0 olduğunu ve simetri grubunun 168 derecesinin PSL2,7 olduğunu gösterdi. Onun Ueber Riemann's Theorie der algebraischen Funktionen und ihre Integrale 1882 karmaşık analizi geometrik bir şekilde ele alır; potansiyel teorisi ve konformal haritalamaları bağlar. Bu çalışma, akışkan dinamiklerinden gelen kavramlardan yararlandı.

Klein, derece > 4 denklemlerini dikkate aldı ve transandantal yöntemleri beşinci derecenin genel denklemini çözmek için kullanmaya özellikle ilgi duydu. Charles Hermite ve Leopold Kronecker'in yöntemlerine dayanarak, Brioschi'ninkine benzer sonuçlar üretmiş ve daha sonra problemi ikoşaedral grup aracılığıyla tamamen çözmüştür. Bu çalışma, onun eliptik modüler fonksiyonlar hakkında bir dizi makale yazmasını sağladı.

1884 kitabında ikoşaeder hakkında, Klein otomorf fonksiyonlar teorisini kurdu; cebir ve geometriyi ilişkilendirdi. Ancak Poincaré 1881'de otomorf fonksiyonları teorisinin bir taslağını yayımladı; bu da iki adam arasında dostça bir rekabete neden oldu. Her ikisi de yeni teoriyi daha eksiksiz olarak kuracak büyük bir uniformizasyon teoremini ifade etmeye ve kanıtlamaya çalıştılar. Klein böyle bir teoremi formüle etmeyi başardı ve kanıtlanmasının stratejisini tanımladı. Ancak bu çalışmayı yaparken sağlığı azaldı; yukarıda bahsedildiği gibi.

Klein, otomorf ve eliptik modüler fonksiyonlar üzerine çalışmasını, Robert Fricke ile birlikte yaklaşık 20 yıllık bir dönem içinde yazılmış dört ciltlik bir kitapta özetledi.

Seçilmiş çalışmalar

• 1882: Ueber Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihre Integrale JFM 14.0358.01
• Project Gutenberg'de e-metin, ayrıca Cornell'den mevcut
• 1884: Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom 5ten Grade G. G. Morrice tarafından İngilizceye çevrilmiş 1888 Lectures on the Ikosahedron; and the Solution of Equations of the Fifth Degree internet Archive aracılığıyla
• G. G. Morrice tarafından İngilizceye çevrilmiş 1888 Lectures on the Ikosahedron; and the Solution of Equations of the Fifth Degree internet Archive aracılığıyla
• 1886: Über hyperelliptische Sigmafunktionen Erster Aufsatz s. 323–356, Mathematische Annalen Bd. 27,
• 1888: Über hyperelliptische Sigmafunktionen Zweiter Aufsatz s. 357–387, Math. Annalen, Bd. 32,
• 1894: Über die hypergeometrische Funktion
• 1894: Über lineare Differentialgleichungen der 2. Ordnung
• 1897: Arnold Sommerfeld ile birlikte Theorie des Kreisels sonraki ciltler: 1898, 1903, 1910
• 1890: Robert Fricke ile birlikte Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen 2 cilt ve 1892
• 1894: Evanston Colloquium 1893 Ziwet tarafından raporlanmış ve yayımlanmıştır New York, 1894
• Fricke, Robert; Klein, Felix 1897, Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Erster Band; Die gruppentheoretischen Grundlagen Almanca, Leipzig: B. G. Teubner, ISBN 978-1-4297-0551-6, JFM 28.0334.01 Zweiter Band. 1901.
• 1901: Gauss' wissenschaftliches Tagebuch, 1796—1814. Mit Anwendungen von Felix Klein
• Fricke, Robert; Klein, Felix 1912, Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere