Ah, keşke Teoremlere sahip olsaydım! O zaman ispatları kolayca bulabilirdim.
Georg Friedrich Bernhard Riemann, analiz, sayı teorisi ve diferansiyel geometri alanlarına katkıda bulunan bir Alman matematikçiydi. Reel analiz alanında, esas olarak integralin ilk katı formülasyonu olan Riemann integrali ve Fourier serileri üzerine yaptığı çalışmalarla bilinir. Kompleks analize yaptığı katkılar, özellikle Riemann yüzeylerinin tanıtımını içerir ve kompleks analiz için doğal, geometrik bir tedavide yeni ufuklar açmıştır. 1859 tarihli asal sayı sayma işlevi hakkındaki ünlü makalesi, Riemann hipotezinin orijinal ifadesini içerir ve analitik sayı teorisinin en etkili makalelerinden biri olarak kabul edilir. Diferansiyel geometriye yaptığı öncü katkılar aracılığıyla Riemann, genel görelilik matematiğinin temellerini attı. Birçok kişi tarafından tüm zamanların en büyük matematikçilerinden biri olarak kabul edilir.
Biyografi
Erken yıllar
Riemann, 17 Eylül 1826'da Hanover Krallığında Dannenberg yakınlarında bir köy olan Breselenz'de doğdu. Babasız Friedrich Bernhard Riemann, Breselenz'de Napolyon Savaşlarında savaşan yoksul bir Lüteran papazıydı. Annesi Charlotte Ebell, çocukları yetişkin olmadan ölmüştür. Riemann altı çocuktan ikincisi olup utangaç bir mizaca sahipti ve çok sayıda sinir krizi yaşamıştır. Riemann erken yaşlardan itibaren hesaplama becerileri gibi olağanüstü matematiksel yetenekler göstermiştir, ancak çekingenlık ve halk önünde konuşma korkusu yaşamıştır.
Eğitim
1840 yılında Riemann, büyükannesinin yanında yaşamak için Hannover'e gitti ve liseden ortaokul yıllarına katıldı. Büyükannesinin 1842'deki ölümünden sonra Johanneum Lüneburg'da liseye devam etti. Lisede Riemann İncil'i yoğun bir şekilde inceledi, ancak sıklıkla matematik tarafından dikkatini dağıttı. Öğretmenleri, karmaşık matematiksel işlemleri gerçekleştirme konusundaki yeteneklerine hayran kaldılar ve sıklıkla öğretmeninin bilgisini aştı. 1846'da, 19 yaşında, papaz olmak ve ailesinin finansmanına yardımcı olmak için filoloji ve Hıristiyan ilahiyatı incelemeye başladı.
1846 baharında, babası yeterli para topladıktan sonra Riemann'ı Göttingen Üniversitesi'ne gönderdi; burada İlahiyat alanında derece almayı planlıyordu. Ancak oraya gitmesinin ardından Carl Friedrich Gauss'un yönetiminde, özellikle en küçük kareler yöntemi hakkındaki dersleri matematiği incelemeye başladı. Gauss, Riemann'a ilahiyat çalışmasını bırakmasını ve matematik alanına girmesini tavsiye etti; babasının onayını aldıktan sonra Riemann 1847'de Berlin Üniversitesi'ne geçti. Çalışma süresi boyunca Carl Gustav Jacob Jacobi, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Jakob Steiner ve Gotthold Eisenstein dersler veriyordu. İki yıl Berlin'de kaldı ve 1849'da Göttingen'e döndü.
Akademi
Riemann, 1854'te ilk derslerini verdi; bu ders Riemann geometrisi alanını kurmuştur ve böylece Albert Einstein'ın genel görelilik teorisinin sahnesini hazırlamıştır. 1857'de Riemann'ı Göttingen Üniversitesi'nde olağanüstü profesör statüsüne yükseltme konusunda bir girişim yapıldı. Bu girişim başarısız olmuş olsa da, sonuç olarak Riemann sonunda düzenli bir maaş almasını sağladı. 1859'da, Gauss'un Göttingen Üniversitesi'ndeki sandalyesini elinde tutmuş olan Dirichlet'in ölümünün ardından, Göttingen Üniversitesi'nin matematik bölümüne başkan olarak yükseltildi. Ayrıca fiziksel gerçekliği tanımlamak için yalnızca üç veya dört boyuttan daha yüksek boyutlar kullanmayı önerenler arasında ilk oldu.
1862'de Elise Koch ile evlendi ve 22 Aralık 1862'de doğan Ida Schilling adında bir kızları oldu.
Protestan ailesi ve İtalya'da ölüm
Riemann, 1866'da Hanover ve Prusya ordularının Göttingen'de çatışmasından sonra Göttingen'den kaçtı. Üçüncü İtalya yolculuğu sırasında verem hastalığından öldü; Verbania'nın şu anda bir köyü olan Selasca'da Maggiore Gölü'nde, Biganzolo Verbania'daki mezarlığa gömüldü.
Riemann, Protestan bir bakanın oğlu olan, kendisini bağlı bir Hıristiyandı ve matematikçi olarak yaşamını Tanrı'ya hizmet etmenin başka bir yolu olarak gördü. Hayatı boyunca Hıristiyan inancına sıkı sıkıya bağlı kaldı ve bunu yaşamının en önemli yönü olarak gördü. Ölümü sırasında karısıyla Rabbani Dua'sını okuyordu ve duayı bitirmeden öldü. Aynı zamanda, Göttingen'de hizmetçisi ofisindeki bazı kağıtları, önemli yayınlanmamış çalışmalar da dahil olmak üzere, atıp harcadı. Riemann yayınlanmamış çalışmaları yayınlamayı reddetti ve bazı derin içgörüler sonsuza kadar kaybolmuş olabilir.
Riemann'ın Biganzolo İtalya'daki mezar taşı Romalılar 8:28'e atıfta bulunur:
Buraya Tanrı'da istirahat eder
Georg Friedrich Bernhard Riemann
Göttingen Profesörü
Breselenz'de doğmuş, 17 Eylül 1826
Selasca'da öldü, 20 Temmuz 1866
Tanrı'yı sevenler için, tüm şeyler en iyisine çalışmalı
Buraya Tanrı'da istirahat eder Georg Friedrich Bernhard Riemann Göttingen Profesörü Breselenz'de doğmuş, 17 Eylül 1826 Selasca'da öldü, 20 Temmuz 1866 Tanrı'yı sevenler için, tüm şeyler en iyisine çalışmalı
Riemann geometrisi
Riemann'ın yayınlanmış eserleri, analiz ile geometriyi birleştiren araştırma alanlarını açtı. Bunlar daha sonra Riemann geometrisi, cebirsel geometri ve kompleks manifold teorisinin başlıca bölümleri haline gelmişti. Riemann yüzeylerinin teorisi Felix Klein tarafından ve özellikle Adolf Hurwitz tarafından geliştirildi. Bu matematik alanı topolojinin temeli olup hala matematiksel fiziğe yeni yollarla uygulanmaktadır.
1853'te Gauss, öğrencisi Riemann'a geometrinin temelleri hakkında bir Habilitationsschrift hazırlamasını istedi. Birçok ay boyunca Riemann yüksek boyutlar teorisini geliştirdi ve 1854'te Göttingen'de "Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen" "Geometrinin altında yatan hipotezler hakkında" başlıklı dersini verdi. Sadece on iki yıl sonra 1868'de Dedekind tarafından yayınlandı, ölümünün iki yıl sonra. Erken kabulü yavaş görünüyor, ancak şimdi geometrideki en önemli çalışmalardan biri olarak kabul edilmektedir.
Bu çalışmayı kuruluş Riemann geometrisi'dir. Riemann, Gauss'un kendisinin theorema egregium ispatladığı yüzeylerin diferansiyel geometrisini n boyutlara genişletmenin doğru yolunu buldu. Temel nesne Riemann eğrilik tensörü olarak adlandırılır. Yüzey durumu için, bu sayısal bir skaler, pozitif, negatif veya sıfırla azaltılabilir; sıfır olmayan ve sabit durumlar bilinen Öklid dışı geometrilerin modelleridir.
Riemann'ın fikri, uzayın her noktasında bir sayılar koleksiyonu yani bir tensör tanıtmaktı, bu ne kadar kavisli veya eğri olduğunu açıklardı. Riemann, dört uzaysal boyutta, ne kadar çarpık olursa olsun, bir manifoldun özellikleri tanımlamak için her noktada on sayıdan oluşan bir koleksiyona ihtiyaç duyulduğunu buldu. Bu, şu anda Riemann metriği olarak bilinen ve onun geometrisinin merkezinde olan ünlü yapıdır.
Kompleks analiz
Tezinde, Riemann yüzeyleri aracılığıyla kompleks analiz için geometrik bir temel oluşturdu; bunlar, sonsuz sayıda yapraklı logaritma gibi veya iki yapraklı kare kök gibi çok değerli işlevlerin bire bir işlevleri hale gelmesini sağladı. Kompleks işlevler harmonik işlevlerdir, yani bu yüzeylerde Laplace denklemini ve dolayısıyla Cauchy–Riemann denklemlerini sağlarlar ve bunlar tekillik konumları ve yüzeylerin topolojisi tarafından açıklanır. Riemann yüzeylerinin topolojik "cinsi" g = w / 2 − n + 1 parametreleri tarafından verilir "moduli".
Bu alana yapılan katkıları çok sayıdadır. Ünlü Riemann haritalama teoremi, karmaşık düzlemin basitçe bağlı bir alanının "biholomorfik olarak eşdeğer" olduğunu söyler, yani aralarında biholomorfik ve biholomorfik ters olan bir önyargı var; C veya birim çemberin iç kısmına. Teoremi Riemann yüzeylerine genelleme, 19. yüzyılda Henri Poincaré ve Felix Klein tarafından ispatlanmış olan ünlü üniformizasyon teoremidir. Burada da, katı ispatlar ilk olarak bu durumda topoloji olmak üzere daha zengin matematiksel araçların geliştirilmesinin ardından verilmiştir. Riemann yüzeyleri üzerinde işlevlerin varlığının ispatı için minimalilik koşulu kullandı, buna Dirichlet prensibi adını verdi. Karl Weierstrass ispatta bir boşluk buldu: Riemann, minimum mevcudiyetinin işe yarayabileceği çalışan varsayımını fark etmemişti; işlev alanı tamamlanmamış olabilir ve bu nedenle bir minimumun varlığı garanti edilmemiştir. David Hilbert'in Varyasyonlar Hesabı'ndaki çalışması aracılığıyla Dirichlet prensibi sonunda kurulmuştur. Aksi takdirde, Weierstrass Riemann'dan çok etkilenmişti, özellikle abelian işlevler teorisiyle. Riemann'ın çalışması ortaya çıktığında, Weierstrass makalesini Crelle's Journal'dan geri çekti ve yayınlamadı. Riemann 1859'da Berlin'i ziyaret ettiğinde aralarında iyi bir anlayış vardı. Weierstrass, öğrencisi Hermann Amandus Schwarz'ı kompleks analizde Dirichlet prensibine alternatifler bulmaya teşvik etti ve bu konuda başarılı oldu. Arnold Sommerfeld'den bir anekdot, çağdaş matematikçilerin Riemann'ın yeni fikirlerine sahip oldukları zorlukları göstermektedir. 1870'te Weierstrass, Riemann'ın tezini Rigi'ye tatile götürmüş ve anlaması zor olduğundan şikayetçi olmuştur. Fizikçi Hermann von Helmholtz gece boyunca işinde ona yardım etti ve bu "doğal" ve "çok anlaşılır" olduğu yorumuyla döndü.
Diğer önemli noktalar arasında Riemann yüzeyleri üzerinde abelian işlevleri ve theta işlevleri hakkındaki çalışması yer alır. Riemann, abelian integralleri için Jacobian ters problemlerini çözmek için 1857'den beri Weierstrass ile yarışmış, bu eliptik integrallerin genelleştirilmesidir. Riemann, çeşitli değişkenlerde theta işlevlerini kullanmış ve problemi bu theta işlevlerinin sıfırlarının belirlenmesine indirgemiştir. Riemann ayrıca periyot matrislerini araştırıp "Riemann periyot ilişkileri" simetrik, gerçek kısım negatif aracılığıyla karakterize etmiştir. Ferdinand Georg Frobenius ve Solomon Lefschetz tarafından bu ilişkinin geçerliliği, Riemann yüzeyinin Jacobian çeşidi olan C n / Ω'nin yerleştirilmesine eşdeğerdir, bu bir abelian manifoldun bir örneğidir.
Alfred Clebsch gibi birçok matematikçi Riemann'ın cebirsel eğriler hakkındaki çalışmasını ileri götürdüler. Bu teoriler, Riemann yüzeyleri üzerinde tanımlanan bir işlevin özelliklerine bağlıydı. Örneğin, Riemann–Roch teoremi Roch Riemann'ın bir öğrencisiydi, Riemann yüzeyinin sıfırları ve kutupları üzerine bilinen koşullara sahip doğrusal bağımsız diferansiyellerinin sayısı hakkında bir şeyler söylemektedir.
Detlef Laugwitz'e göre, otomorfik işlevler ilk kez elektrik yüklü silindirler üzerine Laplace denklemi hakkındaki bir yazıda ortaya çıkmıştır. Ancak Riemann, 1859 tarihli hipergeometrik işlevler hakkındaki dersinde veya minimal yüzeyler hakkındaki incelemesinde olduğu gibi, uyumlu haritalar için bu tür işlevleri kullandı.
Reel analiz
Reel analiz alanında, öğretim yapısında Riemann integralini keşfetti. Diğer şeyler arasında, her parça halinde sürekli işlevin integre edilebilir olduğunu gösterdi. Benzer şekilde, Stieltjes integrali Göttinger matematikçisine dayanır ve bu nedenle bunlar birlikte Riemann–Stieltjes integrali olarak adlandırılır.
Öğretmeni Dirichlet'in çalışmasını takip ettiği Fourier serileri hakkındaki öğretim yapısında, Riemann-integre edilebilir işlevlerin Fourier serileri tarafından "temsil edilebilir" olduğunu gösterdi. Dirichlet bunu sürekli, parça halinde türevlenebilir işlevler için göstermiştir; bu nedenle sayılabilecek kadar çok türevlenemez noktalarla. Riemann, Dirichlet'in kapsamadığı bir durum olan, sürekli, hemen hemen hiçbir yerde türevlenemez bir işlevi temsil eden bir Fourier serisinin bir örneğini verdi. Ayrıca Riemann–Lebesgue lemmasını ispatladı: bir işlev bir Fourier serileri tarafından temsil edilebilirse, Fourier katsayıları büyük n için sıfıra gider.
Riemann'ın makalesi ayrıca Georg Cantor'un Fourier serileriyle çalışmasının başlangıç noktası oldu, bu da küme teorisinin teşviki olmuştur.
Ayrıca 1857'de hipergeometrik diferansiyel denklemlerle çalışmış ve çözümleri tekil noktaları etrafında kapalı yolların davranışı aracılığıyla monodromi matrisi tarafından tanımlanmış şekilde sunmuştur. Daha önce bilinen monodromi matrisleriyle bu tür diferansiyel denklemlerin varlığının ispatı, Hilbert problemlerinden biridir.
Sayı teorisi
Modern analitik sayı teorisine bazı ünlü katkılar yaptı. Sayı teorisi konusuyla ilgili yayınladığı tek kısa makalesinde, artık adı taşıdığı zeta işlevini araştırdı, asal sayıların dağılımını anlamak için önemini kurdu. Riemann hipotezi, işlevin özellikleri hakkında yaptığı bir dizi tahminden biriydi.
Riemann'ın çalışmasında, çok daha ilginç gelişmeler vardır. Leonhard Euler'e zaten bilinen zeta işlevi için işlevsel denklemi ispatladı, bunun arkasında bir theta işlevi yer alır. Bu yaklaştırma işlevinin gerçek kısım 1/2 olan satır üzerinde önemsiz olmayan sıfırlar üzerinde toplanması aracılığıyla, π x için tam, "açık formül" verdi.
Riemann, Pafnuty Chebyshev'in Asal Sayı Teoremi üzerine yaptığı çalışmayı biliyordu. O h
