Имеет мало значения, кто первым придёт к идее, важно то, как далеко эта идея может зайти
Мари-Софи Жермен была французским математиком, физиком и философом. Несмотря на первоначальное сопротивление её родителей и трудности, создаваемые обществом, она получила образование из книг в библиотеке своего отца, включая работы Леонарда Эйлера, и благодаря переписке с известными математиками, такими как Лагранж, Лежандр и Гаусс, под псевдонимом «Мосье ЛеБланк». Одна из пионеров теории упругости, она выиграла большой приз Парижской академии наук за свою работу по этой теме. Её работа над последней теоремой Ферма заложила основу для математиков, изучавших этот предмет в течение сотен лет после неё. Из-за предубеждения против её пола она не смогла сделать карьеру в математике, но работала независимо на протяжении всей жизни. Перед её смертью Гаусс рекомендовал ей присудить почётную степень, но это так и не произошло. 27 июня 1831 года она умерла от рака груди. В столетнюю годовщину её жизни улица и школа для девочек были названы в её честь. Академия наук учредила премию имени Софи Жермен в её честь.
Ранняя жизнь
Семья
Мари-Софи Жермен родилась 1 апреля 1776 года в Париже, Франция, в доме на улице Сен-Дени. По большинству источников, её отец, Амбруаз-Франсуа, был богатым торговцем шёлком, хотя некоторые считают, что он был ювелиром. В 1789 году он был избран представителем буржуазии в Генеральные штаты, которые, по его наблюдениям, превратились в Учредительное собрание. Поэтому предполагается, что Софи была свидетельницей многих обсуждений между её отцом и его друзьями о политике и философии. Грей предполагает, что после своей политической карьеры Амбруаз-Франсуа стал директором банка; в любом случае семья оставалась достаточно богатой, чтобы поддерживать Жермен на протяжении её взрослой жизни.
У Мари-Софи была одна младшая сестра по имени Анжелик-Амбруаз и одна старшая сестра по имени Мари-Мадлена. Её мать также звали Мари-Мадлена, и это множество «Мари» могло быть причиной того, что она стала известна как Софи. Племянник Жермен Арман-Жак Лербетт, сын Мари-Мадлены, опубликовал часть работ Жермен после её смерти см. Работы по философии.
Введение в математику
Когда Жермен было 13 лет, пала Бастилия, и революционная атмосфера города заставила её оставаться в помещении. Для развлечения она обратилась к библиотеке своего отца. Там она нашла «L'Histoire des Mathématiques» Ж. Э. Монтюкла, и история смерти Архимеда её заинтриговала.
Софи Жермен подумала, что если геометрический метод, который в то время обозначал всю чистую математику, мог иметь такое очарование для Архимеда, то это был предмет, достойный изучения. Поэтому она проработала каждую книгу по математике в библиотеке своего отца, даже обучив себя латыни и греческому языку, чтобы она могла читать работы, подобные работам сэра Исаака Ньютона и Леонарда Эйлера. Ей также нравились «Traité d'Arithmétique» Этьена Безу и «Le Calcul Différentiel» Жака Антуана-Жозефа Кузена. Позже Кузен навестил Жермен дома, поддерживая её в её учёбе.
Родители Жермен совсем не одобряли её внезапное увлечение математикой, которая тогда считалась неподходящей для женщины. Когда наступала ночь, они отказывали ей в тёплой одежде и огне в её спальне, пытаясь помешать ей учиться, но после того, как они уходили, она доставала свечи, оборачивалась в стёганые одеяла и занималась математикой. Со временем даже её мать начала тайно поддерживать её.
École Polytechnique
В 1794 году, когда Жермен было 18 лет, открылась École Polytechnique. Как женщина, Жермен был запрещено посещать, но новая система образования сделала «лекционные заметки доступными для всех, кто их просил». Новый метод также требовал от студентов «представлять письменные наблюдения». Жермен получила лекционные заметки и начала отправлять свои работы Жозефу Луи Лагранжу, члену факультета. Она использовала имя бывшего студента Мосье Антуана-Огюста Ле Блана, «опасаясь», как она позже объяснила Гауссу, «насмешки, связанной с женщиной-учёным». Когда Лагранж увидел интеллект М. Ле Блана, он попросил встречу, и таким образом Софи была вынуждена раскрыть свою настоящую личность. К счастью, Лагранж не возражал против того, что Жермен была женщиной, и он стал её наставником.
Ранние работы в теории чисел
Переписка с Лежандром
Жермен впервые заинтересовалась теорией чисел в 1798 году, когда Адриен-Мари Лежандр опубликовал «Essai sur la théorie des nombres». После изучения работы она открыла переписку с ним по теории чисел, а позже по упругости. Лежандр показал часть работ Жермен в приложении ко второму изданию своей «Théorie des Nombres», где называет это très ingénieuse «очень остроумный». См. также её работы о последней теореме Ферма ниже.
Переписка с Гауссом
Интерес Жермен к теории чисел возобновился, когда она прочитала монументальный труд Карла Фридриха Гаусса «Disquisitiones Arithmeticae». После трёх лет работы над упражнениями и попыток доказать некоторые из теорем, она написала, снова под псевдонимом М. Ле Блан, самому автору, который был на один год моложе её. Первое письмо, датированное 21 ноября 1804 года, обсуждало «Disquisitiones» Гаусса и представляло некоторые работы Жермен о последней теореме Ферма. В письме Жермен утверждала, что доказала теорему для n = p − 1, где p — простое число вида p = 8k + 7. Однако её доказательство содержало слабое предположение, и ответ Гаусса не комментировал доказательство Жермен.
Примерно в 1807 году источники расходятся, во время наполеоновских войн французы оккупировали немецкий город Брауншвейг, где жил Гаусс. Жермен, обеспокоенная тем, что он может разделить судьбу Архимеда, написала генералу Пернети, другу семьи, с просьбой убедиться, что Гаусс в безопасности. Генерал Пернети отправил батальонного командира, чтобы лично встретиться с Гауссом, чтобы убедиться, что он в безопасности. Оказалось, что Гаусс был в порядке, но он был озадачен упоминанием имени Софи.
Через три месяца после инцидента Жермен раскрыла свою настоящую личность Гауссу. Он ответил:
Как я могу описать своё изумление и восхищение, видя, что мой уважаемый корреспондент М. Ле Блан превратился в эту знаменитую личность... когда женщина, из-за своего пола, наших обычаев и предубеждений, встречает бесконечно больше препятствий, чем мужчины, в ознакомлении с «сложными проблемами» теории чисел, и всё же преодолевает эти оковы и проникает в то, что наиболее скрыто, она, несомненно, имеет самое благородное мужество, необычайный талант и выдающийся гений.
Письма Гаусса к Олберсу показывают, что его похвала Жермен была искренней. В том же письме 1807 года Жермен утверждала, что если x n + y n не может.
Хотя Гаусс хорошо отзывался о Жермен, его ответы на её письма часто задерживались, и он обычно не проверял её работы. В конце концов его интересы отвернулись от теории чисел, и в 1809 году письма прекратились. Несмотря на дружбу Жермен и Гаусса, они никогда не встречались.
Работы по упругости
Первая попытка Жермен получить приз Академии
Когда переписка Жермен с Гауссом прекратилась, она заинтересовалась конкурсом, спонсируемым Парижской академией наук, касающимся экспериментов Эрнста Хладни с вибрирующими металлическими пластинами. Цель конкурса, как указано Академией, состояла в том, чтобы «дать математическую теорию вибрации упругой поверхности и сравнить теорию с экспериментальными доказательствами». Комментарий Лагранжа о том, что решение проблемы потребует изобретения новой ветви анализа, отпугнул всех, кроме двух участников, Дени Пуассона и Жермен. Затем Пуассон был избран в Академию и стал судьёй вместо участника, оставляя Жермен единственной участницей конкурса.
В 1809 году Жермен начала работу. Лежандр помогал, предоставляя ей уравнения, ссылки и актуальные исследования. Она представила свою статью в начале осени 1811 года и не выиграла приз. Судейская комиссия посчитала, что «истинные уравнения движения не были установлены», хотя «эксперименты представили остроумные результаты». Лагранж смог использовать работу Жермен для получения уравнения, которое было «верно при особых условиях».
Последующие попытки получить приз
Конкурс был продлён на два года, и Жермен решила попытаться получить приз снова. Вначале Лежандр продолжал оказывать поддержку, но затем он отказался от всех помощей. Анонимное представление Жермен 1813 года всё ещё было полно математических ошибок, особенно касающихся двойных интегралов, и получило только почётное упоминание, потому что «фундаментальная база теории не была установлена». Конкурс был продлён ещё раз, и Жермен начала работу над своей третьей попыткой. На этот раз она проконсультировалась с Пуассоном. В 1814 году он опубликовал свою собственную работу по упругости и не признал помощь Жермен, хотя он работал с ней по этому предмету и, как судья в комиссии Академии, имел доступ к её работам.
Жермен представила свою третью работу «Recherches sur la théorie des surfaces élastiques» под своим именем, и 8 января 1816 года она стала первой женщиной, выигравшей приз Парижской академии наук. Она не явилась на церемонию получения своей награды. Хотя Жермен наконец получила приз extraordinaire, Академия всё ещё не была полностью удовлетворена. Жермен вывела правильное дифференциальное уравнение, частный случай уравнения Кирхгофа–Лява, но её метод не предсказывал экспериментальные результаты с большой точностью, так как она полагалась на неправильное уравнение Эйлера, которое привело к неправильным граничным условиям. Вот окончательное уравнение Жермен для вибрации плоской пластины:
где N2 — постоянная.
После выигрыша конкурса Академии она всё ещё не смогла посещать её заседания из-за традиции Академии исключать женщин, кроме жён членов. Семь лет спустя эта ситуация изменилась, когда она подружилась с Жозефом Фурье, секретарём Академии, который получил для неё билеты на заседания.
Более поздние работы по упругости
Жермен опубликовала свою работу, выигравшую приз, за свой счёт в 1821 году, в основном потому, что она хотела представить свою работу в противоположность работе Пуассона. В своём эссе она указала на некоторые ошибки в своем методе.
В 1826 году она представила исправленную версию своей работы 1821 года в Академию. По мнению Андреа Дель Чентины, пересмотр включал попытки уточнить её работу путём «введения определённых упрощающих гипотез». Это поставило Академию в неудобное положение, так как они считали статью «неадекватной и тривиальной», но они не хотели «обращаться с ней как с профессиональной коллегой, как они делают с любым мужчиной, просто отклоняя работу». Поэтому Огюстен-Луи Коши, который был назначен для проверки её работы, рекомендовал ей опубликовать её, и она последовала его совету.
Одна дополнительная работа Жермен по упругости была опубликована посмертно в 1831 году, её «Mémoire sur la courbure des surfaces». Она использовала среднюю кривизну в своих исследованиях см. Почести в теории чисел.
Более поздние работы в теории чисел
Возобновление интереса
Лучшей работой Жермен была теория чисел, и её наиболее значительный вклад в теорию чисел был связан с последней теоремой Ферма. В 1815 году, после конкурса по упругости, Академия предложила приз за доказательство последней теоремы Ферма. Это пробудило интерес Жермен к теории чисел, и она написала Гауссу снова после десяти лет отсутствия переписки.
В письме Жермен сказала, что теория чисел была её предпочтительной областью и что она была в её уме всё время, пока она изучала упругость. Она наметила стратегию общего доказательства последней теоремы Ферма, включая доказательство частного случая. Письмо Жермен к Гауссу содержало её существенный прогресс в направлении доказательства. Она спросила Гаусса, стоит ли преследовать её подход к теореме. Гаусс никогда не ответил.
Её работы о последней теореме Ферма
Последнюю теорему Ферма можно разделить на два случая. Случай 1 включает все степени p, которые не делят никоих x, y или z. Случай 2 включает всех p, которые делят по крайней мере один из x, y или z. Жермен предложила следующее, обычно называемое «теоремой Софи Жермен»:
- если xp + yp + zp ≡ 0 (mod P), то P делит xyz, и
- p не является p-й остаток степени (mod P).
Затем первый случай последней теоремы Ферма верен для p.
Жермен использовала этот результат для доказательства первого случая последней теоремы Ферма для всех нечётных простых чисел p < 100, но, по мнению Андреа Дель Чентины, «она на самом деле показала, что она верна для каждого показателя p < 197». Позже Л. Э. Диксон использовал теорему Жермен
