Будь счастлив в этот момент. Этот момент — твоя жизнь.
Omar Khayyam был персидским математиком, астрономом, философом и поэтом. Он родился в Nishabur, на северо-востоке Ирана, и большую часть своей жизни провел при дворе правителей Karakhanid и Seljuq в период, свидетелем которого была Первый крестовый поход.
Как математик, он наиболее известен своей работой по классификации и решению кубических уравнений, где он предоставил геометрические решения через пересечение конических сечений. Khayyam также внес вклад в понимание аксиомы о параллельных. Как астроном, он разработал Jalali календарь, солнечный календарь с очень точным 33-летним циклом интеркаляции.
Существует традиция приписывания стихов Omar Khayyam, написанных в форме четверостиший. Эти стихи стали широко известны англоязычному миру благодаря переводу Edward FitzGerald (Rubaiyat of Omar Khayyam, 1859), который пользовался большим успехом в ориентализме fin de siècle.
Жизнь
Omar Khayyam родился в 1048 году в Nishapur, ведущем мегаполисе в Khorasan в средневековые времена, который достиг своего расцвета в одиннадцатом веке при династии Seljuq. Nishapur также был крупным центром зороастрийской религии, и вероятно, что отец Khayyam был зороастрийцем, принявшим ислам. Его полное имя, как оно фигурирует в арабских источниках, было Abu'l Fath Omar ibn Ibrahim al-Khayyam. В средневековых персидских текстах его обычно называют просто Omar Khayyam. Хотя это и вызывает сомнения, часто предполагалось, что его предки занимались ремеслом изготовления палаток, так как Khayyam означает «производитель палаток» на арабском языке. Историк Bayhaqi, который лично был знаком с Omar, предоставляет полные детали его гороскопа: «он был Близнецы, при этом Солнце и Меркурий находились в асценденте. Это было использовано современными учеными для установления его даты рождения как 18 мая 1048 года.
Его детство было проведено в Nishapur. Его способности были признаны его ранними учителями, которые отправили его учиться под руководством Imam Muwaffaq Nishaburi, величайшего учителя региона Khorasan, который обучал детей высшей знати. Khayyam также обучался зороастрийским математиком-обращенцем Abu Hassan Bahmanyar bin Marzban. После изучения науки, философии, математики и астрономии в Nishapur, около 1068 года он путешествовал в провинцию Bukhara, где часто посещал знаменитую библиотеку Ark. Около 1070 года он переехал в Samarkand, где начал создавать свой знаменитый трактат по алгебре под покровительством Abu Tahir Abd al-Rahman ibn ʿAlaq, губернатора и главного судьи города. Omar Khayyam был любезно принят правителем Karakhanid Shams al-Mulk Nasr, который, по словам Bayhaqi, «проявлял ему величайшие почести, настолько, что усаживал [Omar] рядом с собой на свой трон».
В 1073–4 был заключен мир с Sultan Malik-Shah I, который совершал вторжения в владения Karakhanid. Khayyam поступил на службу к Malik-Shah в 1074–5 годах, когда он был приглашен Grand Vizier Nizam al-Mulk встретиться с Malik-Shah в городе Marv. Затем Khayyam получил поручение создать обсерваторию в Isfahan и возглавить группу ученых в проведении точных астрономических наблюдений, направленных на пересмотр персидского календаря. Это предприятие началось, вероятно, в 1076 году и закончилось в 1079 году, когда Omar Khayyam и его коллеги завершили свои измерения длины года, сообщив о них с 14 значащими цифрами с поразительной точностью.
После смерти Malik-Shah и его визиря (убитого, как полагают, орденом Assassins), Omar впал в немилость при дворе, и в результате он вскоре отправился на паломничество в Mecca. Возможное скрытое мотивом его паломничества, о котором сообщает Al-Qifti, была публичная демонстрация его веры с целью развеять подозрения в скептицизме и опровергнуть обвинения в неортодоксальности (включая возможное сочувствие к зороастризму), выдвинутые против него враждебным духовенством. Затем он был приглашен новым Sultan Sanjar в Marv, возможно, чтобы работать судебным астрологом. Ему позже было разрешено вернуться в Nishapur из-за его ухудшившегося здоровья. По его возвращении, похоже, он вел жизнь отшельника.
Omar Khayyam умер в возрасте 83 лет в своем родном городе Nishapur 4 декабря 1131 года, и он похоронен в том, что сейчас является Mausoleum of Omar Khayyam. Один из его учеников Nizami Aruzi рассказывает историю о том, что какое-то время в 1112–3 годах Khayyam находился в Balkh в компании Al-Isfizari (одного из ученых, сотрудничавших с ним над календарем Jalali), когда он сделал пророчество: «моя гробница будет в месте, где северный ветер может разносить розы над ней». Четыре года спустя после его смерти Aruzi обнаружил его могилу на кладбище в то время крупного и известного квартала Nishapur на дороге в Marv. Как и предвидел Khayyam, Aruzi обнаружил гробницу, расположенную у подножия стены сада, над которой груши и персики прошли сквозь нее и роняли свои цветы так, что его надгробие было скрыто под ними.
Математика
Khayyam был известен при жизни как математик. Его сохранившиеся математические работы включают: комментарий о трудностях, касающихся постулатов «Elements» Euclid (Risāla fī šarḥ mā aškala min muṣādarāt kitāb Uqlīdis, завершенный в декабре 1077), О разделении квадранта круга (Risālah fī qismah rub' al-dā'irah, неуказанная дата, но завершенная до трактата по алгебре), и О доказательствах для проблем, касающихся алгебры (Maqāla fi l-jabr wa l-muqābala, скорее всего завершенная в 1079 году. Кроме того, он написал трактат об извлечении биномиальной теоремы и корня n-й степени натуральных чисел, который был утерян.
Теория параллелей
Часть комментария Khayyam к «Elements» Euclid посвящена аксиоме о параллельных. Трактат Khayyam можно рассматривать как первую обработку этой аксиомы, не основанную на petitio principii, а на более интуитивном постулате. Khayyam опровергает предыдущие попытки других математиков доказать это утверждение, главным образом на том основании, что каждая из них постулировала что-то, что было не менее сложным для принятия, чем сам Fifth Postulate. Опираясь на взгляды Aristotle, он отвергает использование движения в геометрии и поэтому отвергает различные попытки Al-Haytham. Неудовлетворенный неудачей математиков доказать утверждение Euclid из его других постулатов, Omar попытался связать аксиому с Fourth Postulate, который гласит, что все прямые углы равны друг другу.
Khayyam был первым, кто рассмотрел три случая острого, тупого и прямого угла для верхних углов четырехугольника Khayyam-Saccheri, три случая, которые являются исчерпывающими и попарно взаимно исключающими. После доказательства ряда теорем о них он доказал, что Postulate V является следствием гипотезы о прямом угле, и опровергал случаи тупого и острого углов как самопротиворечивые. Тщательная попытка Khayyam доказать аксиому о параллельных была значительной для дальнейшего развития геометрии, так как она четко показывает возможность неевклидовых геометрий. Гипотезы острого, тупого и прямого углов теперь известны как приводящие соответственно к неевклидовой гиперболической геометрии Gauss-Bolyai-Lobachevsky, к геометрии Riemannian и к евклидовой геометрии.
Комментарии Tusi к трактату Khayyam о параллелях попали в Европу. John Wallis, профессор геометрии в Oxford, перевел комментарий Tusi на латынь. Иезуитский геометр Girolamo Saccheri, чья работа (euclides ab omni naevo vindicatus, 1733) обычно рассматривается как первый шаг в развитии неевклидовой геометрии, был знаком с работой Wallis. Американский историк математики David Eugene Smith упоминает, что Saccheri «использовал ту же лемму, что и Tusi, даже обозначив фигуру точно так же и используя лемму в той же цели». Он далее говорит, что «Tusi четко утверждает, что это связано с Omar Khayyam, и из текста ясно, что последний был его вдохновителем».
Концепция действительного числа
Этот трактат о Euclid содержит еще один вклад, касающийся теории пропорций и составления отношений. Khayyam обсуждает взаимосвязь между концепцией отношения и концепцией числа и явно поднимает различные теоретические трудности. В частности, он вносит вклад в теоретическое изучение концепции иррационального числа. Недовольный определением равных отношений у Euclid, он переопределил концепцию числа, используя непрерывную дробь как средство выражения отношения. Rosenfeld и Youschkevitch (1973) утверждают, что «разместив иррациональные величины и числа на одной операционной шкале, [Khayyam] начал настоящую революцию в учении о числе». Аналогично, было отмечено D. J. Struik, что Omar находился «на пути к расширению концепции числа, которое ведет к понятию действительного числа».
Геометрическая алгебра
Rashed и Vahabzadeh (2000) утверждали, что благодаря его тщательному геометрическому подходу к алгебраическим уравнениям, Khayyam можно считать предшественником Descartes в изобретении аналитической геометрии. В «The Treatise on the Division of a Quadrant of a Circle» Khayyam применил алгебру к геометрии. В этой работе он посвятил себя в основном исследованию того, возможно ли разделить круговой квадрант на две части таким образом, чтобы отрезки линий, спроектированные из точки разделения на перпендикулярные диаметры круга, образовывали определенное соотношение. Его решение, в свою очередь, использовало несколько конструкций кривых, которые привели к уравнениям, содержащим кубические и квадратные члены.
Решение кубических уравнений
Khayyam, похоже, был первым, кто разработал общую теорию кубических уравнений и первым геометрически решил все типы кубических уравнений, насколько это касается положительных корней. Трактат по алгебре содержит его работу над кубическими уравнениями. Он разделен на три части: (i) уравнения, которые могут быть решены с помощью циркуля и линейки, (ii) уравнения, которые могут быть решены с помощью конических сечений, и (iii) уравнения, которые включают обратное неизвестному.
Khayyam составил исчерпывающий список всех возможных уравнений, содержащих линии, квадраты и кубы. Он рассмотрел три биномиальных уравнения, девять трехчленных уравнений и семь четырехчленных уравнений. Для полиномов первой и второй степени он предоставил численные решения путем геометрического построения. Он пришел к выводу, что существует четырнадцать различных типов кубиков, которые не могут быть сведены к уравнению меньшей степени. Для них он не мог осуществить построение своего неизвестного сегмента с помощью циркуля и линейки. Он приступил к представлению геометрических решений всех типов кубических уравнений, используя свойства конических сечений. Необходимые леммы для геометрического доказательства Khayyam включают Euclid VI, Prop 13, и Apollonius II, Prop. Положительный корень кубического уравнения был определен как абсцисса точки пересечения двух конических сечений, например, пересечение двух парабол или пересечение параболы и круга и т. д. Однако он признал, что арифметическая задача этих кубиков все еще оставалась нерешенной, добавив, что «возможно кто-нибудь еще придет это познать после нас». Эта задача оставалась открытой до шестнадцатого века, когда алгебраическое решение кубического уравнения было найдено в его полной форме Cardano, Del Ferro и Tartaglia в эпоху Возрождения в Италии.
По сути, работа Khayyam является попыткой объединить алгебру и геометрию. Это конкретное геометрическое решение кубических уравнений было далее исследовано M. Hachtroudi и расширено для решения уравнений четвертой степени. Хотя аналогичные методы появлялись спорадически со времен Menaechmus и далее развивались математиком 10-го века Abu al-Jud, работу Khayyam можно рассматривать как первое систематическое исследование и первый точный метод решения кубических уравнений. Математик Woepcke (1851), который предложил переводы алгебры Khayyam на французский язык, похвалил его за «силу обобщения и его строго систематическую процедуру».
Биномиальная теорема и извлечение корней
В своем алгебраическом трактате Khayyam намекает на книгу, которую он написал об извлечении n-й степени, где n — положительное целое число. Случай степени 2 явно указан в Elements Euclid, а случай степени не более 3 был установлен индийскими математиками. Khayyam был математиком, который заметил важность общей биномиальной теоремы. Аргумент, поддерживающий утверждение, что Khayyam имел общую биномиальную теорему, основан на его способности извлекать корни. Один из предшественников Khayyam, Al-Karaji, уже открыл треугольное расположение коэффициентов биномиальных разложений, которое европейцы позже узнали как треугольник Pascal; Khayyam популяризировал этот треугольный массив в Иране, поэтому он теперь известен как треугольник Omar Khayyam.
Астрономия
В 1074–5 годах Omar Khayyam получил поручение от Sultan Malik-Shah построить обсерваторию в Isfahan и реформировать персидский календарь. Была группа из восьми ученых, работавших под руководством Khayyam для проведения крупномасштабных астрономических наблюдений и пересмотра астрономических
