Jacob Bernoulli также известный как James или Jacques; 6 января 1655 [по старому стилю 27 декабря 1654] – 16 августа 1705 был одним из многих выдающихся математиков в семье Bernoulli. Он был ранним сторонником лейбницевского исчисления и поддерживал Gottfried Wilhelm Leibniz во время споря Leibniz–Newton о дифференциальном исчислении. Он известен своими многочисленными вкладами в дифференциальное исчисление и вместе со своим братом Johann был одним из основателей вариационного исчисления. Он также открыл фундаментальную математическую константу e. Однако его наиболее важный вклад был в области теории вероятностей, где он вывел первую версию закона больших чисел в своей работе Ars Conjectandi.
Биография
Jacob Bernoulli родился в Basel, Switzerland. Следуя желанию своего отца, он изучал теологию и вступил в духовенство. Но вопреки желаниям своих родителей, он также изучал математику и астрономию. Он путешествовал по всей Европе с 1676 по 1682 год, узнавая о последних открытиях в математике и науке у ведущих деятелей того времени. Это включало работы Johannes Hudde, Robert Boyle и Robert Hooke. В течение этого времени он также разработал неправильную теорию комет.
Bernoulli вернулся в Switzerland и начал преподавать механику в University of Basel с 1683 года. Его докторская диссертация Solutionem tergemini problematis была подана в 1684 году. Она была опубликована в 1687 году.
В 1684 году Bernoulli женился на Judith Stupanus; у них было двое детей. На протяжении этого десятилетия он также начал плодотворную научную карьеру. Его путешествия позволили ему установить переписку со многими ведущими математиками и учеными своей эпохи, которую он поддерживал на протяжении всей своей жизни. В течение этого времени он изучал новые открытия в математике, включая De ratiociniis in aleae ludo Christiaan Huygens, La Géométrie Descartes и дополнения к ней Frans van Schooten. Он также изучал Isaac Barrow и John Wallis, что привело к его интересу к бесконечно малой геометрии. Кроме того, именно между 1684 и 1689 годами были открыты многие результаты, которые должны были составить Ars Conjectandi.
Он был назначен профессором математики в University of Basel в 1687 году и остался на этой должности до конца жизни. К тому времени он начал обучать своего брата Johann Bernoulli математическим вопросам. Два брата начали изучать исчисление, представленное Leibniz в его статье 1684 года по дифференциальному исчислению в "Nova Methodus pro Maximis et Minimis", опубликованной в Acta Eruditorum. Они также изучали публикации von Tschirnhaus. Необходимо понимать, что публикации Leibniz об исчислении были очень неясны для математиков того времени, и Bernoullis были среди первых, кто пытался понять и применить теории Leibniz.
Jacob сотрудничал со своим братом в различных приложениях исчисления. Однако атмосфера сотрудничества между двумя братьями превратилась в соперничество по мере того, как собственный математический гений Johann начал развиваться, при этом оба атаковали друг друга в печати и ставили друг другу сложные математические задачи для проверки навыков друг друга. К 1697 году отношения полностью разрушились.
Лунный кратер Bernoulli также назван в честь него совместно с его братом Johann.
Важные работы
Первые важные вклады Jacob Bernoulli были брошюра о параллелях логики и алгебры, опубликованная в 1685 году, работа по теории вероятностей в 1685 году и геометрии в 1687 году. Его результат по геометрии дал конструкцию для деления любого треугольника на четыре равные части двумя перпендикулярными линиями.
К 1689 году он опубликовал важную работу по бесконечным рядам и опубликовал свой закон больших чисел в теории вероятностей. Jacob Bernoulli опубликовал пять трактатов по бесконечным рядам между 1682 и 1704 годами. Первые два из них содержали много результатов, таких как фундаментальный результат, что ∑ 1 n, но он показал, что он сходится к конечному пределу меньше 2. Euler первым нашел предел этого ряда в 1737 году. Bernoulli также изучал экспоненциальный ряд, который возник при рассмотрении сложных процентов.
В мае 1690 года в статье, опубликованной в Acta Eruditorum, Jacob Bernoulli показал, что проблема определения изохроны эквивалентна решению дифференциального уравнения первого порядка, которое не является линейным. Изохрона, или кривая постоянного спуска, это кривая, по которой частица будет спускаться под действием гравитации из любой точки вниз ровно за одинаковое время, независимо от начальной точки. Она была изучена Huygens в 1687 году и Leibniz в 1689 году. После нахождения дифференциального уравнения, Bernoulli затем решил его тем, что мы теперь называем разделением переменных. Статья Jacob Bernoulli 1690 года важна для истории исчисления, так как термин интеграл появляется в первый раз с его интеграционным значением. В 1696 году Bernoulli решил уравнение, теперь называемое дифференциальным уравнением Bernoulli,
Jacob Bernoulli также открыл общий метод определения эволют кривой как огибающей его окружностей кривизны. Он также исследовал каустические кривые и в частности изучал эти связанные кривые параболы, логарифмической спирали и эпициклоидов около 1692 года. Лемниската Bernoulli была впервые задумана Jacob Bernoulli в 1694 году. В 1695 году он исследовал проблему разводного моста, которая ищет кривую, необходимую для того, чтобы вес, скользящий по кабелю, всегда держал разводной мост в равновесии.
Самой оригинальной работой Jacob Bernoulli была Ars Conjectandi, опубликованная в Basel в 1713 году, через восемь лет после его смерти. Работа была незавершена во время его смерти, но это все еще работа величайшего значения в теории вероятностей. В книге Bernoulli рассмотрел работы других по теории вероятностей, в частности работы van Schooten, Leibniz и Prestet. Числа Bernoulli появляются в книге в обсуждении экспоненциального ряда. Даны многие примеры того, сколько можно ожидать выигрыша, играя в различные игры на удачу. Термин испытание Bernoulli возник из этой работы. Есть интересные мысли о том, что такое вероятность на самом деле:
... вероятность как измеримая степень уверенности; необходимость и случайность; моральное и математическое ожидание; априорная и апостериорная вероятность; ожидание выигрыша, когда игроки разделены в соответствии с ловкостью; учет всех доступных аргументов, их оценка и их исчисляемая оценка; закон больших чисел ...
Bernoulli был одним из наиболее значительных сторонников формальных методов высшего анализа. Проницательность и элегантность редко встречаются в его методе представления и выражения, но есть максимум целостности.
Открытие математической константы e
В 1683 году Bernoulli открыл константу e, изучая вопрос о сложных процентах, который требовал от него найти значение следующего выражения, которое на самом деле является e:
Один пример это счет, который начинается с $1.00 и выплачивает 100 процентов процентов в год. Если проценты начисляются один раз, в конце года, стоимость составляет $2.00; но если проценты вычисляются и добавляются дважды в год, то $1 умножается на 1.5 дважды, получая $1.00×1.5² = $2.25. Начисление процентов ежеквартально дает $1.00×1.25⁴ = $2.4414..., а начисление процентов ежемесячно дает $1.00×1.0833...¹² = $2.613035....
Bernoulli заметил, что эта последовательность приближается к пределу силы интереса для все более и меньших интервалов начисления процентов. Начисление процентов еженедельно дает $2.692597..., а начисление ежедневно дает $2.714567..., всего на два цента больше. Используя n как количество интервалов начисления процентов, с процентом 100% / n в каждом интервале, предел для большого n это число, которое Euler позже назвал e; при непрерывном начислении процентов стоимость счета достигнет $2.7182818.... Более общо, счет, который начинается с $1 и дает 1+R долларов при начислении сложных процентов, будет давать eR долларов при непрерывном начислении процентов.
Надгробие
Bernoulli хотел логарифмическую спираль и девиз Eadem mutata resurgo 'Хотя изменен, я восстану тем же' выгравированы на его надгробии. Он написал, что самоподобная спираль "может быть использована как символ, либо стойкости и постоянства в невзгодах, либо человеческого тела, которое после всех его изменений, даже после смерти, будет восстановлено в его точном и идеальном виде." Bernoulli умер в 1705 году, но спираль Архимеда была выгравирована вместо логарифмической.
Перевод латинской надписи:
Jacob Bernoulli, несравненный математик.
Профессор University of Basel Более 18 лет;
член Королевских академий Paris и Berlin; известный своими произведениями.
От хронического заболевания, в здравом уме до конца;
скончался в году милости 1705, 16 августа, в возрасте 50 лет и 7 месяцев, ожидая воскресения.
Judith Stupanus,
его жена в течение 20 лет,
и его два сына соорудили памятник мужу и отцу, по которому они так скучают.
