Каждый хороший математик — по меньшей мере наполовину философ, и каждый хороший философ — по меньшей мере наполовину математик.
Фридрих Людвиг Готлоб Фреге был немецким философом, логиком и математиком. Он работал профессором математики в Йенском университете и считается многими отцом аналитической философии, сосредоточивая внимание на философии языка, логике и математике. Хотя при его жизни он был в значительной степени забыт, Джузеппе Пеано 1858–1932, Бертран Рассел 1872–1970 и в некоторой степени Людвиг Витгенштейн 1889–1951 познакомили его работы с последующими поколениями философов.
Его вклад включает развитие современной логики в «Begriffsschrift» и работы в области оснований математики. Его книга «Основания арифметики» является семинальным текстом логицистского проекта и цитируется Майклом Даммитом как точка отсчета для лингвистического поворота. Его философские работы «О смысле и значении» и «Мысль» также широко цитируются. Первая защищает два разных типа значения и дескриптивизм. В «Основаниях» и «Мысли» Фреге защищает платонизм против психологизма или формализма относительно чисел и предложений соответственно. Парадокс Рассела подорвал логицистский проект, показав, что Основной закон V Фреге в «Основаниях» ложен.
Жизнь
Детство 1848–69
Фреге родился в 1848 году в Висмаре, Мекленбурге-Передней Померании, ныне части Мекленбурга-Передней Померании. Его отец Карл Карл Александр Фреге 1809–1866 был сооснователем и директором гимназии для девочек до своей смерти. После смерти Карла школой руководила мать Фреге Августа Вильгельмина Софи Фреге урождённая Биаллоблоцкая, 12 января 1815 – 14 октября 1898; её мать была Августа Амалия Мария Балльхорн, потомком Филиппа Меланхтона, а её отец был Иоганн Генрих Зигфрид Биаллоблоцкий, потомком польской знатной семьи, покинувшей Польшу в XVII веке.
В детстве Фреге познакомился с философиями, которые будут направлять его будущую научную карьеру. Например, его отец написал учебник немецкого языка для детей в возрасте 9–13 лет под названием Hülfsbuch zum Unterrichte in der deutschen Sprache für Kinder von 9 bis 13 Jahren 2-е изд., Висмар 1850; 3-е изд., Висмар и Людвигслуст: Hinstorff, 1862 Справочник по обучению немецкому языку детей от 9 до 13 лет, первый раздел которого рассматривал структуру и логику языка.
Фреге учился в Große Stadtschule Wismar и закончил её в 1869 году. Его учитель Густав Адольф Лео Сакс 5 ноября 1843 – 1 сентября 1909, который был поэтом, сыграл наиболее важную роль в определении будущей научной карьеры Фреге, побуждая его продолжить учёбу в Йенском университете.
Учёба в университете 1869–74
Фреге поступил в Йенский университет весной 1869 года как гражданин Северогерманского союза. За четыре семестра своего обучения он посетил приблизительно двадцать курсов лекций, большинство из них по математике и физике. Его самым важным учителем был Эрнст Карл Аббе 1840–1905; физик, математик и изобретатель. Аббе читал лекции по теории тяготения, гальванизму и электродинамике, теории функций комплексного переменного, приложениям физики, отдельным разделам механики и механике твёрдого тела. Аббе был для Фреге больше, чем учитель: он был надёжным другом и, как директор оптического производителя Carl Zeiss AG, находился в положении содействовать карьере Фреге. После окончания Фреге они вступили в более тесную переписку.
Его другими известными университетскими учителями были Христиан Филипп Карл Снелл 1806–86; предметы: применение бесконечно малого анализа в геометрии, аналитическая геометрия плоскостей, аналитическая механика, оптика, физические основания механики; Герман Карл Юлий Траугот Шефер 1824–1900; аналитическая геометрия, прикладная физика, алгебраический анализ, о телеграфе и других электронных машинах; и философ Кuno Фишер 1824–1907; кантианская и критическая философия.
Начиная с 1871 года, Фреге продолжил своё обучение в Гёттингене, ведущем университете математики в немецкоязычных территориях, где он посещал лекции Рудольфа Фридриха Альфреда Клебша 1833–72; аналитическая геометрия, Эрнст Кристиан Юлий Шеринг 1824–97; теория функций, Вильгельм Эдуард Вебер 1804–91; физические исследования, прикладная физика, Эдуард Риеке 1845–1915; теория электричества, и Герман Лотце 1817–81; философия религии. Многие философские доктрины зрелого Фреге имеют параллели в Лотце; это было предметом научных дебатов, было ли прямое влияние взглядов Лотце на взгляды Фреге, возникшие в результате посещения его лекций.
В 1873 году Фреге получил докторскую степень под руководством Эрнста Кристиана Юлия Шеринга с диссертацией под названием «Ueber eine geometrische Darstellung der imaginären Gebilde in der Ebene» «О геометрическом представлении мнимых образов на плоскости», в которой он стремился решить такие фундаментальные проблемы геометрии, как математическая интерпретация бесконечно удалённых мнимых точек проективной геометрии.
Фреге женился на Маргарете Катарине Софии Анне Лизеберг 15 февраля 1856 – 25 июня 1904 14 марта 1887 года.
Работа логика
Хотя его образование и ранние математические работы были сосредоточены в первую очередь на геометрии, работа Фреге вскоре повернулась к логике. Его Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens , Halle a/S: Verlag von Louis Nebert, 1879 отметил поворотный момент в истории логики. Begriffsschrift открыл новые горизонты, включая строгую обработку идей функций и переменных. Целью Фреге было показать, что математика вырастает из логики, и при этом он разработал методы, которые зашли далеко за пределы аристотелевского силлогизма и стоической пропозициональной логики, которые дошли до него в логической традиции.
По сути, Фреге изобрёл аксиоматическую логику предикатов, во многом благодаря его изобретению квантифицированных переменных, которые в конечном итоге стали повсеместными в математике и логике и которые решили проблему множественной генерализации. Предыдущая логика имела дело с логическими константами и, или, если... то..., не, и некоторые и все, но повторения этих операций, особенно «некоторые» и «все», были плохо поняты: даже различие между предложением вроде «каждый мальчик любит какую-то девочку» и «какую-то девочку любит каждый мальчик» можно было представить только очень искусственно, тогда как формализм Фреге не имел трудностей с выражением различных прочтений «каждый мальчик любит какую-то девочку, которая любит какого-то мальчика, который любит какую-то девочку» и подобных предложений в полной параллели с его обработкой, скажем, «каждый мальчик глуп».
Часто цитируемый пример заключается в том, что логика Аристотеля не может представлять математические утверждения, такие как теорема Евклида, фундаментальное утверждение теории чисел о том, что существует бесконечное число простых чисел. Однако «концептуальная нотация» Фреге может представлять такие выводы. Анализ логических концепций и механизм формализации, который необходим для Principia Mathematica 3 тома, 1910–13, автором которой являются Бертран Рассел, 1872–1970, и Альфред Норт Уайтхед, 1861–1947, теории описаний Рассела, теорем о неполноте Курта Гёделя 1906–78 и теории истины Альфреда Тарского 1901–83, в конечном итоге происходит от Фреге.
Одной из заявленных целей Фреге было выделение подлинно логических принципов вывода, чтобы при надлежащем представлении математического доказательства не приходилось в какой-либо момент апеллировать к «интуиции». Если был интуитивный элемент, он должен был быть выделен и представлен отдельно как аксиома: с этого момента доказательство должно было быть чисто логическим и без пробелов. Продемонстрировав эту возможность, более крупная цель Фреге состояла в защите взгляда на то, что арифметика является разделом логики, взглядом, известным как логицизм: в отличие от геометрии, арифметика должна была быть показана как не имеющая основания в «интуиции» и не нуждающаяся в нелогичных аксиомах. Уже в «Begriffsschrift» 1879 года важные предварительные теоремы, например, обобщённая форма закона трихотомии, были выведены в рамках того, что Фреге понимал как чистую логику.
Эта идея была сформулирована в неформальных терминах в его «Основаниях арифметики» Die Grundlagen der Arithmetik, 1884. Позже, в его «Основных законах арифметики» Grundgesetze der Arithmetik, т. 1, 1893; т. 2, 1903; т. 2 был опубликован за его счёт, Фреге попытался вывести, используя свой символизм, все законы арифметики из аксиом, которые он утверждал как логические. Большинство этих аксиом были перенесены из его «Begriffsschrift», хотя и не без некоторых значительных изменений. Единственным действительно новым принципом был принцип, который он назвал Основным законом V: «область значений» функции fx совпадает с «областью значений» функции gx тогда и только тогда, когда ∀x.
Существенный случай закона можно сформулировать в современной нотации следующим образом. Пусть {x|Fx} обозначает расширение предиката Fx, то есть множество всех F, и аналогично для Gx. Тогда Основной закон V говорит, что предикаты Fx и Gx имеют одинаковое расширение тогда и только тогда, когда ∀x. Множество F равно множеству G тогда и только тогда, когда каждый F является G и каждый G является F. Случай особый потому, что то, что здесь называется расширением предиката или множеством, является только одним типом «области значений» функции.
В знаменитом эпизоде Бертран Рассел написал Фреге, когда том 2 «Grundgesetze» был готов к отправке в печать в 1903 году, показывая, что парадокс Рассела мог быть выведен из Основного закона V Фреге. Легко определить отношение принадлежности множества или расширения в системе Фреге; затем Рассел обратил внимание на «множество вещей x, такие что x не является членом x». Система «Grundgesetze» влечёт за собой то, что множество, таким образом охарактеризованное, как является, так и не является членом самого себя, и таким образом является непоследовательной. Фреге написал поспешное, в последний момент, приложение к т. 2, выводя противоречие и предлагая исключить его путём изменения Основного закона V. Фреге открыл приложение исключительно честным комментарием: «Едва ли чего-либо более прискорбного может случиться с научным писателем, чем то, что один из основаниев его здания колеблется после того, как работа закончена. Это было положение, в которое я был поставлен письмом г-на Бертрана Рассела, как раз когда печать этого тома приближалась к завершению». Это письмо и ответ Фреге переведены в Jean van Heijenoort 1967.
Предлагаемое Фреге средство было впоследствии показано, чтобы влечь за собой то, что во вселенной дискурса существует только один объект, и следовательно, совершенно бесполезно действительно, это создало бы противоречие в системе Фреге, если бы он аксиоматизировал идею, фундаментальную для его обсуждения, что Истина и Ложь являются различными объектами; см., например, Dummett 1973, но недавняя работа показала, что большая часть программы «Grundgesetze» могла бы быть спасена другими способами:
- Основной закон V можно ослабить другими способами. Наиболее известный способ принадлежит философу и математическому логику Джорджу Булосу 1940–1996, который был экспертом по работам Фреге. «Концепция» F является «малой», если объекты, подпадающие под F, не могут быть поставлены в однозначное соответствие со вселенной дискурса, то есть, если только: ∃R[R is 1-to-1 & ∀x∃yxRy & Fy]. Теперь ослабьте V в V*: «концепция» F и «концепция» G имеют одинаковое «расширение» тогда и только тогда, когда ни F, ни G не малы или ∀xFx ↔ Gx. V* согласуется, если согласуется арифметика второго порядка, и достаточна для доказательства аксиом арифметики второго порядка.
- Основной закон V можно просто заменить принципом Юма, который гласит, что количество F равно количеству G тогда и только тогда, когда F могут быть поставлены в однозначное соответствие с G. Этот принцип также согласуется, если согласуется арифметика второго порядка, и достаточен для доказательства аксиом арифметики второго порядка. Этот результат называется теоремой Фреге, потому что было замечено, что при разработке арифметики использование Фреге Основного закона V ограничено доказательством принципа Юма; именно из этого, в свою очередь, выводятся арифметические принципы. О принципе Юма и теореме Фреге см. «Logique de Frege, théorème et fondements de l'arithmétique».
- Логика Фреге, теперь известная как логика второго порядка, может быть ослаблена в так называемую предикативную логику второго порядка. Предикативная логика второго порядка плюс Основной закон V доказуемо согласуется конечными или конструктивными методами, но может интерпретировать только очень слабые фрагменты арифметики.
Работы Фреге в области логики получили мало международного внимания до 1903 года, когда Рассел написал приложение к «Принципам математики», излагая свои различия с Фреге. Диаграмматическая нотация, которую использовал Фреге, не имела предшественников и не имела последователей с тех пор. Более того, до появления «Principia Mathematica» Рассела и Уайтхеда (3 тома, 1910–13) доминирующим подходом к математической логике всё ещё был подход Джорджа Буля 1815–64 и его интеллектуальных потомков, особенно Эрнста Шрёдера 1841–1902. Логические идеи Фреге, тем не менее, распространялись через сочинения его студента Рудольфа Карнапа 1891–1970 и других поклонников, особенно Бертрана Рассела и Людвига Витгенштейна 1889–1951.
Философ
Фреге является одним из основателей аналитической философии, работы которого по логике и языку дали начало лингвистическому повороту в философии. Его вклады в философию языка включают:
- Функционально-аргументный анализ предложения;
- Различие между концепцией и объектом Begriff und Gegensta
