Небольшое размышление покажет нам, что каждое убеждение, даже самое простое и фундаментальное, выходит за пределы опыта, когда рассматривается как руководство для наших действий.
William Kingdon Clifford был английским математиком и философом. Развивая работы Hermann Grassmann, он представил то, что сейчас называют геометрической алгеброй, частный случай алгебры Clifford, названной в его честь. Операции геометрической алгебры имеют эффект зеркального отражения, поворота, перемещения и отображения геометрических объектов, которые моделируются, в новые позиции. Алгебры Clifford в целом и геометрическая алгебра в частности приобретают все возрастающее значение для математической физики, геометрии и вычислительной техники. Clifford был первым, кто предположил, что гравитация может быть проявлением подлежащей геометрии. В своих философских работах он ввел выражение mind-stuff.
Биография
Родившись в Exeter, William Clifford проявил большие способности в школе. В возрасте 15 лет он поступил в King's College London, а затем в Trinity College, Cambridge, где был избран fellow в 1868 году, получив звание second wrangler в 1867 году и второй приз имени Smith. Быть вторым — это судьба, которую разделили другие, ставшие знаменитыми учеными, включая William Thomson Lord Kelvin и James Clerk Maxwell. В 1870 году он участвовал в экспедиции в Италию для наблюдения солнечного затмения 22 декабря 1870 года. Во время этого плавания он пережил кораблекрушение у побережья Сицилии.
В 1871 году он был назначен профессором математики и механики в University College London, а в 1874 году стал fellow Королевского общества. Он также был членом Лондонского математического общества и Метафизического общества.
7 апреля 1875 года Clifford женился на Lucy Lane, с которой у него было двое детей. Clifford любил развлекать детей и написал сборник сказок «The Little People».
Смерть и наследие
В 1876 году Clifford пережил нервный срыв, вероятно вызванный перегрузкой. Он преподавал и занимался администрированием днем, а писал ночью. Полугодовой отпуск в Алжире и Испании позволил ему возобновить свои обязанности на протяжении 18 месяцев, после чего он снова упал. Он поехал на остров Madeira на восстановление, но умер там от туберкулеза через несколько месяцев, оставив вдову с двумя детьми.
Clifford и его жена похоронены на лондонском кладбище Highgate Cemetery рядом с могилами George Eliot и Herbert Spencer, чуть севернее могилы Karl Marx.
Академический журнал Advances in Applied Clifford Algebras публикует материалы о наследии Clifford в кинематике и абстрактной алгебре.
Математика
Открытие неевклидовой геометрии открыло новые возможности в геометрии в эпоху Clifford. Родилась область внутренней дифференциальной геометрии с понятием кривизны, широко применяемой к самому пространству, а также к искривленным линиям и поверхностям. Clifford был очень впечатлен работой Bernhard Riemann 1854 года «On the hypotheses which lie at the bases of geometry». В 1870 году он доложил Кембриджскому философскому обществу о концепциях искривленного пространства Riemann и включил предположения об изгибании пространства гравитацией. Перевод Clifford статьи Riemann был опубликован в Nature в 1873 году. Его доклад в Кембридже «On the Space-Theory of Matter» был опубликован в 1876 году, предвосхитив общую теорию относительности Albert Einstein на 40 лет. Clifford разработал геометрию эллиптического пространства как неевклидово метрическое пространство. Эквидистантные кривые в эллиптическом пространстве теперь называют параллелями Clifford.
Clifford был прежде всего и, в первую очередь, геометром.
Современники Clifford считали его острым и оригинальным, остроумным и теплым человеком. Он часто работал далеко за полночь, что, возможно, ускорило его смерть. Он опубликовал статьи по различным темам, включая алгебраические формы и проективную геометрию, а также учебник Elements of Dynamic. Его применение теории графов к теории инвариантов было развито William Spottiswoode и Alfred Kempe.
Алгебры
В 1878 году Clifford опубликовал основополагающую работу, развивающую обширную алгебру Grassmann. Ему удалось объединить кватернионы, разработанные William Rowan Hamilton, с внешним произведением Grassmann, также называемым внешним произведением. Он понимал геометрическую природу творения Grassmann и то, что кватернионы прекрасно вписывались в алгебру, разработанную Grassmann. Версоры в кватернионах облегчают представление поворота. Clifford заложил основу для геометрического произведения, состоящего из суммы внутреннего произведения и внешнего произведения Grassmann. Геометрическое произведение впоследствии было формализовано венгерским математиком Marcel Riesz. Внутреннее произведение снабжает геометрическую алгебру метрикой, полностью включая отношения расстояния и угла для линий, плоскостей и объемов, в то время как внешнее произведение придает этим плоскостям и объемам векторообразные свойства, включая направленное смещение.
Комбинирование двух произведений привело операцию деления в игру. Это значительно расширило наше качественное понимание того, как объекты взаимодействуют в пространстве. Важно, что это также предоставило средства для количественного расчета пространственных последствий этих взаимодействий. Полученная геометрическая алгебра, как он ее называл, в конце концов реализовала давно искомую цель создания алгебры, которая отражает движения и проекции объектов в трехмерном пространстве.
Кроме того, алгебраическая схема Clifford распространяется на более высокие размерности. Алгебраические операции имеют ту же символическую форму, что и в 2 или 3 измерениях. Значение общих алгебр Clifford возросло с течением времени, в то время как их классы изоморфизма — как действительные алгебры — были идентифицированы в других математических системах помимо простых кватернионов.
Области действительного анализа и комплексного анализа были расширены благодаря алгебре H кватернионов и ее понятию трехмерной сферы, вложенной в четырехмерное пространство. Версоры кватернионов, обитающие в этой 3-сфере, обеспечивают представление группы вращений SO3. Clifford отметил, что биквартернионы Hamilton были тензорным произведением H ⊗ C двойственных кватернионов. Алгебра двойственных кватернионов используется для выражения винтового смещения, распространенного преобразования в кинематике.
Философия
Как философ, имя Clifford в основном связано с двумя фразами его авторства: mind-stuff и tribal self. Первая символизирует его метафизическую концепцию, подсказанную ему чтением Baruch Spinoza, которую Clifford в 1878 году определил следующим образом:
Тот элемент, из которого, как мы видели, даже самое простое чувство является сложным, я буду называть Mind-stuff. Движущаяся молекула неорганического вещества не обладает разумом или сознанием; но она обладает малым куском mind-stuff. Когда молекулы объединяются таким образом, чтобы образовать пленку на нижней стороне медузы, элементы mind-stuff, которые идут с ними, объединяются таким образом, чтобы образовать слабые начатки Sentience. Когда молекулы объединяются таким образом, чтобы образовать мозг и нервную систему позвоночного, соответствующие элементы mind-stuff объединяются таким образом, чтобы образовать какой-то вид сознания; то есть изменения в комплексе, которые происходят одновременно, связываются таким образом, что повторение одного подразумевает повторение другого. Когда материя принимает сложную форму живого человеческого мозга, соответствующий mind-stuff принимает форму человеческого сознания, обладающего интеллектом и волей.
Относительно концепции Clifford сэр Frederick Pollock писал:
Коротко говоря, концепция состоит в том, что разум — единственная конечная реальность; не разум в том виде, как мы его знаем в сложных формах сознательного чувства и мысли, но более простые элементы, из которых строятся мысль и чувство. Гипотетический конечный элемент разума, или атом mind-stuff, точно соответствует гипотетическому атому материи, являясь конечным фактом, явлением которого является материальный атом. Материя и чувственная вселенная — это отношения между конкретными организмами, то есть разумом, организованным в сознание, и остальным миром. Это приводит к результатам, которые в свободном и популярном смысле были бы названы материалистическими. Но теория, как метафизическая теория, должна быть причислена к идеалистической стороне. Говоря технически, это идеалистический монизм.
С другой стороны, tribal self дает ключ к этическому взгляду Clifford, который объясняет совесть и моральный закон развитием в каждом индивиде «я», которое предписывает поведение, способствующее благосостоянию «племени». Большая часть современного значения Clifford была обусловлена его отношением к религии. Движимый интенсивной любовью к его пониманию истины и преданностью общественному долгу, он вел войну против таких церковных систем, которые, казалось ему, благоприятствовали мракобесию и ставили интересы секты выше интересов человеческого общества. Тревога была еще больше, так как теология все еще не примирилась с дарвинизмом; и Clifford рассматривался как опасный защитник антидуховных тенденций, которые тогда приписывали современной науке. Были также дебаты о степени, в которой доктрина Clifford о «сопровождении» или «психофизическом параллелизме» повлияла на модель нервной системы John Hughlings Jackson и, через него, на работу Janet, Freud, Ribot и Ey.
Этика
В своем эссе 1877 года «The Ethics of Belief» Clifford утверждает, что неправильно верить в то, в чем не хватает доказательств. Он описывает судовладельца, который планировал отправить в море старый и плохо построенный корабль, полный пассажиров. Судовладельцу приходили в голову сомнения в том, что корабль может быть не мореходным: «Эти сомнения мучили его, и сделали его несчастным». Он рассмотрел идею переоборудования корабля, хотя это было бы дорого. Наконец, «ему удалось преодолеть эти мрачные размышления». Он смотрел, как корабль отправляется, «с легким сердцем… и он получил страховку, когда корабль затонул в открытом океане и не рассказал никому».
Clifford утверждает, что судовладелец был виноват в смерти пассажиров, даже несмотря на то, что он искренне верил, что корабль был надежен: «он не имел права верить на основании имеющихся перед ним доказательств». Более того, он утверждает, что даже в том случае, если корабль успешно достигнет пункта назначения, решение остается аморальным, потому что мораль выбора определяется навсегда, как только выбор сделан, и реальный результат, определяемый слепой удачей, не имеет значения. Судовладелец был бы не менее виноват: его проступок никогда не был бы обнаружен, но у него все равно не было права принимать это решение с учетом информации, доступной ему в то время.
Clifford знаменито заключает: «всегда, везде и для всех неправильно верить во что-либо на основании недостаточных доказательств».
Таким образом, он возражает религиозным мыслителям, для которых «слепая вера», то есть вера в то, во что нет доказательств, была добродетелью. Эта статья была известна атакована философом-прагматиком William James в его лекции «Will to Believe». Часто эти два произведения читают и публикуют вместе как центральные точки дебатов о доказательстве, вере и чрезмерной вере.
Предчувствие теории относительности
Хотя Clifford никогда не строил полную теорию пространства-времени и относительности, некоторые его замечательные письменные наблюдения предвосхитили эти современные концепции: В своей книге Elements of Dynamic 1878 года он введен «quasi-harmonic motion in a hyperbola». Он написал выражение для параметризованной единичной гиперболы, которое другие авторы позже использовали как модель релятивистской скорости. В другом месте он заявляет:
Этот отрывок ссылается на биквартернионы, хотя Clifford разработал их как расщепленные биквартернионы в своем независимом развитии. Книга продолжается с главой «On the bending of space», содержание общей теории относительности. Clifford также обсуждал свои взгляды в «On the Space-Theory of Matter» в 1876 году.
В 1910 году William Barrett Frankland цитировал «Space-Theory of Matter» в своей книге о параллелизме: «Смелость этого предположения, конечно, не превзойдена в истории мысли. До настоящего момента, однако, оно имеет вид полета Икара». Спустя годы, после того как общую теорию относительности развил Albert Einstein, различные авторы отметили, что Clifford предвосхитил Einstein. Hermann Weyl, например, в 1923 году упоминал Clifford как одного из тех, кто, как Bernhard Riemann, предвосхитил геометрические идеи релятивистской теории.
В 1940 году Eric Temple Bell опубликовал The Development of Mathematics, в котором обсуждает предусмотрительность Clifford в отношении теории относительности:
Еще смелее, чем Riemann, Clifford признался в своей вере (1870), что материя — это только проявление кривизны в многообразии пространства-времени. Это эмбриональное предчувствие было аплодировано как предчувствие релятивистской теории гравитационного поля Einstein (1915–16). Однако реальная теория имеет мало сходства с довольно детальным вероучением Clifford. Как правило, те математические пророки, которые никогда не спускаются к деталям, набирают наибольшие баллы. Почти любой может попасть в сторону амбара на сорока ярдах, выпустив порцию картечи.
John Archibald Wheeler во время 1960 Международного конгресса логики, методологии и философии науки CLMPS в Stanford представил свою формулировку геодинамики общей теории относительности, отдав должное Clifford как инициатору.
В The Natural Philosophy of Time 1961 года Gerald James Whitrow река
.jpg)
