Неважно, насколько правильной может показаться математическая теорема, никогда не следует быть удовлетворённым, пока она не произведёт впечатление красоты.
George Boole был в основном самоучкой английским математиком, философом и логиком, большую часть своей короткой карьеры работавшим профессором математики в Queen's College, Cork в Ирландии. Он работал в области дифференциальных уравнений и алгебраической логики и наиболее известен как автор работы The Laws of Thought 1854, которая содержит булеву алгебру. Булева логика считается основой информационной эпохи. Boole утверждал:
Не может быть установлен общий метод для решения вопросов теории вероятностей, который явно не признавал бы не только специальные числовые основы науки, но и те универсальные законы мысли, которые лежат в основе всех рассуждений и которые, независимо от их сущности, являются по крайней мере математическими по форме.
Ранняя жизнь
Boole родился в Lincoln, Lincolnshire, Англия, сын John Boole senior 1779–1848, сапожника, и Mary Ann Joyce. Он получил начальное образование и уроки от своего отца, но из-за серьёзного спада в бизнесе, он получал мало дальнейшего формального и академического образования. William Brooke, книготорговец в Lincoln, мог помочь ему с латынью, которую он мог также изучать в школе Thomas Bainbridge. Он был самоучкой в современных языках. Фактически, когда местная газета напечатала его перевод латинского стихотворения, один учёный обвинил его в плагиате под предлогом того, что он был неспособен на такие достижения. В возрасте 16 лет Boole стал кормильцем для своих родителей и трёх младших братьев и сестёр, заняв должность младшего учителя в Doncaster в Heigham's School. Он ненадолго преподавал в Liverpool.
Boole участвовал в Mechanics Institute в Greyfriars, Lincoln, который был основан в 1833 году. Edward Bromhead, который знал John Boole через учреждение, помог George Boole математическими книгами, и ему был подарен учебник по исчислению Sylvestre François Lacroix преподобным George Stevens Dickson из St Swithin's, Lincoln. Без учителя ему потребовалось много лет, чтобы овладеть исчислением.
В возрасте 19 лет Boole успешно основал свою собственную школу в Lincoln: Free School Lane. Он продолжал зарабатывать на жизнь, управляя школами, пока ему не исполнилось тридцать. Четыре года спустя он взял на себя управление Hall's Academy в Waddington, за пределами Lincoln, после смерти Robert Hall. В 1840 году он переехал обратно в Lincoln, где управлял школой-интернатом. Boole сразу же стал участником Lincoln Topographical Society, служа членом комитета и представив доклад под названием "On the origin, progress, and tendencies of polytheism", особенно среди древних египтян и персов и в современной Индии, 30 ноября 1841 года.
Boole стал заметной местной фигурой, поклонником John Kaye, епископа. Он участвовал в местной кампании за раннее закрытие магазинов. Вместе с Edmund Larken и другими он создал строительное общество в 1847 году. Он также связывался с чартистом Thomas Cooper, жена которого была его родственницей.
С 1838 года Boole установил контакты с сочувствующими британскими академическими математиками и расширял своё чтение. Он изучал алгебру в форме символических методов, насколько они были поняты в то время, и начал публиковать исследовательские работы. После получения положительных отзывов на его публикации, он рассмотрел возможность поступления в University of Cambridge, но отказался, когда ему сказали, что он должен начать со стандартных курсов бакалавриата и прекратить собственные исследования.
Профессор в Cork
Статус Boole как математика был признан его назначением в 1849 году первым профессором математики в Queen's College, Cork, ныне University College Cork UCC в Ирландии. Он встретил свою будущую жену, Mary Everest, там в 1850 году, когда она навещала своего дядю John Ryall, который был профессором греческого языка. Они поженились несколько лет спустя в 1855 году. Он поддерживал свои связи с Lincoln, работая там с E. R. Larken в кампании по снижению проституции.
Почести и награды
В 1844 году работа Boole "On a General Method in Analysis" выиграла первую золотую премию по математике, присуждённую Royal Society. Ему была присуждена Keith Medal Королевским научным обществом Edinburgh в 1855 году, и он был избран Fellow of the Royal Society FRS в 1857 году. Он получил почётные степени LL.D. от University of Dublin и University of Oxford.
Работы
Первая опубликованная работа Boole была "Researches in the theory of analytical transformations, with a special application to the reduction of the general equation of the second order", напечатана в Cambridge Mathematical Journal в феврале 1840 года, том 2, номер 8, стр. 64–73, и она привела к дружбе между Boole и Duncan Farquharson Gregory, редактором журнала. Его работы включают около 50 статей и несколько отдельных публикаций.
В 1841 году Boole опубликовал влиятельную работу в ранней теории инвариантов. Он получил медаль от Royal Society за свой мемуар 1844 года, "On a General Method in Analysis". Это была работа о теории линейных дифференциальных уравнений, переходящая от случая постоянных коэффициентов, по которому он уже публиковался, к переменным коэффициентам. Инновация в операционных методах заключается в допущении того, что операции могут не коммутировать. В 1847 году Boole опубликовал The Mathematical Analysis of Logic, первую из его работ по символической логике.
Дифференциальные уравнения
Boole завершил два систематических трактата по математическим предметам при его жизни. Treatise on Differential Equations появился в 1859 году, а за ним последовал в следующем году Treatise on the Calculus of Finite Differences, продолжение предыдущей работы.
Анализ
В 1857 году Boole опубликовал трактат "On the Comparison of Transcendent, with Certain Applications to the Theory of Definite Integrals", в котором он изучал сумму вычетов рациональной функции. Помимо других результатов, он доказал то, что теперь называется тождеством Boole:
для любых положительных действительных чисел ak > 0, bk и t > 0. Обобщения этого тождества играют важную роль в теории преобразования Hilbert.
Символическая логика
В 1847 году Boole опубликовал брошюру Mathematical Analysis of Logic. Позже он рассматривал её как ошибочное изложение своей логической системы и хотел, чтобы An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities была рассмотрена как зрелое изложение его взглядов. Вопреки распространённому мнению, Boole никогда не намеревался критиковать или не соглашаться с основными принципами логики Aristotle. Скорее, он намеревался систематизировать её, обеспечить её основанием и расширить диапазон её применимости. Первоначальное участие Boole в логике было вызвано текущей дискуссией о квантификации между Sir William Hamilton, который поддерживал теорию "quantification of the predicate", и сторонником Boole Augustus De Morgan, который продвинул версию дуальности De Morgan, как она теперь называется. Подход Boole в конечном итоге был намного более широким, чем у любой из сторон в споре. Он основал то, что впервые стало известно как традиция "algebra of logic".
Среди его многочисленных инноваций – его принцип холистической ссылки, который позже, вероятно независимо, был принят Gottlob Frege и логиками, придерживающимися стандартной логики первого порядка. Статья 2003 года содержит систематическое сравнение и критическую оценку аристотелевской логики и булевой логики; она также раскрывает центральность холистической ссылки в философии логики Boole.
Определение универсума дискурса в 1854 году
В каждом дискурсе, будь то ум, беседующий с собственными мыслями, или индивид в его общении с другими, существует предполагаемый или выраженный предел, в пределах которого ограничены предметы его деятельности. Наиболее свободный дискурс – это тот, в котором слова, которые мы используем, понимаются в самом широком возможном применении, и для них пределы дискурса совпадают с пределами самой вселенной. Но более обычно мы ограничиваем себя менее просторным полем. Иногда, говоря о людях, мы подразумеваем (без выражения ограничения), что это люди только при определённых обстоятельствах и условиях, о которых мы говорим, такие как цивилизованные люди или люди в расцвете сил, или люди при каком-то другом условии или отношении. Теперь, какова бы ни была протяжённость поля, в пределах которого находятся все объекты нашего дискурса, это поле может надлежащим образом называться универсумом дискурса. Более того, этот универсум дискурса в самом строгом смысле является конечным предметом дискурса
Обработка сложения в логике
Boole рассматривал "элективные символы" своего вида как алгебраическую структуру. Но эта общая концепция была ему недоступна: у него не было стандартизации в абстрактной алгебре постулируемых аксиоматических свойств операций и выведённых свойств. Его работа была началом алгебры множеств, опять же концепция, которая была Boole незнакома как знакомая модель. Его пионерские усилия столкнулись с конкретными трудностями, и обработка сложения была очевидной трудностью в ранние дни.
Boole заменил операцию умножения словом "и" и сложение словом "или". Но в первоначальной системе Boole + была частичной операцией: в языке теории множеств она соответствовала бы только непересекающемуся объединению подмножеств. Позже авторы изменили интерпретацию, обычно читая её как исключающее или, или в терминах теории множеств симметричную разность; этот шаг означает, что сложение всегда определено.
Фактически, существует другая возможность, что + должно быть прочитано как дизъюнкция. Эта другая возможность расширяется из случая непересекающегося объединения, где исключающее или и неисключающее или дают один и тот же ответ. Обработка этой двусмысленности была ранней проблемой теории, отражающей современное использование как булевых колец, так и булевых алгебр, которые являются просто разными аспектами одного типа структуры. Boole и Jevons боролись с этой проблемой в 1863 году в форме правильной оценки x + x. Jevons выступал за результат x, который является правильным для + как дизъюнкции. Boole оставил результат как что-то неопределённое. Он возражал против результата 0, который является правильным для исключающего или, потому что он видел уравнение x + x = 0 как подразумевающее x = 0, ложную аналогию с обычной алгеброй.
Теория вероятностей
Вторая часть Laws of Thought содержала соответствующую попытку открыть общий метод в вероятностях. Здесь цель была алгоритмической: из заданных вероятностей любой системы событий определить следующую вероятность любого другого события логически связанного с этими событиями.
Смерть
В конце ноября 1864 года Boole шёл в сильном дожде из своего дома в Lichfield Cottage в Ballintemple в университет, на расстояние трёх миль, и читал лекцию в мокрой одежде. Вскоре он заболел, развив пневмонию. Так как его жена считала, что средства должны напоминать их причину, она завернула его в мокрые одеяла – влажность, вызвавшая его болезнь. Состояние Boole ухудшилось, и 8 декабря 1864 года он умер от лихорадочного плевритического выпота.
Он был похоронен на кладбище Church of Ireland в St Michael's, Church Road, Blackrock, пригород Cork. Внутри соседней церкви находится мемориальная табличка.
Наследие
Boole является тёзкой раздела алгебры, известного как булева алгебра, а также тёзкой лунного кратера Boole. Ключевое слово Bool представляет булев тип данных во многих языках программирования, хотя Pascal и Java, среди прочих, используют полное имя Boolean. Библиотека, подземный лекционный театр и Boole Centre for Research in Informatics в University College Cork названы в его честь. Дорога под названием Boole Heights в Bracknell, Berkshire названа в его честь.
Развитие в 19 веке
Работа Boole была расширена и уточнена рядом авторов, начиная с William Stanley Jevons. Augustus De Morgan работал над логикой отношений, а Charles Sanders Peirce интегрировал его работу с работой Boole в 1870-х годах. Другими значительными фигурами были Platon Sergeevich Poretskii и William Ernest Johnson. Концепция структуры булевой алгебры на эквивалентных высказываниях пропозиционального исчисления приписывается Hugh MacColl 1877, в работе, обследованной 15 лет спустя Johnson. Обзоры этих развитий были опубликованы Ernst Schröder, Louis Couturat и Clarence Irving Lewis.
