Eudoxus of Cnidus

С радостью сгорел бы я, как Фаэтон, если бы это была цена за достижение Солнца и познание его формы, размера и субстанции.

Eudoxus of Cnidus был древнегреческим астрономом, математиком, учёным и учеником Архита и Платона. Все его работы утеряны, хотя некоторые фрагменты сохранились в комментариях Гиппарха к поэме Арата об астрономии. «Сфеника» Феодосия Вифинского может быть основана на работе Eudoxus.

Жизнь

Eudoxus родился и умер в Книде, также известном как Книдос, который был городом на юго-западном побережье современной Турции. Годы рождения и смерти Eudoxus известны не полностью, но диапазон может составлять ок. 408 – ок. 355 до н. э., или ок. 390 – ок. 337 до н. э. Его имя Eudoxus означает «почитаемый» или «имеющий добрую славу» εὔδοξος, от eu «хороший» и doxa «мнение, убеждение, слава». Это аналогично латинскому имени Benedictus.

Отец Eudoxus, Эсхин из Книды, любил смотреть на звёзды по ночам. Eudoxus сначала путешествовал в Тарент, чтобы учиться у Архита, у которого он научился математике. Находясь в Италии, Eudoxus посетил Сицилию, где учился медицине у Филистона.

В возрасте 23 лет он путешествовал с врачом Феомедоном—который, по мнению Диогена Лаэртия, некоторые считали его любовником—в Афины, чтобы учиться у последователей Сократа. Он в конце концов посещал лекции Платона и других философов несколько месяцев, но из-за разногласий между ними произошла ссора. Eudoxus был очень беден и мог позволить себе только квартиру в Пирее. Чтобы посещать лекции Платона, он ходил пешком 7 миль 11 км в каждую сторону каждый день. Из-за его бедности его друзья собрали средства, достаточные для отправки его в Гелиополь, Египет, чтобы продолжить свои исследования астрономии и математики. Он прожил там 16 месяцев. Из Египта он затем путешествовал на север в Кизик, расположенный на южном берегу Мраморного моря, Пропонтиды. Он путешествовал на юг к двору Мавсола. Во время своих путешествий он собрал вокруг себя многих учеников.

Около 368 года до н. э. Eudoxus вернулся в Афины со своими учениками. По некоторым источникам, около 367 года он принял руководство Академией во время пребывания Платона в Сиракузах и учил Аристотеля. Он в конце концов вернулся в его родную Книду, где служил в городском собрании. Находясь в Книде, он построил обсерваторию и продолжал писать и читать лекции по теологии, астрономии и метеорологии. У него было одно сына, Аристагора, и три дочери, Актис, Филтис и Дельфис.

В математической астрономии его слава обусловлена введением концентрических сфер и его ранним вкладом в понимание движения планет.

Его работа о пропорциях показывает понимание действительных чисел; она позволяет строгую обработку непрерывных величин, а не только целых чисел или даже рациональных чисел. Когда она была возрождена Тартальей и другими в 16-м веке, она стала основой для количественной работы в науке в течение столетия, пока не была заменена Ричардом Дедекиндом.

Кратеры на Марсе и Луне названы в его честь. Алгебраическая кривая, Кампила Eudoxus, также названа в его честь.

Математика

Eudoxus считается некоторыми величайшим из классических греческих математиков и во всей Античности вторым только после Архимеда. Eudoxus был вероятно источником большей части книги V Элементов Евклида. Он строго развил метод исчерпывания Антифона, предшественника интегрального исчисления, который также был мастерски использован Архимедом в следующем столетии. Применяя этот метод, Eudoxus доказал такие математические утверждения, как: площади кругов относятся друг к другу как квадраты их радиусов, объёмы сфер относятся друг к другу как кубы их радиусов, объём пирамиды составляет одну треть объёма призмы с тем же основанием и высотой, и объём конуса составляет одну треть объёма соответствующего цилиндра.

Eudoxus введён идею неквантифицированной математической величины для описания и работы с непрерывными геометрическими сущностями, такими как линии, углы, площади и объёмы, избегая тем самым использования иррациональных чисел. Делая это, он обратил вспять пифагорейский акцент на число и арифметику, сосредоточившись вместо этого на геометрических понятиях как основе строгой математики. Некоторые пифагорейцы, такие как учитель Eudoxus Архит, полагали, что только арифметика может обеспечить основу для доказательств. Вынужденный необходимостью понимать и работать с несоизмеримыми величинами, Eudoxus установил то, что могла быть первой дедуктивной организацией математики на основе явных аксиом. Изменение фокуса Eudoxus стимулировало разделение в математике, которое длилось две тысячи лет. В сочетании с греческим интеллектуальным отношением, не обеспокоенным практическими проблемами, последовало значительное отступление от развития методов арифметики и алгебры.'

Пифагорейцы открыли, что диагональ квадрата не имеет общей единицы измерения со сторонами квадрата; это знаменитое открытие о том, что квадратный корень из 2 не может быть выражен как соотношение двух целых чисел. Это открытие предвещало существование несоизмеримых величин за пределами целых чисел и рациональных дробей, но одновременно оно поставило под сомнение саму идею измерения и вычисления в геометрии в целом. Например, Евклид дает развернутое доказательство теоремы Пифагора Элементы I.47, используя добавление площадей и только намного позже Элементы VI.31 более простое доказательство из подобных треугольников, которое опирается на соотношения отрезков.

Древние греческие математики вычисляли не с величинами и уравнениями, как мы это делаем сегодня, а вместо этого они использовали пропорции для выражения соотношения между величинами. Таким образом, отношение двух подобных величин было не просто числовым значением, как мы думаем об этом сегодня; отношение двух подобных величин было примитивным соотношением между ними.

Eudoxus смог восстановить уверенность в использовании пропорций, предоставив поразительное определение смысла равенства между двумя отношениями. Это определение пропорции составляет предмет Книги V Евклида.

В Определении 5 Книги V Евклида мы читаем:

Говорят, что величины находятся в одном и том же отношении, первая ко второй и третья к четвёртой, когда, если взяты какие-либо равнократные первого и третьего и какие-либо равнократные второго и четвёртого, первые равнократные одинаково превышают, одинаково равны или одинаково меньше вторых равнократных, взятых в соответствующем порядке.

Используя современные обозначения, это уточняется следующим образом. Если мы возьмём четыре величины: a, b, c и d, тогда первая и вторая имеют отношение a / b.

Теперь, чтобы сказать, что a / b = c / d мы делаем следующее: Для любых двух произвольных целых чисел m и n, образуем равнократные m·a и m·c первого и третьего; аналогично образуем равнократные n·b и n·d второго и четвёртого.

Если случится, что m·a > n·b, тогда мы также должны иметь m·c > n·d. Если случится, что m·a = n·b, тогда мы также должны иметь m·c = n·d. Наконец, если случится, что m·a < n·b, тогда мы также должны иметь m·c < n·d.

Обратите внимание, что определение зависит от сравнения подобных величин m·a и n·b, и подобных величин m·c и n·d, и не зависит от существования общей единицы измерения этих величин.

Сложность определения отражает глубокую концептуальную и методологическую инновацию, которая в ней задействована. Она напоминает знаменитый пятый постулат Евклида о параллелях, который имеет более развёрнутую и сложную формулировку, чем другие постулаты.

Eudoxus определение пропорциональности использует квантор «для всех...» для укрощения бесконечного и бесконечно малого, точно так же, как современные эпсилон-дельта определения предела и непрерывности.

Кроме того, архимедово свойство, сформулированное как определение 4 книги V Евклида, первоначально принадлежит не Архимеду, а Eudoxus.

Астрономия

В Древней Греции астрономия была разделом математики; астрономы стремились создать геометрические модели, которые могли бы имитировать явления небесных движений. Идентификация астрономических работ Eudoxus как отдельной категории является, таким образом, современным удобством. Некоторые из астрономических текстов Eudoxus, названия которых сохранились, включают:

• Исчезновения Солнца, возможно об затмениях
• Октаетерида Ὀκταετηρίς, об восьмилетнем лунно-солнечно-венерианском цикле календаря
• Явления Φαινόμενα и Энтропон Ἔντροπον, о сферической астрономии, вероятно основанные на наблюдениях, сделанных Eudoxus в Египте и Книде
• О скоростях, о движениях планет

Мы довольно хорошо информированы о содержании Явлений, так как прозаический текст Eudoxus был основой для поэмы с тем же названием Арата. Гиппарх цитировал текст Eudoxus в своём комментарии к Арату.

Планетарные модели Eudoxus

Общее представление о содержании О скоростях можно получить из Метафизики XII, 8 Аристотеля и комментария Симпликия Киликийского VI век н. э. к О небе, ещё одной работе Аристотеля. Согласно истории, рассказанной Симпликием, Платон поставил вопрос перед греческими астрономами: «Из предположения о каких равномерных и упорядоченных движениях можно объяснить очевидные движения планет?» цитируется в Lloyd 1970, стр. 84. Платон предложил, что кажущиеся хаотичными блуждающие движения планет могут быть объяснены комбинациями равномерных круговых движений с центром на сферической Земле, видимо, новая идея в 4-м веке до н. э.

В большинстве современных реконструкций модели Eudoxus Луна имеет три сферы:

• Самая внешняя вращается на запад один раз в 24 часа, объясняя восход и закат.
• Вторая вращается на восток один раз в месяц, объясняя ежемесячное движение Луны через зодиак.
• Третья также завершает своё вращение в месяц, но её ось наклонена под немного другим углом, объясняя движение по широте отклонение от эклиптики и движение лунных узлов.

Солнцу также назначены три сферы. Вторая завершает своё движение в год вместо месяца. Включение третьей сферы подразумевает, что Eudoxus ошибочно полагал, что Солнце имело движение по широте.

Пяти видимым планетам Венере, Меркурию, Марсу, Юпитеру и Сатурну назначены четыре сферы каждой:

• Самая внешняя объясняет суточное движение.
• Вторая объясняет движение планеты через зодиак.
• Третья и четвёртая вместе объясняют ретроградацию, когда планета кажется замедляющейся, а затем кратко разворачивает своё движение через зодиак. Наклоняя оси двух сфер друг относительно друга и вращая их в противоположных направлениях, но с равными периодами, Eudoxus мог заставить точку на внутренней сфере вычертить фигуру в виде восьмёрки или гиппопеду.

Значение системы Eudoxus

Каллипп, греческий астроном 4-го века, добавил семь сфер к первоначальным 27 Eudoxus в дополнение к планетарным сферам, Eudoxus включал сферу для неподвижных звёзд. Аристотель описал обе системы, но настаивал на добавлении «развёртывающих» сфер между каждым набором сфер, чтобы отменить движения внешнего набора. Аристотель беспокоился о физической природе системы; без развёртывателей внешние движения передавались бы на внутренние планеты.

Основной недостаток системы Eudoxus — это её неспособность объяснить изменения в яркости планет, видимые с Земли. Поскольку сферы концентрические, планеты всегда будут оставаться на одном и том же расстоянии от Земли. На эту проблему в Античности указал Автолик из Питаны. Астрономы ответили, введя деферент и эпицикл, что заставило планету варьировать своё расстояние. Однако значение Eudoxus для греческой астрономии значительно, так как он был первым, кто попытался дать математическое объяснение планетам.

Этика

Аристотель в Никомаховой этике приписывает Eudoxus аргумент в пользу гедонизма — то есть, что удовольствие является конечным благом, к которому стремится деятельность. По словам Аристотеля, Eudoxus выдвинул следующие аргументы в пользу этой позиции:

1. Все вещи, рациональные и иррациональные, стремятся к удовольствию; вещи стремятся к тому, что они считают хорошим; хорошее указание на то, какое благо является главным, было бы то, к чему стремится большинство вещей.
2. Аналогично, противоположность удовольствия—боль—всеми избегается, что обеспечивает дополнительную поддержку идее, что удовольствие универсально считается благом.
3. Люди не ищут удовольствие как средство для чего-то ещё, а как цель саму по себе.
4. Любое другое благо, которое вы можете придумать, было бы лучше, если бы к нему добавили удовольствие, и только благо может увеличить благо.
5. Из всех вещей, которые хороши, счастье единственно тем, что его не хвалят, что может показывать, что оно является венчающим благом.