Как солнце затмевает звезды своим блеском, так человек знания затмит славу других в собраниях людей, если он предложит алгебраические задачи, и тем более если он их решит.
Brahmagupta был индийским математиком и астрономом. Он является автором двух ранних работ по математике и астрономии: Brāhmasphuṭasiddhānta BSS, "правильно установленное учение Brahma", датированная 628 годом, теоретическое трактат, и Khaṇḍakhādyaka "съедобный кусочек", датированная 665 годом, более практический текст.
Brahmagupta был первым, кто дал правила для вычисления с нулем. Тексты, составленные Brahmagupta, были написаны эллиптическими стихами на санскрите, как это было обычной практикой в индийской математике. Поскольку доказательства не даны, неизвестно, как были получены результаты Brahmagupta.
Жизнь и карьера
Brahmagupta родился в 598 году н.э., согласно его собственному утверждению. Он жил в Bhillamāla в Gurjaradesa современном Bhinmal в Rajasthan, Индия во время правления правителя династии Chavda, Vyagrahamukha. Он был сыном Jishnugupta и был индуистом по религии, в частности, шайвитом. Он жил и работал там большую часть своей жизни. Позднейший комментатор Prithudaka Svamin называл его Bhillamalacharya, учителем из Bhillamala.
Bhillamala была столицей Gurjaradesa, второго по величине королевства Западной Индии, включающего южный Rajasthan и северный Gujarat в современной Индии. Она также была центром обучения математике и астрономии. Brahmagupta стал астрономом школы Brahmapaksha, одной из четырех крупных школ индийской астрономии в этот период. Он изучал пять традиционных Siddhartha индийской астрономии, а также работы других астрономов, включая Aryabhata I, Latadeva, Pradyumna, Varahamihira, Simha, Srisena, Vijayanandin и Vishnuchandra.
В 628 году, в возрасте 30 лет, он составил 'Brāhmasphuṭasiddhānta' улучшенный трактат Brahma, который считается пересмотренной версией полученного Siddhanta школы Brahmapaksha астрономии. Ученые утверждают, что он включил большую оригинальность в его пересмотр, добавив значительное количество нового материала. Книга состоит из 24 глав с 1008 стихами в метре ārya. Большая часть посвящена астрономии, но она также содержит ключевые главы по математике, включая алгебру, геометрию, тригонометрию и алгоритмику, которые считаются содержащими новые идеи, принадлежащие самому Brahmagupta.
Позже Brahmagupta переехал в Ujjaini, Avanti, который также был крупным центром астрономии в центральной Индии. В возрасте 67 лет он составил свою следующую известную работу Khanda-khādyaka, практическое пособие по индийской астрономии в категории karana, предназначенное для использования студентами.
Brahmagupta умер в 668 году н.э., и предполагается, что он умер в Ujjain.
Контроверсия
Brahmagupta направил большую критику в адрес работ соперничающих астрономов, и его Brahmasphutasiddhanta демонстрирует один из первых расколов среди индийских математиков. Раздел был в основном о применении математики к физическому миру, а не о самой математике. В случае Brahmagupta разногласия в основном вытекали из выбора астрономических параметров и теорий. Критика соперничающих теорий появляется на протяжении первых десяти астрономических глав, а одиннадцатая глава полностью посвящена критике этих теорий, хотя в двенадцатой и восемнадцатой главах критика не появляется.
Прием
Историк науки George Sarton назвал его "одним из величайших ученых его расы и величайшим из его времени." Математические достижения Brahmagupta были продолжены Bhāskara II, линейным потомком в Ujjain, который описал Brahmagupta как ganaka-chakra-chudamani драгоценность круга математиков. Prithudaka Svamin написал комментарии к обеим его работам, превращая сложные стихи в более простой язык и добавляя иллюстрации. Lalla и Bhattotpala в 8 и 9 веках написали комментарии к Khanda-khadyaka. Дальнейшие комментарии продолжали писаться до 12-го века.
Через несколько десятилетий после смерти Brahmagupta, Sindh попал под арабский Caliphate в 712 году н.э. Экспедиции были отправлены в Gurjaradesa "Al-Baylaman in Jurz", как писали арабские историки. Королевство Bhillamala, кажется, было уничтожено, но Ujjain отразил атаки. Двор Caliph Al-Mansur 754–775 получил посольство из Sindh, включая астролога по имени Kanaka, который привез, возможно, заученные наизусть астрономические тексты, включая тексты Brahmagupta. Тексты Brahmagupta были переведены на арабский язык Muhammad al-Fazari, астрономом при дворе Al-Mansur под названиями Sindhind и Arakhand. Непосредственным результатом было распространение десятичной системы счисления, используемой в текстах. Математик Al-Khwarizmi 800–850 н.э. написал текст под названием al-Jam wal-tafriq bi hisal-al-Hind Сложение и вычитание в индийской арифметике, который был переведен на латынь в 13-м веке как Algorithmi de numero indorum. Через эти тексты десятичная система счисления и алгоритмы Brahmagupta для арифметики распространились по всему миру. Al-Khwarizmi также написал свою собственную версию Sindhind, опираясь на версию Al-Fazari и включив элементы Ptolemy. Индийский астрономический материал циркулировал широко в течение столетий, даже проникая в средневековые латинские тексты.
Математика
Алгебра
Brahmagupta дал решение общего линейного уравнения в восемнадцатой главе Brahmasphutasiddhānta,
это решение уравнения bx + c = dx + e, где rupas относится к константам c и e. Данное решение эквивалентно x = e − c/b − d. Он далее дал два эквивалентных решения общего квадратного уравнения
18.44. Уменьшить на средний [число] квадратный корень из rupas, умноженный на четыре раза квадрат и увеличенный на квадрат среднего [числа]; разделить остаток на дважды квадрат. [Результат есть] средний [число].
18.45. Все, что является квадратным корнем из rupas, умноженным на квадрат [и] увеличенным на квадрат половины неизвестного, уменьшить на половину неизвестного [и] разделить [остаток] на его квадрат. [Результат есть] неизвестное.
которые являются соответственно решениями уравнения ax2 + bx = c эквивалентны,
и
Он продолжил решать системы одновременных неопределенных уравнений, утверждая, что желаемая переменная должна быть сначала выделена, а затем уравнение должно быть разделено на коэффициент желаемой переменной. В частности, он рекомендовал использовать "pulverizer" для решения уравнений с несколькими неизвестными.
18.51. Вычесть цвета, отличные от первого цвета. [Остаток] разделены на первый [коэффициент цвета] есть мера первого. [Члены] два на два [рассматриваются [при сведении к] подобным делителям, [и так далее] повторно. Если есть много [цветов], pulverizer [то быть использованным].
Подобно алгебре Diophantus, алгебра Brahmagupta была синкопирована. Добавление было указано путем размещения чисел рядом, вычитание путем размещения точки над вычитаемым, и деление путем размещения делителя ниже делимого, аналогично нашей нотации, но без полосы. Умножение, развитие и неизвестные величины были представлены сокращениями соответствующих терминов. Степень греческого влияния на эту синкопацию, если оно было, неизвестна, и возможно, что как греческая, так и индийская синкопация могут быть получены из общего вавилонского источника.
Арифметика
Четыре основных операции сложение, вычитание, умножение и деление были известны многим культурам до Brahmagupta. Текущая система основана на индийско-арабской системе счисления и впервые появилась в Brahmasphutasiddhanta. Brahmagupta описывает умножение следующим образом "Множимое повторяется как веревка для скота, столько раз, сколько целых частей в множителе и повторно умножается на них, и произведения складываются вместе. Это умножение. Или множимое повторяется столько раз, сколько составных частей в множителе". Индийская арифметика была известна в средневековой Европе как "Modus Indorum", означающий метод индийцев. В Brahmasphutasiddhanta умножение было названо Gomutrika.
В начале двенадцатой главы его Brahmasphutasiddhānta, озаглавленной Вычисление, Brahmagupta описывает операции с дробями. От читателя ожидается знание основных арифметических операций вплоть до извлечения квадратного корня, хотя он объясняет, как найти куб и кубический корень целого числа и позже дает правила, облегчающие вычисление квадратов и квадратных корней. Затем он дает правила для работы с пятью типами комбинаций дробей: a/c + b/c; a/c × b/d; a/1 + b/d; a/c + b/d × a/c = ad + b/cd; и a/c − b/d × a/c = ad − b/cd.
Ряды
Brahmagupta далее дает сумму квадратов и кубов первых n целых чисел.
Здесь Brahmagupta нашел результат в виде суммы первых n целых чисел, а не в виде n, как в современной практике.
Он дает сумму квадратов первых n натуральных чисел как nn + 12n + 1/6 и сумму кубов первых n натуральных чисел как nn + 1/22.
Ноль
Brahmagupta's Brahmasphuṭasiddhānta является первой книгой, которая предоставляет правила для арифметических манипуляций, которые применяются к нулю и к отрицательным числам. Brahmasphutasiddhānta является самым ранним известным текстом, который рассматривает ноль как число само по себе, а не просто как цифра-заполнитель в представлении другого числа, как это делали вавилоняне, или как символ отсутствия количества, как это делали Ptolemy и римляне. В восемнадцатой главе его Brahmasphutasiddhānta, Brahmagupta описывает операции с отрицательными числами. Он сначала описывает сложение и вычитание,
18.30. [Сумма] двух положительных есть положительная, двух отрицательных отрицательная; положительного и отрицательного [сумма] есть их разность; если они равны это ноль. Сумма отрицательного и нуля отрицательна, [положительного] и нуля положительна, [и] двух нулей ноль.
18.32. Отрицательное минус ноль есть отрицательное, положительное [минус ноль] положительное; ноль [минус ноль] есть ноль. Когда положительное вычитается из отрицательного или отрицательное из положительного, то оно должно быть добавлено.
Он продолжает описывать умножение,
18.33. Произведение отрицательного и положительного есть отрицательное, двух отрицательных положительное, и положительных положительное; произведение нуля и отрицательного, нуля и положительного, или двух нулей есть ноль.
Но его описание деления на ноль отличается от нашего современного понимания:
18.34. Положительное разделенное на положительное или отрицательное разделенное на отрицательное есть положительное; ноль разделенный на ноль есть ноль; положительное разделенное на отрицательное есть отрицательное; отрицательное разделенное на положительное [также] отрицательное.
18.35. Отрицательное или положительное разделенное на ноль имеет этот [ноль] как делитель, или ноль разделенный на отрицательное или положительное [имеет то отрицательное или положительное в качестве делителя]. Квадрат отрицательного или положительного есть положительный; [квадрат] нуля есть ноль. То, из которого [квадрат] есть квадрат есть [его] квадратный корень.
Здесь Brahmagupta утверждает, что / = 0 и что касается вопроса a/, где a ≠ 0, он не определился. Его правила для арифметики на отрицательные числа и ноль весьма близки к современному пониманию, за исключением того, что в современной математике деление на ноль остается неопределенным.
Диофантов анализ
Пифагоровы тройки
В двенадцатой главе своей Brahmasphutasiddhanta, Brahmagupta предоставляет формулу, полезную для генерирования пифагоровых троек:
12.39. Высота горы, умноженная на данный множитель, является расстоянием до города; это не стирается. Когда оно разделено на множитель увеличенный на два, это прыжок одного из двух, которые совершают одинаковое путешествие.
Или, другими словами, если d = mx/x + 2, то путешественник, который "прыгает" вертикально вверх на расстояние d с вершины горы высотой m, а затем путешествует по прямой линии к городу на горизонтальном расстоянии mx от основания горы, путешествует на то же расстояние, что и тот, кто спускается вертикально вниз по горе, а затем путешествует горизонтально к городу. Сказано геометрически, это говорит, что если прямоугольный треугольник имеет основание длиной a = mx и высотой b = m + d, то длина c его гипотенузы задается c = m1 + x − d. И действительно, элементарная алгебраическая манипуляция показывает, что a2 + b2 = c2 всякий раз, когда d имеет указанное значение. Также, если m и x рациональны, то же самое верно и для d, a, b и c. Пифагорова тройка может быть получена из a, b и c путем умножения каждого из них на наименьшее общее кратное их знаменателей.
Уравнение Пелля
Brahmagupta продолжил дать рекуррентное соотношение для генерирования решений для определенных экземпляров диофантовых уравнений
