Jacob Bernoulli também conhecido como James ou Jacques; 6 de janeiro de 1655 [O.S. 27 de dezembro de 1654] – 16 de agosto de 1705 foi um dos muitos matemáticos proeminentes da família Bernoulli. Ele foi um dos primeiros proponentes do cálculo leibniziano e apoiou Gottfried Wilhelm Leibniz durante a controvérsia do cálculo de Leibniz-Newton. É conhecido por suas numerosas contribuições ao cálculo e, juntamente com seu irmão Johann, foi um dos fundadores do cálculo de variações. Ele também descobriu a constante matemática fundamental e. Porém, sua contribuição mais importante foi no campo da probabilidade, onde derivou a primeira versão da lei dos grandes números em sua obra Ars Conjectandi.
Biografia
Jacob Bernoulli nasceu em Basileia, Suíça. Seguindo o desejo de seu pai, estudou teologia e entrou no ministério. Mas contrariamente aos desejos de seus pais, também estudou matemática e astronomia. Ele viajou pela Europa de 1676 a 1682, aprendendo sobre as mais recentes descobertas em matemática e ciências com as principais figuras da época. Isso incluiu o trabalho de Johannes Hudde, Robert Boyle e Robert Hooke. Durante este período, ele também produziu uma teoria incorreta de cometas.
Bernoulli retornou à Suíça e começou a lecionar mecânica na Universidade de Basileia a partir de 1683. Sua dissertação de doutorado Solutionem tergemini problematis foi apresentada em 1684. Apareceu em impressão em 1687.
Em 1684 Bernoulli casou-se com Judith Stupanus; tiveram dois filhos. Durante esta década, ele também começou uma carreira de pesquisa frutífera. Suas viagens permitiram que estabelecesse correspondência com muitos dos principais matemáticos e cientistas de sua época, que manteve ao longo de sua vida. Durante este tempo, estudou as novas descobertas em matemática, incluindo De ratiociniis in aleae ludo de Christiaan Huygens, La Géométrie de Descartes e os suplementos Frans van Schooten. Ele também estudou Isaac Barrow e John Wallis, levando ao seu interesse em geometria infinitesimal. Além desses, foi entre 1684 e 1689 que muitos dos resultados que comporiam Ars Conjectandi foram descobertos.
Ele foi nomeado professor de matemática na Universidade de Basileia em 1687, permanecendo nesta posição pelo resto de sua vida. Naquela época, havia começado a tutoriar seu irmão Johann Bernoulli em tópicos matemáticos. Os dois irmãos começaram a estudar o cálculo conforme apresentado por Leibniz em seu artigo de 1684 sobre cálculo diferencial em "Nova Methodus pro Maximis et Minimis" publicado em Acta Eruditorum. Eles também estudaram as publicações de von Tschirnhaus. Deve-se entender que as publicações de Leibniz sobre cálculo eram muito obscuras para os matemáticos daquela época e os Bernoulli estavam entre os primeiros a tentar compreender e aplicar as teorias de Leibniz.
Jacob colaborou com seu irmão em várias aplicações de cálculo. Porém, a atmosfera de colaboração entre os dois irmãos transformou-se em rivalidade conforme o próprio gênio matemático de Johann começou a amadurecer, com ambos atacando um ao outro na imprensa e propondo desafios matemáticos difíceis para testar as habilidades um do outro. Por 1697, o relacionamento havia se desintegrado completamente.
A cratera lunar Bernoulli também é nomeada após ele conjuntamente com seu irmão Johann.
Obras importantes
As primeiras contribuições importantes de Jacob Bernoulli foram um panfleto sobre os paralelos de lógica e álgebra publicado em 1685, trabalho sobre probabilidade em 1685 e geometria em 1687. Seu resultado em geometria deu uma construção para dividir qualquer triângulo em quatro partes iguais com duas linhas perpendiculares.
Por 1689 ele havia publicado trabalhos importantes sobre séries infinitas e publicou sua lei dos grandes números na teoria da probabilidade. Jacob Bernoulli publicou cinco tratados sobre séries infinitas entre 1682 e 1704. Os dois primeiros destes continham muitos resultados, como o resultado fundamental de que ∑ 1 n, mas ele mostrou que convergia para um limite finito menor que 2. Euler foi o primeiro a encontrar o limite desta série em 1737. Bernoulli também estudou a série exponencial que surgiu do exame dos juros compostos.
Em maio de 1690 em um artigo publicado em Acta Eruditorum, Jacob Bernoulli mostrou que o problema de determinar a isócrona é equivalente a resolver uma equação diferencial não linear de primeira ordem. A isócrona, ou curva de descida constante, é a curva ao longo da qual uma partícula descenderá sob gravidade de qualquer ponto até o fundo no mesmo tempo exato, não importa qual seja o ponto de partida. Havia sido estudada por Huygens em 1687 e Leibniz em 1689. Após encontrar a equação diferencial, Bernoulli então a resolveu pelo que agora chamamos de separação de variáveis. O artigo de Jacob Bernoulli de 1690 é importante para a história do cálculo, já que o termo integral aparece pela primeira vez com seu significado de integração. Em 1696 Bernoulli resolveu a equação, agora chamada de equação diferencial de Bernoulli,
Jacob Bernoulli também descobriu um método geral para determinar evolutas de uma curva como a envolvente de seus círculos de curvatura. Ele também investigou curvas causticas e em particular estudou essas curvas associadas da parábola, da espiral logarítmica e epiciclos por volta de 1692. A lemniscata de Bernoulli foi concebida pela primeira vez por Jacob Bernoulli em 1694. Em 1695 ele investigou o problema da ponte levadiça que procura a curva necessária para que um peso deslizando pelo cabo sempre mantenha a ponte levadiça equilibrada.
O trabalho mais original de Jacob Bernoulli foi Ars Conjectandi publicado em Basileia em 1713, oito anos após sua morte. O trabalho estava incompleto no momento de sua morte, mas ainda é uma obra de maior significância na teoria da probabilidade. No livro Bernoulli revisou o trabalho de outros sobre probabilidade, em particular trabalho de van Schooten, Leibniz e Prestet. Os números de Bernoulli aparecem no livro em uma discussão da série exponencial. Muitos exemplos são dados sobre quanto se esperaria ganhar jogando vários jogos de azar. O termo ensaio de Bernoulli resultou deste trabalho. Há pensamentos interessantes sobre o que a probabilidade realmente é:
... probabilidade como um grau mensurável de certeza; necessidade e acaso; expectativa moral versus matemática; probabilidade a priori e a posteriori; expectativa de vitória quando os jogadores são divididos de acordo com a destreza; consideração de todos os argumentos disponíveis, sua avaliação e sua avaliação calculável; lei dos grandes números ...
Bernoulli foi um dos mais significativos promotores dos métodos formais de análise superior. Astúcia e elegância raramente são encontradas em seu método de apresentação e expressão, mas há um máximo de integridade.
Descoberta da constante matemática e
Em 1683 Bernoulli descobriu a constante e estudando uma questão sobre juros compostos que o obrigou a encontrar o valor da seguinte expressão que é de fato e:
Um exemplo é uma conta que começa com $1,00 e paga 100% de juros por ano. Se os juros forem creditados uma vez, no final do ano, o valor é $2,00; mas se os juros forem calculados e adicionados duas vezes no ano, $1 é multiplicado por 1,5 duas vezes, rendendo $1,00×1,5² = $2,25. Capitalização trimestral rende $1,00×1,25⁴ = $2,4414..., e capitalização mensal rende $1,00×1,0833...¹² = $2,613035....
Bernoulli percebeu que essa sequência se aproxima de um limite a força do interesse para intervalos de capitalização cada vez menores. Capitalização semanal rende $2,692597..., enquanto capitalização diária rende $2,714567..., apenas dois centavos a mais. Usando n como o número de intervalos de capitalização, com juros de 100% / n em cada intervalo, o limite para n grande é o número que Euler mais tarde nomeou e; com capitalização contínua, o valor da conta atingirá $2,7182818.... De forma mais geral, uma conta que começa em $1 e rende 1+R dólares com juros compostos, renderá e^R dólares com capitalização contínua.
Túmulo
Bernoulli queria uma espiral logarítmica e o lema Eadem mutata resurgo 'Embora mudado, ressurjo o mesmo' gravado em sua lápide. Ele escreveu que a espiral auto-similar "pode ser usada como um símbolo, seja de fortaleza e constância na adversidade, seja do corpo humano, que após todas as suas mudanças, mesmo após a morte, será restaurado a si mesmo exato e perfeito." Bernoulli morreu em 1705, mas uma espiral de Arquimedes foi gravada em vez de uma logarítmica.
Tradução da inscrição latina:
Jacob Bernoulli, o matemático incomparável.
Professor na Universidade de Basileia Por mais de 18 anos;
membro das Academias Reais de Paris e Berlim; famoso por seus escritos.
De uma doença crônica, de mente sã até o fim;
sucumbiu no ano da graça de 1705, no 16º dia de agosto, aos 50 anos e 7 meses, aguardando a ressurreição.
Judith Stupanus,
sua esposa por 20 anos,
e seus dois filhos ergueram um monumento ao marido e pai que sentem tanta falta.
