Eudoxus of Cnidus

De bom grado eu me queimaria até a morte como Faetonte, se este fosse o preço para alcançar o sol e aprender sua forma, seu tamanho e sua substância.

Eudoxo de Cnido foi um antigo astrônomo, matemático, erudito grego e estudante de Arquitas e Platão. Todos os seus trabalhos foram perdidos, embora alguns fragmentos sejam preservados no comentário de Hiparco sobre o poema de Arato sobre astronomia. Esferas por Teodósio de Bitínia pode ser baseado em um trabalho de Eudoxo.

Vida

Eudoxo nasceu e morreu em Cnido, também soletrado Knidos, que era uma cidade na costa sudoeste da Turquia moderna. Os anos do nascimento e morte de Eudoxo não são totalmente conhecidos, mas o intervalo pode ter sido c. 408 – c. 355 BC, ou c. 390 – c. 337 BC. Seu nome Eudoxo significa "honrado" ou "de boa reputação" εὔδοξος, de eu "bom" e doxa "opinião, crença, fama". É análogo ao nome latino Benedictus.

O pai de Eudoxo, Aeschines de Cnido, amava observar as estrelas à noite. Eudoxo primeiro viajou para Tarento para estudar com Arquitas, de quem aprendeu matemática. Enquanto estava na Itália, Eudoxo visitou a Sicília, onde estudou medicina com Filiston.

Aos 23 anos, ele viajou com o médico Teomedon—que de acordo com Diógenes Laércio alguns acreditavam ser seu amante—para Atenas para estudar com os seguidores de Sócrates. Ele eventualmente assistiu aulas de Platão e outros filósofos por vários meses, mas devido a uma discordância tiveram um desentendimento. Eudoxo era bastante pobre e podia apenas pagar um apartamento no Pireu. Para assistir às aulas de Platão, ele caminhava 7 milhas 11 km em cada direção a cada dia. Devido à sua pobreza, seus amigos levantaram fundos suficientes para enviá-lo a Heliópolis, Egito, para prosseguir seus estudos em astronomia e matemática. Ele viveu lá por 16 meses. Do Egito, ele então viajou para o norte para Cízico, localizado na costa sul do Mar de Mármara, o Ponto. Ele viajou para o sul para a corte de Mausolus. Durante suas viagens, ele reuniu muitos alunos seus.

Por volta de 368 BC, Eudoxo retornou a Atenas com seus alunos. De acordo com algumas fontes, por volta de 367 ele assumiu a liderança da Academia durante o período de Platão em Siracusa e ensinou Aristóteles. Ele eventualmente retornou para sua Cnido nativa, onde serviu na assembleia da cidade. Enquanto em Cnido, ele construiu um observatório e continuou escrevendo e dando palestras sobre teologia, astronomia e meteorologia. Ele tinha um filho, Aristágoras, e três filhas, Actis, Philtis e Delphis.

Em astronomia matemática, sua fama se deve à introdução das esferas concêntricas e suas contribuições iniciais para entender o movimento dos planetas.

Seu trabalho sobre proporções mostra percepção de números reais; permite o tratamento rigoroso de quantidades contínuas e não apenas números inteiros ou mesmo números racionais. Quando foi revivido por Tartaglia e outros no século XVI, tornou-se a base para o trabalho quantitativo em ciência por um século, até ser substituído por Richard Dedekind.

Crateras em Marte e na Lua são nomeadas em sua honra. Uma curva algébrica, a Kampyle de Eudoxo também é nomeada após ele.

Matemática

Eudoxo é considerado por alguns como o maior dos matemáticos gregos clássicos, e em toda a Antiguidade segundo apenas a Arquimedes. Eudoxo foi provavelmente a fonte para a maior parte do livro V dos Elementos de Euclides. Ele desenvolveu rigorosamente o método de exaustão de Antífon, um precursor do cálculo integral que também foi usado de forma magistral por Arquimedes no século seguinte. Ao aplicar o método, Eudoxo provou afirmações matemáticas como: áreas de círculos estão uma para a outra como os quadrados de seus raios, volumes de esferas estão um para o outro como os cubos de seus raios, o volume de uma pirâmide é um terço do volume de um prisma com a mesma base e altura, e o volume de um cone é um terço o de um cilindro correspondente.

Eudoxo introduziu a ideia de magnitude matemática não quantificada para descrever e trabalhar com entidades geométricas contínuas, como linhas, ângulos, áreas e volumes, evitando assim o uso de números irracionais. Ao fazer isso, ele reverteu uma ênfase pitagórica em número e aritmética, focando em vez disso em conceitos geométricos como base da matemática rigorosa. Alguns pitagóricos, como o professor de Eudoxo, Arquitas, acreditavam que apenas a aritmética poderia fornecer uma base para provas. Induzido pela necessidade de entender e operar com quantidades incomensuráveis, Eudoxo estabeleceu o que pode ter sido a primeira organização dedutiva da matemática com base em axiomas explícitos. A mudança de foco por Eudoxo estimulou uma divisão na matemática que durou dois mil anos. Em combinação com uma atitude intelectual grega despreocupada com problemas práticos, houve um retrocesso significativo no desenvolvimento de técnicas em aritmética e álgebra.'

Os pitagóricos descobriram que a diagonal de um quadrado não tem uma unidade de medida comum com os lados do quadrado; esta é a famosa descoberta de que a raiz quadrada de 2 não pode ser expressa como a razão de dois inteiros. Esta descoberta havia anunciado a existência de quantidades incomensuráveis além dos inteiros e frações racionais, mas ao mesmo tempo questionou a ideia de medida e cálculos em geometria como um todo. Por exemplo, Euclides fornece uma prova elaborada do teorema de Pitágoras Elementos I.47, usando adição de áreas e muito mais tarde Elementos VI.31 uma prova mais simples de triângulos semelhantes, que se baseia em razões de segmentos de linha.

Os antigos matemáticos gregos não calculavam com quantidades e equações como fazemos hoje, mas usavam proporcionalidades para expressar a relação entre quantidades. Assim, a razão de duas quantidades semelhantes não era apenas um valor numérico, como pensamos hoje; a razão de duas quantidades semelhantes era uma relação primitiva entre elas.

Eudoxo foi capaz de restaurar a confiança no uso de proporcionalidades, fornecendo uma definição espantosa para o significado da igualdade entre duas razões. Esta definição de proporção forma o assunto do Livro V de Euclides.

Na Definição 5 do Livro V de Euclides lemos:

Magnitudes são ditas estar na mesma razão, a primeira para a segunda e a terceira para a quarta quando, se quaisquer equimúltiplos forem tomados da primeira e terceira, e quaisquer equimúltiplos da segunda e quarta, os equimúltiplos anteriores igualmente excedem, são igualmente iguais a, ou igualmente ficam aquém dos últimos equimúltiplos respectivamente tomados em ordem correspondente.

Usando a notação moderna, isto se esclarece como segue. Se tomarmos quatro quantidades: a, b, c, e d, então a primeira e a segunda têm uma razão a / b .

Agora dizer que a / b = c / d fazemos o seguinte: Para quaisquer dois inteiros arbitrários, m e n, formamos os equimúltiplos m·a e m·c do primeiro e terceiro; da mesma forma, formamos os equimúltiplos n·b e n·d do segundo e quarto.

Se acontecer que m·a > n·b, então devemos também ter m·c > n·d. Se acontecer que m·a = n·b, então devemos também ter m·c = n·d. Finalmente, se acontecer que m·a < n·b, então devemos também ter m·c < n·d.

Observe que a definição depende de comparar as quantidades semelhantes m·a e n·b, e as quantidades semelhantes m·c e n·d, e não depende da existência de uma unidade comum de medida dessas quantidades.

A complexidade da definição reflete a inovação conceitual e metodológica profunda envolvida. Traz à mente o famoso quinto postulado de Euclides sobre paralelas, que é mais extenso e complicado em sua redação do que os outros postulados.

A definição eudoxiana de proporcionalidade usa o quantificador, "para todo ..." para aproveitar o infinito e o infinitesimal, assim como as definições modernas epsilon-delta de limite e continuidade.

Além disso, a propriedade arquimediana declarada como definição 4 do livro V de Euclides é originalmente devida não a Arquimedes mas a Eudoxo.

Astronomia

Na Grécia antiga, a astronomia era um ramo da matemática; os astrônomos procuravam criar modelos geométricos que pudessem imitar as aparências dos movimentos celestiais. Identificar o trabalho astronômico de Eudoxo como uma categoria separada é, portanto, uma conveniência moderna. Alguns dos textos astronômicos de Eudoxo cujos nomes sobreviveram incluem:

• Desaparecimentos do Sol, possivelmente sobre eclipses
• Oktaeteris Ὀκταετηρίς, sobre um ciclo lunissolar de Vênus de oito anos do calendário
• Phaenomena Φαινόμενα e Entropon Ἔντροπον, sobre astronomia esférica, provavelmente baseado em observações feitas por Eudoxo no Egito e Cnido
• Sobre Velocidades, sobre movimentos planetários

Estamos bastante bem informados sobre o conteúdo de Phaenomena, pois o texto em prosa de Eudoxo foi a base para um poema de mesmo nome por Arato. Hiparco citou do texto de Eudoxo em seu comentário sobre Arato.

Modelos planetários eudoxianos

Uma ideia geral do conteúdo de Sobre Velocidades pode ser obtida da Metafísica XII, 8 de Aristóteles, e um comentário de Simplício da Cilícia século VI dC sobre De caelo, outra obra de Aristóteles. De acordo com uma história relatada por Simplício, Platão colocou uma pergunta para os astrônomos gregos: "Pela assunção de quais movimentos uniformes e ordenados podem ser explicados os movimentos aparentes dos planetas?" citado em Lloyd 1970, p. 84. Platão propôs que os movimentos de vagueação aparentemente caóticos dos planetas pudessem ser explicados por combinações de movimentos circulares uniformes centrados em uma Terra esférica, aparentemente uma ideia nova no século IV BC.

Na maioria das reconstruções modernas do modelo eudoxiano, a Lua é atribuída a três esferas:

• A mais externa gira para o oeste uma vez em 24 horas, explicando o nascimento e o pôr.
• A segunda gira para o leste uma vez por mês, explicando o movimento mensal da Lua através do zodíaco.
• A terceira também completa sua revolução em um mês, mas seu eixo é inclinado em um ângulo ligeiramente diferente, explicando o movimento em latitude desvio da eclíptica, e o movimento dos nós lunares.

O Sol também é atribuído a três esferas. A segunda completa seu movimento em um ano em vez de um mês. A inclusão de uma terceira esfera implica que Eudoxo erroneamente acreditava que o Sol tinha movimento em latitude.

Os cinco planetas visíveis Vênus, Mercúrio, Marte, Júpiter e Saturno são atribuídos a quatro esferas cada:

• A mais externa explica o movimento diário.
• A segunda explica o movimento do planeta através do zodíaco.
• A terceira e a quarta juntas explicam a retrogradação, quando um planeta parece desacelerar, então brevemente reverter seu movimento através do zodíaco. Ao inclinar os eixos das duas esferas um em relação ao outro, e rotacioná-los em direções opostas mas com períodos iguais, Eudoxo poderia fazer um ponto na esfera interna traçar uma forma de figura-oito, ou hippopede.

Importância do sistema eudoxiano

Calipo, um astrônomo grego do século IV, adicionou sete esferas aos originais 27 de Eudoxo além das esferas planetárias, Eudoxo incluiu uma esfera para as estrelas fixas. Aristóteles descreveu ambos os sistemas, mas insistiu em adicionar esferas "desenroladoras" entre cada conjunto de esferas para cancelar os movimentos do conjunto externo. Aristóteles estava preocupado com a natureza física do sistema; sem desenroladoras, os movimentos externos seriam transferidos para os planetas internos.

Uma falha importante no sistema eudoxiano é sua incapacidade de explicar mudanças no brilho dos planetas vistos da Terra. Porque as esferas são concêntricas, os planetas sempre permanecerão à mesma distância da Terra. Este problema foi apontado na Antiguidade por Autólico de Pitano. Os astrônomos responderam introduzindo o deferente e o epiciclo, o que causou um planeta a variar sua distância. No entanto, a importância de Eudoxo para a astronomia grega é considerável, pois ele foi o primeiro a tentar uma explicação matemática dos planetas.

Ética

Aristóteles, na Ética Nicomaqueia, atribui a Eudoxo um argumento a favor do hedonismo—ou seja, que o prazer é o bem último que a atividade se esforça para alcançar. De acordo com Aristóteles, Eudoxo apresentou os seguintes argumentos para esta posição:

1. Todas as coisas, racionais e irracionais, visam o prazer; as coisas visam o que acreditam ser bom; uma boa indicação do que é o bem principal seria a coisa que a maioria das coisas visa.
2. Da mesma forma, o oposto do prazer—a dor—é universalmente evitada, o que oferece suporte adicional para a ideia de que o prazer é universalmente considerado bom.
3. As pessoas não buscam o prazer como um meio para algo mais, mas como um fim em si mesmo.
4. Qualquer outro bem que você possa pensar seria melhor se o prazer fosse adicionado a ele, e é apenas pelo bem que o bem pode ser aumentado.
5. De todas as coisas que são boas, a felicidade é peculiar por não ser elogiada, o que pode mostrar que é o bem supremo.