Gottlob Frege

모든 훌륭한 수학자는 적어도 절반은 철학자이며, 모든 훌륭한 철학자는 적어도 절반은 수학자이다.

Friedrich Ludwig Gottlob Frege는 독일 철학자, 논리학자, 수학자였다. 그는 Jena 대학교의 수학 교수로 일했으며, 많은 사람들에게 분석 철학의 아버지로 이해되고 있으며, 언어의 철학, 논리, 수학에 집중했다. 그는 평생 동안 대부분 무시당했지만, Giuseppe Peano 1858–1932, Bertrand Russell 1872–1970, 그리고 어느 정도 Ludwig Wittgenstein 1889–1951이 그의 작업을 이후 철학자 세대에 소개했다.

그의 기여는 Begriffsschrift의 현대 논리 발전과 수학의 기초에 관한 작업을 포함한다. 그의 저서 「산술의 기초」는 논리주의 프로젝트의 중요한 텍스트이며, Michael Dummett에 의해 언어론적 전환이 어디에서 시작되었는지를 지적하는 곳으로 인용된다. 그의 철학 논문 「의미와 지시에 대하여」와 「생각」도 널리 인용된다. 전자는 두 가지 다른 의미 유형과 기술주의를 주장한다. 「기초」와 「생각」에서 Frege는 심리주의 또는 형식주의에 대항하여 플라톤주의를 각각 수와 명제와 관련하여 주장한다. Russell의 역설은 「기초」에 있는 Frege의 기본법칙 V가 거짓임을 보여줌으로써 논리주의 프로젝트를 훼손했다.

생애

어린 시절 1848–69

Frege는 1848년 Wismar, Mecklenburg-Schwerin에서 태어났으며 현재는 Mecklenburg-Vorpommern의 일부이다. 그의 아버지 Carl Karl Alexander Frege 1809–1866은 그의 죽음까지 여자 고등학교의 공동 설립자이자 교장이었다. Carl이 사망한 후, 학교는 Frege의 어머니 Auguste Wilhelmine Sophie Frege (구 성 Bialloblotzky), 1815년 1월 12일 – 1898년 10월 14일이 이끌었다. 그녀의 어머니는 Philipp Melanchthon의 후손인 Auguste Amalia Maria Ballhorn이었고, 그녀의 아버지는 17세기에 폴란드를 떠난 폴란드 귀족 가문의 후손인 Johann Heinrich Siegfried Bialloblotzky였다.

어린 시절에 Frege는 그의 미래 과학적 경력을 이끌 철학들을 만났다. 예를 들어, 그의 아버지는 9세에서 13세 어린이를 위한 독일어 교과서를 저술했으며, 제목은 「9세에서 13세 어린이를 위한 독일어 교육 도움말」(2판, Wismar 1850; 3판, Wismar and Ludwigslust: Hinstorff, 1862)이며, 그 첫 번째 부분은 언어의 구조와 논리를 다루었다.

Frege는 Große Stadtschule Wismar에서 공부했으며 1869년에 졸업했다. 시인이었던 그의 교사 Gustav Adolf Leo Sachse 1843년 11월 5일 – 1909년 9월 1일이 Frege의 미래 과학적 경력을 결정하는 데 가장 중요한 역할을 했으며, Jena 대학교에서 계속 공부하도록 격려했다.

대학교 학업 1869–74

Frege는 1869년 봄에 북독일 연방의 시민으로서 Jena 대학교에 입학했다. 그의 학업의 4개 학기 동안 그는 약 20개의 강의 과정에 참석했으며, 대부분은 수학과 물리학에 관한 것이었다. 그의 가장 중요한 교사는 Ernst Karl Abbe 1840–1905였으며, 물리학자, 수학자, 발명가였다. Abbe는 중력 이론, 전자기 현상, 복소 변수의 함수 복소 해석 이론, 물리학 응용, 역학의 선택된 부분, 고체의 역학에 관한 강의를 했다. Abbe는 Frege에게 단순한 교사 이상이었다. 그는 신뢰할 수 있는 친구였으며, 광학 제조업체 Carl Zeiss AG의 이사로서 Frege의 경력을 발전시킬 수 있는 입장에 있었다. Frege가 졸업한 후, 그들은 더 가까운 서신 관계로 들어갔다.

그의 다른 주목할 만한 대학 교사들은 Christian Philipp Karl Snell 1806–86였으며, 주제는 기하학에서의 무한소 해석의 사용, 평면의 해석 기하학, 분석 역학, 광학, 역학의 물리적 기초였다. Hermann Karl Julius Traugott Schaeffer 1824–1900; 해석 기하학, 응용 물리학, 대수 분석, 전신 및 기타 전자 기계에 관한 것이었다. 그리고 철학자 Kuno Fischer 1824–1907; 칸트주의 및 비판 철학이었다.

1871년부터 Frege는 독일어권 지역의 주요 수학 대학인 Göttingen에서 계속 공부했으며, 여기서 그는 Rudolf Friedrich Alfred Clebsch 1833–72의 강의를 들었다. 해석 기하학, Ernst Christian Julius Schering 1824–97; 함수 이론, Wilhelm Eduard Weber 1804–91; 물리 연구, 응용 물리학, Eduard Riecke 1845–1915; 전기 이론, 그리고 Hermann Lotze 1817–81; 종교 철학. 성숙한 Frege의 많은 철학적 학설들은 Lotze에서 유사점을 가지고 있다. Lotze의 강의에 참석함으로 인해 Frege의 견해에 직접적인 영향이 있었는지 여부는 학술적 논쟁의 주제였다.

1873년에, Frege는 Ernst Christian Julius Schering 하에서 박사 학위를 취득했으며, 제목은 「평면에서의 허상 형태의 기하학적 표현에 관하여」라는 논문이었고, 이 논문에서 그는 사영 기하학의 무한히 먼 허수 점의 수학적 해석과 같은 기하학의 기본적인 문제들을 해결하려고 했다.

Frege는 Margarete Katharina Sophia Anna Lieseberg 1856년 2월 15일 – 1904년 6월 25일과 1887년 3월 14일에 결혼했다.

논리학자로서의 업무

그의 교육과 초기 수학 작업이 주로 기하학에 초점을 맞추었지만, Frege의 작업은 곧 논리로 돌아갔다. 그의 Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle a/S: Verlag von Louis Nebert, 1879는 논리 역사의 전환점을 표시했다. Begriffsschrift는 함수와 변수의 개념에 대한 엄격한 치료를 포함하여 새로운 길을 열었다. Frege의 목표는 수학이 논리에서 나온다는 것을 보여주기 위한 것이었으며, 그렇게 하면서 그는 그에게 내려온 논리적 전통의 아리스토텔레스 삼단논법과 스토아 명제 논리를 훨씬 넘어서는 기법을 고안했다.

실제로 Frege는 공리적 술어 논리를 발명했으며, 이는 큰 부분 정량화된 변수의 발명 덕분이었다. 이는 결국 수학과 논리에 편재하게 되었으며, 다중 일반성의 문제를 해결했다. 이전 논리는 논리적 상수 and, or, if... then..., not, 그리고 some과 all을 다루었지만, 이러한 연산의 반복, 특히 "some"과 "all"은 거의 이해되지 않았다. 예를 들어 "모든 소년이 어떤 소녀를 사랑한다"와 "어떤 소녀가 모든 소년에게 사랑받는다"의 구별도 매우 부자연스럽게만 표현될 수 있었던 반면, Frege의 형식주의는 "모든 소년이 어떤 소녀를 사랑하고 그 소녀는 어떤 소년을 사랑하고 그 소년은 어떤 소녀를 사랑한다"와 같은 문장의 다양한 해석을 표현하는 데 어려움이 없었고, 예를 들어 "모든 소년은 어리석다"의 치료와 완전히 평행했다.

자주 언급되는 예시는 아리스토텔레스의 논리가 유클리드의 정리와 같은 수학적 명제를 표현할 수 없다는 것이며, 이는 무한히 많은 소수가 있다는 수 이론의 기본 명제이다. 그러나 Frege의 「개념 표기법」은 그러한 추론을 표현할 수 있다. 논리 개념의 분석과 형식화의 기계화는 Bertrand Russell 1872–1970과 Alfred North Whitehead 1861–1947에 의한 Principia Mathematica 3권, 1910–13, Russell의 기술 이론, Kurt Gödel 1906–78의 불완전성 정리, 그리고 Alfred Tarski 1901–83의 진리 이론에 필수적이며, 궁극적으로 Frege에 기인한다.

Frege의 명시된 목적 중 하나는 순수하게 논리적인 추론의 원리를 분리하는 것이었으므로, 수학적 증명의 적절한 표현에서 어느 시점에서도 "직관"에 호소하지 않을 것이다. 직관적 요소가 있었다면, 공리로 분리되고 표현되어야 했다. 그 이후로 증명은 순수하게 논리적이고 간격이 없어야 했다. 이 가능성을 보여줌으로써 Frege의 더 큰 목적은 산술이 논리의 한 분야라는 관점, 즉 논리주의로 알려진 관점을 방어하는 것이었다. 기하학과 달리 산술은 「직관」의 기초가 없고 비논리적 공리가 필요 없음을 보여주기 위한 것이었다. 이미 1879년 Begriffsschrift에서 중요한 예비 정리, 예를 들어 삼분법 법칙의 일반화된 형식은 Frege가 순수 논리로 이해한 것 내에서 유도되었다.

이 아이디어는 그의 「산술의 기초」(Die Grundlagen der Arithmetik, 1884)에서 비기호적 용어로 공식화되었다. 나중에, 그의 「산술의 기본 법칙」(Grundgesetze der Arithmetik, 제1권, 1893; 제2권, 1903; 제2권은 그의 비용으로 출판됨)에서 Frege는 그의 기호론을 사용하여 산술의 모든 법칙을 그가 주장한 논리적 공리에서 유도하려고 시도했다. 이러한 공리의 대부분은 그의 Begriffsschrift에서 이월되었지만 중요한 변경 없이는 아니었다. 정말 새로운 원칙은 그가 기본법칙 V라고 부른 것이었다. 함수 fx의 「값 범위」는 함수 gx의 「값 범위」와 동일하다 (당且 오직 ∀x일 경우).

법칙의 결정적인 경우는 현대 표기법으로 다음과 같이 공식화될 수 있다. {x|Fx}를 술어 Fx의 확장, 즉 모든 F의 집합을 나타내고, Gx에 대해서도 마찬가지라고 하자. 그러면 기본법칙 V는 술어 Fx와 Gx가 당且 오직 ∀x일 경우에만 동일한 확장을 가진다고 말한다. F의 집합은 모든 F가 G이고 모든 G가 F인 경우에만 G의 집합과 동일하다. 이 경우는 여기서 술어의 확장 또는 집합이라고 불리는 것이 함수의 「값 범위」의 한 유형일 뿐이라는 점에서 특별하다.

유명한 에피소드에서, Bertrand Russell은 Grundgesetze의 제2권이 1903년에 인쇄 직전일 때 Frege에게 편지를 보냈으며, Russell의 역설이 Frege의 기본법칙 V에서 유도될 수 있음을 보여주었다. Frege의 체계에서 집합 또는 확장의 멤버십 관계를 정의하기는 쉬우며, Russell은 「x가 x의 멤버가 아닌 것들의 집합」에 주의를 끌었다. Grundgesetze의 체계는 이렇게 특징지어진 집합이 자신의 멤버이면서 동시에 자신의 멤버가 아니며, 따라서 일관성이 없음을 수반한다. Frege는 제2권에 성급한 마지막 순간 부록을 작성하여 모순을 유도하고 기본법칙 V를 수정함으로써 이를 제거할 것을 제안했다. Frege는 부록을 다음과 같은 예외적으로 솔직한 의견으로 열었다. 「과학적 저술가에게 그의 저작물의 기초 중 하나가 작업이 완료된 후 동요하는 것보다 더 불운한 일은 거의 일어날 수 없다. 이것이 이 권의 인쇄가 완료되려고 할 때 Bertrand Russell 씨의 편지에 의해 나를 놓인 위치이다.」이 편지와 Frege의 회신은 Jean van Heijenoort 1967에서 번역되었다.

Frege의 제안된 치료는 나중에 우주 담론에는 하나의 객체만 있다는 것을 수반하는 것으로 나타났으며, 따라서 무가치했다. 실제로 이것은 만약 그가 그의 토론에 기본적인 아이디어를 공리화했다면 Frege의 체계에서 모순을 초래할 것이었다. 참과 거짓이 별개의 객체라는 것을 참조하라. 예를 들어, Dummett 1973을 참조하라. 그러나 최근 작업은 Grundgesetze의 프로그램의 많은 부분이 다른 방식으로 구제될 수 있음을 보여주었다:

• 기본법칙 V는 다른 방식으로 약화될 수 있다. 가장 잘 알려진 방법은 Frege의 작업에 대한 전문가인 철학자이자 수학 논리학자 George Boolos 1940–1996에 의한 것이다. 「개념」 F는 「작다」는 F에 속하는 객체들이 담론의 우주와 일대일 대응을 이룰 수 없다면, 즉 ∃R[R is 1-to-1 & ∀x∃yxRy & Fy]가 아닌 한. 이제 V를 V*로 약화한다. 「개념」 F와 「개념」 G는 당且 오직 F와 G 모두 작지 않거나 ∀xFx ↔ Gx인 경우에만 동일한 「확장」을 가진다. V*는 2계 산술이 그렇다면 일관성이 있으며, 2계 산술의 공리를 증명하기에 충분하다.
• 기본법칙 V는 단순히 Hume의 원칙으로 대체될 수 있으며, 이는 F의 개수가 G의 개수와 동일하다고 말한다 (당且 오직 F가 G와 일대일 대응을 이룰 수 있는 경우에만). 이 원칙도 2계 산술이 그렇다면 일관성이 있으며, 2계 산술의 공리를 증명하기에 충분하다. 이 결과는 Frege의 정리라고 불리는데, 산술을 개발하는 데 있어 Frege의 기본법칙 V의 사용이 Hume의 원칙의 증명으로 제한된다는 것이 주목되었기 때문이며, 이것으로부터 산술적 원칙들이 유도된다. Hume의 원칙과 Frege의 정리에 관하여, 「Frege의 논리, 정리, 및 산술의 기초」를 참조하라.
• Frege의 논리, 이제 2계 논리로 알려진 것은 소위 술어적 2계 논리로 약화될 수 있다. 술어적 2계 논리는 기본법칙 V와 함께 유한주의적 또는 구성적 방법으로 일관성이 있음이 증명되지만, 산술의 매우 약한 조각들만을 해석할 수 있다.

Frege의 논리