약간의 사색을 통해 우리는 모든 믿음이, 가장 단순하고 근본적인 것일지라도, 우리의 행동을 인도하는 지침으로서 경험을 초월한다는 것을 알 수 있을 것이다.
William Kingdon Clifford는 영국의 수학자이자 철학자였다. Hermann Grassmann의 업적을 바탕으로, 그는 현재 기하 대수학으로 불리는 것을 소개했으며, 이는 그의 이름을 따라 명명된 Clifford 대수학의 특수한 경우이다. 기하 대수학의 연산은 모델링되는 기하학적 객체를 거울상, 회전, 이동 및 새로운 위치로 매핑하는 효과를 가진다. Clifford 대수학 일반적으로, 특히 기하 대수학은 수학적 물리학, 기하학 및 컴퓨팅에 점점 더 중요해지고 있다. Clifford는 중력이 기저 기하학의 드러남일 수 있다고 처음 제안한 사람이었다. 그의 철학적 저술에서 그는 "mind-stuff"이라는 표현을 만들었다.
전기
Exeter에서 태어난 William Clifford는 학교에서 뛰어난 약속을 보였다. 15세에 King's College London으로 진학했고 Trinity College, Cambridge에 다녔으며, 1867년에 second wrangler가 된 후 1868년에 fellow로 선출되었고 second Smith's prizeman이 되었다. Second가 되는 것은 유명한 과학자가 된 William Thomson Lord Kelvin과 James Clerk Maxwell을 포함한 다른 사람들과 공유하는 운명이었다. 1870년에, 그는 1870년 12월 22일의 일식을 관찰하기 위해 이탈리아 원정의 일원이었다. 그 항해 중에 그는 시칠리아 해안 근처에서 난파를 겪었으나 살아남았다.
1871년에 그는 University College London의 수학 및 역학 교수로 임명되었고, 1874년에 왕립학회의 fellow가 되었다. 그는 또한 런던 수학 학회와 형이상학 학회의 회원이었다.
1875년 4월 7일 Clifford는 Lucy Lane과 결혼했으며, 함께 두 명의 자녀를 두었다. Clifford는 어린이들을 즐겁게 대접하는 것을 좋아했으며 동화 모음집인 The Little People을 저술했다.
사망 및 유산
1876년에 Clifford는 아마도 과로로 인한 붕괴를 경험했다. 그는 낮에는 가르치고 관리하고 밤에는 글을 썼다. 알제리와 스페인에서의 6개월 휴가로 그는 18개월 동안 자신의 업무를 재개할 수 있었지만, 그 후 다시 붕괴되었다. 그는 회복하기 위해 Madeira 섬으로 갔지만, 몇 개월 후 결핵으로 그곳에서 사망했으며, 아내와 두 명의 자녀를 남겼다.
Clifford과 그의 아내는 런던의 Highgate Cemetery에 묻혀 있으며, George Eliot과 Herbert Spencer의 무덤 근처, Karl Marx의 무덤 바로 북쪽에 있다.
학술 저널 Advances in Applied Clifford Algebras는 운동학 및 추상 대수학에서 Clifford의 유산에 대해 게시한다.
수학
비유클리드 기하학의 발견은 Clifford의 시대에 기하학에서 새로운 가능성을 열었다. 내재적 미분 기하학 분야가 태어났으며, 곡률의 개념이 곡선과 표면뿐만 아니라 공간 자체에도 광범위하게 적용되었다. Clifford는 Bernhard Riemann의 1854년 논문 "On the hypotheses which lie at the bases of geometry"에 매우 깊은 인상을 받았다. 1870년에 그는 Cambridge Philosophical Society에 Riemann의 곡선 공간 개념에 대해 보고했으며, 중력에 의한 공간의 굽힘에 대한 추측을 포함했다. Riemann 논문의 Clifford 번역은 1873년 Nature에 게시되었다. 그의 Cambridge 보고 "On the Space-Theory of Matter"는 1876년에 발표되었으며, Albert Einstein의 일반 상대성이론을 40년 앞질렀다. Clifford은 비유클리드 메트릭 공간으로서 타원 공간 기하학을 정교하게 다루었다. 타원 공간의 등거리 곡선은 이제 Clifford 평행선이라고 불린다.
Clifford는 무엇보다도 그리고 무엇보다도 먼저 기하학자였다.
Clifford의 동시대인들은 그를 날카롭고 독창적이며, 재치 있고 따뜻한 사람으로 여겼다. 그는 종종 밤 늦게까지 일했으며, 이는 그의 사망을 가속화했을 수 있다. 그는 대수 형식과 사영 기하학, 그리고 교과서 Elements of Dynamic을 포함한 다양한 주제에 대한 논문을 발표했다. 불변 이론에 대한 그의 그래프 이론 응용은 William Spottiswoode와 Alfred Kempe에 의해 계속되었다.
대수학
1878년에 Clifford는 Grassmann의 광범위한 대수학을 기반으로 한 중요한 저작을 발표했다. 그는 William Rowan Hamilton이 개발한 4원수를 Grassmann의 외적(exterior product)과 통합하는 데 성공했다. 그는 Grassmann의 창조의 기하학적 성질을 이해했으며, 4원수가 Grassmann이 개발한 대수학에 깔끔하게 들어맞는다는 것을 알았다. 4원수의 버서(versors)는 회전의 표현을 용이하게 한다. Clifford은 내적과 Grassmann의 외적의 합으로 이루어진 기하 곱을 위한 토대를 마련했다. 기하 곱은 결국 헝가리의 수학자 Marcel Riesz에 의해 형식화되었다. 내적은 기하 대수학에 메트릭을 장착하여 선, 평면 및 부피에 대한 거리 및 각도 관계를 완전히 통합하는 반면, 외적은 방향 편향을 포함하여 그 평면과 부피에 벡터 같은 속성을 부여한다.
둘을 결합하면 나눗셈의 연산이 작동하게 된다. 이는 물체가 공간에서 어떻게 상호작용하는지에 대한 우리의 질적 이해를 크게 확장했다. 중요하게도, 그것은 또한 그러한 상호작용의 공간적 결과를 정량적으로 계산할 수 있는 수단을 제공했다. 그가 이를 기하 대수학이라고 부른 결과적인 대수학은 결국 3차원 공간에서 물체의 움직임과 투영을 거울처럼 하는 대수학을 만드는 오랫동안 추구해온 목표를 실현했다.
더욱이 Clifford의 대수 도식은 더 높은 차원으로 확장된다. 대수 연산은 2차 또는 3차원에서와 동일한 기호 형식을 가진다. 일반 Clifford 대수학의 중요성은 시간이 지남에 따라 증가했으며, 그들의 동형 클래스(실 대수로서)는 단순히 4원수를 넘어 다른 수학 시스템에서 식별되었다.
실 분석과 복소 분석의 영역은 4원수의 대수 H를 통해 확장되었으며, 4차원 공간에 내장된 3차원 구의 개념 덕분이다. 이 3-구에 거주하는 4원수 버서는 회전군 SO3의 표현을 제공한다. Clifford는 Hamilton의 쌍4원수가 텐서 곱 H ⊗ C 형태의 쌍 4원수라는 것을 주목했다. 쌍 4원수의 대수학은 나선 변위(kinematics의 일반적인 매핑)를 표현하는 데 사용된다.
철학
철학자로서 Clifford의 이름은 주로 자신이 만든 두 구절인 mind-stuff과 tribal self과 관련이 있다. 전자는 그의 형이상학적 개념을 상징하며, 이는 Baruch Spinoza의 저작 읽음으로부터 그에게 시사된 것으로, Clifford 1878년에 다음과 같이 정의했다:
우리가 보아온 바와 같이, 가장 단순한 감정도 복잡한 것의 구성 요소인 그 요소를 나는 Mind-stuff이라고 부를 것이다. 무기 물질의 움직이는 분자는 마음이나 의식을 소유하지 않지만, 마음-stuff의 작은 부분을 소유한다. 분자들이 해파리의 밑면의 막을 형성하도록 결합할 때, 그것들과 함께 가는 마음-stuff의 요소들은 감각의 희미한 시작을 형성하도록 결합된다. 분자들이 척추동물의 뇌와 신경계를 형성하도록 결합할 때, 대응하는 마음-stuff의 요소들은 어떤 종류의 의식을 형성하도록 결합된다; 즉, 동시에 일어나는 복잡한 것의 변화들이 하나의 반복이 다른 것의 반복을 함축하도록 함께 연결된다. 물질이 살아있는 인간의 뇌의 복잡한 형태를 취할 때, 대응하는 마음-stuff은 지능과 의지를 가진 인간의 의식의 형태를 취한다.
Clifford의 개념에 대해 Sir Frederick Pollock은 다음과 같이 썼다:
간단히 말해, 이 개념은 마음이 유일한 궁극적 현실이라는 것이다; 의식적 감정과 사고의 복잡한 형태로서의 마음이 아니라, 사고와 감정이 구축되는 더 단순한 요소들이다. 가설적 마음의 궁극적 요소, 또는 마음-stuff의 원자는 정확히 물질의 가설적 원자에 대응하며, 물질 원자가 그 현상인 궁극적 사실이다. 물질과 감각적 우주는 특정 유기체들(즉, 의식으로 조직된 마음)과 세계의 나머지 부분 사이의 관계이다. 이는 느슨하고 대중적인 의미로 유물주의라고 불릴 수 있는 결과로 이어진다. 하지만 이 이론은 형이상학적 이론으로서 이상주의 측에 포함되어야 한다. 기술적으로 말하자면, 그것은 이상주의적 일원론이다.
반면 Tribal self는 Clifford의 윤리적 견해의 열쇠를 제공하며, 이는 양심과 도덕 법칙을 각 개인에서 발전된 '자기'로 설명하는데, 이는 '부족'의 복지에 도움이 되는 행동을 규정한다. Clifford의 상당한 동시대 저명성의 많은 부분은 종교에 대한 그의 태도 때문이었다. 그의 진리 개념에 대한 강렬한 사랑과 공공 의무에 대한 헌신으로 움직여진, 그는 그에게 난독증을 선호하는 것처럼 보이고 교파의 주장을 인류 사회의 주장 위에 놓는 교회 체제에 대항해 전쟁을 벌였다. 신학이 여전히 다윈주의와 화해하지 못했기 때문에 경보가 더 컸으며; Clifford은 현대 과학에 귀속된 반정신적 경향의 위험한 옹호자로 간주되었다. 또한 Clifford의 '동반성' 또는 '심신 평행론' 교설이 John Hughlings Jackson의 신경계 모델에 영향을 미친 정도와 그를 통해 Janet, Freud, Ribot 및 Ey의 업적에 영향을 미쳤는지에 대한 논쟁도 있었다.
윤리학
그의 1877년 에세이 "The Ethics of Belief"에서 Clifford는 증거가 부족한 것들을 믿는 것이 부도덕하다고 주장한다. 그는 승객으로 가득 찬 낡고 튼튼하지 못한 배를 항해하려고 계획한 선박 소유자를 설명한다. 선박 소유자는 배가 항해 가능하지 않을 수 있다는 의심을 받았다: "이러한 의심들이 그의 마음을 짓눌렀고 그를 불행하게 했다." 그는 비용이 들지만 배를 다시 정비하도록 고려했다. 마지막으로, "그는 이러한 우울한 반성들을 극복하는 데 성공했다." 그는 배가 출항하는 것을 봤으며, "밝은 마음으로... 그리고 그는 배가 대양 한가운데 침몰했을 때 보험금을 받았고 아무도 말하지 않았다."
Clifford는 선박 소유자가 실제로 배가 견고하다고 진심으로 믿었음에도 불구하고 승객들의 죽음에 대해 유죄라고 주장한다: "그는 자신 앞에 있는 그러한 증거를 바탕으로 믿을 권리가 없었다." 더욱이, 그는 배가 성공적으로 목적지에 도착한 경우에도 결정이 부도덕하게 남아 있다고 주장하는데, 왜냐하면 선택의 도덕성은 선택이 이루어지면 영원히 정의되기 때문이고, 맹목적 우연으로 정의된 실제 결과는 중요하지 않기 때문이다. 선박 소유자는 덜 유죄가 될 수 없을 것이다: 그의 잘못은 절대 발견되지 않겠지만, 그는 여전히 그 당시 자신에게 이용 가능한 정보를 고려하여 그러한 결정을 할 권리가 없었다.
Clifford는 유명하게 결론 지었다: "부족한 증거에 근거하여 무언가를 믿는 것은 항상, 어디에서나, 그리고 누구든지 항상 잘못된 것이다."
따라서 그는 '맹목적 신앙', 즉 증거의 부족에도 불구하고 것들에 대한 믿음이 미덕이었던 종교 사상가들과 직접 대립하여 주장하고 있다. 이 논문은 그의 "Will to Believe" 강의에서 실용주의 철학자 William James에 의해 유명하게 공격받았다. 종종 이 두 저작은 증거주의, 신앙 및 과신에 대한 논쟁의 기준으로 함께 읽히고 출판된다.
상대성의 전조
Clifford은 시공간과 상대성의 완전한 이론을 구성하지는 않았지만, 그가 인쇄물에서 한 몇 가지 놀라운 관찰이 이러한 현대적 개념을 예고했다: 그의 저서 Elements of Dynamic 1878에서, 그는 "쌍곡선의 준조화 운동"을 소개했다. 그는 매개변수화된 단위 쌍곡선에 대한 표현을 썼는데, 다른 저자들은 나중에 이를 상대론적 속도의 모델로 사용했다. 다른 곳에서 그는 다음과 같이 말했다:
이 구절은 쌍4원수에 대한 언급을 하지만, Clifford은 이들을 자신의 독립적인 발전으로서 분할-쌍4원수로 만들었다. 책은 "On the bending of space" 장으로 계속되며, 이는 일반 상대성의 실질이다. Clifford은 또한 1876년 On the Space-Theory of Matter에서 자신의 견해를 논의했다.
1910년에 William Barrett Frankland는 평행주의에 대한 책에서 Space-Theory of Matter를 인용했다: "이 추측의 대담함은 확실히 사상의 역사에서 비할 수 없다. 현재까지, 그러나 그것은 Icarian 비행의 모습을 제시한다." 나중에 Albert Einstein이 일반 상대성을 발전시킨 후, 여러 저자들은 Clifford이 Einstein을 예상했다고 지적했다. 예를 들어 Hermann Weyl 1923은 Bernhard Riemann과 같이 상대성의 기하학적 아이디어를 예상한 사람 중 하나로 Clifford을 언급했다.
1940년에 Eric Temple Bell은 상대성에 대한 Clifford의 예지
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