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Omar Khayyamはペルシャの数学者、天文学者、哲学者、詩人でした。彼はイランの北東部のNishabur に生まれ、第1回十字軍の時期にKarakhanidおよびSeljuq支配者の宮廷近くで人生のほとんどを過ごしました。

数学者として、彼は最も注目すべき業績は3次方程式の分類と解法に関する仕事であり、円錐曲線の交差による幾何学的解法を提供しました。Khayyamはまた平行線公準の理解に貢献しました。天文学者として、彼は非常に正確な33年の閏年周期を持つ太陽暦であるJalali暦を設計しました。

Omar Khayyamに詩を帰属させる伝統があり、それは四行詩の形式で書かれています。この詩はEdward FitzGerald による翻訳（Rubaiyat of Omar Khayyam、1859年）を通じて英語を読む世界に広く知られるようになり、19世紀末のOrientalismで大成功を収めました。

生涯

Omar Khayyamは1048年にNishapur に生まれました。Nishapur は中世時代のKhorasan の主要な大都市で、11世紀のSeljuq朝の下で繁栄の絶頂に達しました。Nishapur はZoroastrian宗教の主要な中心地でもあり、Khayyamの父はイスラム教に改宗したZoroastrianであった可能性があります。アラビア語の資料に見られる彼の完全な名前はAbu'l Fath Omar ibn Ibrahim al-Khayyamでした。中世ペルシャのテキストでは、彼は通常、単にOmar Khayyamと呼ばれています。疑わしいとされていますが、Khayyamはアラビア語で天幕製造者を意味するため、彼の先祖は天幕製造業の商売に従事していたと仮定されることが多くあります。Omar に個人的に面識があった歴史家Bayhaqi は、彼のホロスコープの詳細全体を提供しています。「彼はGeminiであり、太陽と水星が上昇点にあった。これは現代の学者によって彼の生年月日を1048年5月18日と確定するために使用されました。

彼の少年時代はNishapur で過ごされました。彼の才能は、彼をKhorasan地域の最大の教師であるImam Muwaffaq Nishaburi の下で学ぶために送った彼の初期の家庭教師によって認識されました。彼は最高貴族の子女を教えていました。Khayyam はまたZoroastrian改宗者の数学者Abu Hassan Bahmanyar bin Marzbamによって教えられました。Nishapur でScience、Philosophy、Mathematics、Astronomyを学んだ後、約1068年に彼はBukhara州に旅行し、Arkの有名な図書館に出入りしました。約1070年に彼はSamarkand に移り、そこでその都市の知事兼最高裁判官であるAbu Tahir Abd al-Rahman ibn ʿAlaq の後援の下で、代数に関する彼の有名な論文の作成を開始しました。Omar Khayyam はKarakhanid支配者Shams al-Mulk Nasr に親切に迎え入れられ、Bayhaqi によれば、「彼に最大の栄誉を示すであろう、彼を彼の玉座のそばに座らせるほどまで」。

1073-4年にSultan Malik-Shah I との平和が結論づけられました。彼はKarakhanid領土に侵略を行っていました。Khayyam は1074-5年にMalik-Shah のサービスに入りました。彼はGrand Vizier Nizam al-Mulk によってMaarv の街でMalik-Shah に会うために招待されました。その後、Khayyam はIsfahanに天文台を設立し、ペルシャ暦の改定を目的とした正確な天文観測を実施するために科学者のグループを主導するよう委任されました。その事業は1076年頃に始まり、1079年に終わりました。Omar Khayyam と彼の同僚は年の長さの測定を結論づけ、それを14桁の有効数字で驚くべき精度で報告しました。

Malik-Shah と彼の宰相の死後（おそらくIsmailiのAssassins秘密結社によって殺害された）、Omar は宮廷での好意から転落し、その結果、彼はすぐにメッカへの巡礼に出かけました。Al-Qiftiによって報告された彼の巡礼の可能な裏の動機は、彼の信仰の公開的な実証であり、懐疑主義の疑いを緩和し、非正統性（ZoroastrianismへのSympathy の可能性を含む）の告発を論じるためであったと思われます。敵対的な聖職者によって彼に向けられた。その後、彼は新しいSultan Sanjar によってMaarv に招待され、おそらく宮廷の占星術師として働くためでした。後に、健康の低下のため、彼はNishapur に戻ることが許可されました。彼の帰りにおいて、彼は隠者の生活を送っていたようです。

Omar Khayyam は1131年12月4日に、彼の故郷Nishapur で83歳で死亡し、彼はOmar Khayyam Mausoleumとなっている場所に埋葬されています。彼の弟子の一人であるNizami Aruzi は、1112-3年の間のある時期に、Khayyam がBalkh でJalali暦に関して彼と協力していた科学者の一人であるAl-Isfizari の会社にいたとき、彼が「私の墓は北風がその上に薔薇を散らすことがあるかもしれない場所にあるであろう」という預言をしたという話を述べています。彼の死後4年、Aruzi は彼の墓をNishapur の当時大きく、良く知られた地区にある墓地に位置し、Maarv への道路上にあった彼の墓を特定しました。Khayyam によって予見された通りに、Aruzi は梨の木と桃の木が彼らの頭を突き出し、彼らの花を落とした庭の壁の麓に位置した墓を見つけました。彼の墓石はそれらの下に隠れていました。

数学

Khayyam は数学者として彼の人生の間に有名でした。彼の現存する数学的な作品は以下を含みます：Euclid の Elements の公準に関する困難についての解説（Risāla fī šarḥ mā aškala min muṣādarāt kitāb Uqlīdis、1077年12月に完成）、円の四分円の除算について（Risālah fī qismah rub' al-dā'irah、日付不詳ですが代数に関する論文の前に完成）、代数に関する問題の証明について（Maqāla fi l-jabr wa l-muqābala、ほぼ1079年に完成）。さらに、彼は二項定理の抽出と自然数のn乗根に関する論文を執筆しましたが、これは失われています。

平行線理論

Khayyam の Euclid の Elements に関する解説の一部は平行線公準に関するものです。Khayyam の論文は、petitio principii に基づかない、より直感的な公準に基づいて、公準のための公準の最初の扱いと見なすことができます。Khayyam はAristotleの見解に基づいて、他の数学者による以前の試みを拒否しました。主に各試みが第5の公準そのもの以上に認めやすいものを公準していたという理由で。Aristotle の見を引き出し、彼は幾何学における運動の使用を拒否し、したがってAl-Haytham による異なる試みを却下します。Euclid の声明を他の公準から証明することに失敗した数学者に不満を持って、Omar は公準と、すべての直角は相互に等しいと述べている第4公準を接続しようとしました。

Khayyam は、Khayyam-Saccheri四辺形の頂点角の鋭角、钝角、直角の3つのケースを考慮する最初の者でした。3つのケースは網羅的で、対で相互に排他的です。彼らに関するいくつかの定理を証明した後、彼は公準Vが直角仮説の結果であることを証明し、obtuse と acute のケースを自己矛盾として拒否しました。Khayyam の平行線公準を証明するための精巧な試みは、非ユークリッド幾何学の可能性を明確に示しているため、幾何学のさらなる発展に重要でした。acute、obtuse、直角の仮説は、Gauss-Bolyai-Lobachevsky の非ユークリッド双曲線幾何学、Riemannian幾何学、Euclidean幾何学にそれぞれつながるものとして知られています。

Tusi のKhayyam の平行線の扱いに関するコメンタリーはヨーロッパへの道を進みました。Oxford の幾何学教授であるJohn Wallis はTusi のコメンタリーをラテン語に翻訳しました。Jesuit幾何学者Girolamo Saccheri は、その作品（euclides ab omni naevo vindicatus、1733年）は一般的に非ユークリッド幾何学の最終的な発展における最初のステップと考えられており、Wallis の作業に精通していました。アメリカの数学史家David Eugene Smith は、Saccheri が「Tusi の同じ補題を使用し、図を正確に同じ方法で文字を記入し、同じ目的のために補題を使用した」と述べています。彼はさらに「Tusi は明確にそれがOmar Khayyam に由来することを述べており、テキストから、後者が彼の源泉であったことが明らかなようである」と言います。

実数の概念

Euclid に関するこの論文は、比率の理論と比率の複合に関する別の貢献を含んでいます。Khayyam は比率の概念と数の概念の関係について議論し、明示的にさまざまな理論的困難を提起します。特に、彼は無理数の概念の理論的研究に貢献しています。Euclid の等号比率の定義に不満を持って、彼は連分数を使用することによって数の概念を再定義し、比率を表現する手段として使用しました。Rosenfeld とYouschkevitch（1973年）は、「無理量と数を同じ操作スケールに配置することによって、[Khayyam]は数の教義における真の革命を開始した」と主張しています。同様に、D. J. Struik によって、Omar が「実数の概念につながる数の概念の拡張への道上」にあったことが指摘されました。

幾何学的代数

Rashed とVahabzadeh（2000年）は、代数方程式に対する彼の徹底的な幾何学的アプローチのため、Khayyam はDescartes による解析幾何学の発明の先駆者と見なすことができると主張しています。「円の四分円の除算に関する論文」では、Khayyam は幾何学に代数を適用しました。この作品では、彼は主に、円形の四分円を2つの部分に分割して、除算点から円の垂直直径に投影された線分が特定の比率を形成するかどうかを調査することに専心しました。彼の解決策は、3次項と2次項を含む方程式につながるいくつかの曲線構成を使用しました。

3次方程式の解

Khayyam は、3次方程式の一般理論を考案する最初の者であり、正の根に限定して3次方程式のすべてのタイプを幾何学的に解く最初の者であったようです。代数に関する論文は、3次方程式に関する彼の仕事を含んでいます。それは3つの部分に分かれています：（i）コンパスと直定規で解くことができる方程式、（ii）円錐曲線によって解くことができる方程式、（iii）未知のの逆を含む方程式。

Khayyam は、線、正方形、立方体を含むすべての可能な方程式の網羅的なリストを作成しました。彼は3つの二項方程式、9つの三項方程式、および7つの四項方程式を考慮しました。1次および2次多項式の場合、彼は幾何学的な構成による数値解を提供しました。彼は、より低い次数の方程式に還元できない14の異なるタイプの3次があることを結論づけました。これらについては、彼はコンパスと直定規で自分の未知のセグメントの構成を達成することができませんでした。彼は円錐曲線の特性を使用して、すべてのタイプの3次方程式に幾何学的解を提示することに進みました。Khayyam の幾何学的証明の前提となる補題には、Euclid VI、Prop 13、およびApollonius II、Prop が含まれます。3次方程式の正の根は、2つの円錐曲線の交差点の点の横軸として決定されました。たとえば、2つの放物線の交差、または放物線と円の交差など。ただし、彼はこれらの3次の算術の問題はまだ解決されていないことを認めており、「おそらく誰か他の者が私たちの後でそれを知るようになるであろう」と付け加えました。このタスクは16世紀まで開かれたままでした。Renaissance Italy の Cardano、Del Ferro、および Tartaglia によって3次方程式の代数的解法が一般的に見つかりました。

実質的に、Khayyam の仕事は代数と幾何学を統一するための努力です。3次方程式のこの特定の幾何学的解は、M. Hachtroudi によってさらに調査され、4次方程式の解法に拡張されました。Menaechmus 以来、同様の方法が散発的に現れ、10世紀の数学者Abu al-Jud によってさらに発展したものの、Khayyam の仕事は3次方程式を解く最初の体系的な研究と最初の正確な方法と見なすことができます。数学者Woepcke（1851年）は、Khayyam の代数のフランス語への翻訳を提供し、彼の「一般化の力と厳密に体系的な手順」を賞賛しました。

二項定理と根の抽出

彼の代数論文で、Khayyam は、彼が n 乗根の抽出に関して執筆した本に言及しています。ここで n は正の整数です。2乗の場合はEuclid の要素に明確に述べられており、最大3乗の場合はインド の数学者によって確立されています。Khayyam は、一般的な二項定理の重要性に気付いた数学者でした。Khayyam が一般的な二項定理を持っていたという主張をサポートする議論は、根を抽出する彼の能力に基づいています。Khayyam の前任者の一人であるAl-Karaji は、すでに二項展開の係数の三角形配列を発見していました。ヨーロッパ人はその後、Pascal の三角形として知るようになります。Khayyam はイランでこの三角形配列を普及させたため、それは現在Omar Khayyam の三角形として知られています。

天文学

1074-5年に、Omar Khayyam はSultan Malik-Shah によってIsfahanに天文台を建設し、ペルシャ暦を改革するよう委任されました。Khayyam の指導下で8人の学者のパネルが働いており、大規模な天文観測を行い、天文学的な改革を行いました。