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Omar Khayyam era un matematico, astronomo, filosofo e poeta persiano. Nacque a Nishapur, nel nordest dell'Iran, e trascorse la maggior parte della sua vita presso la corte dei governanti Karakhanidi e Selgiuchidi nel periodo che vide la Prima Crociata.

Come matematico, è particolarmente noto per il suo lavoro sulla classificazione e la soluzione delle equazioni cubiche, per le quali fornì soluzioni geometriche mediante l'intersezione di coniche. Khayyam contribuì anche alla comprensione dell'assioma del parallelo. Come astronomo, progettò il calendario Jalali, un calendario solare con un ciclo di intercalazione molto preciso di 33 anni.

Esiste una tradizione di attribuzione di poesia a Omar Khayyam, scritta sotto forma di quartine. Questa poesia divenne ampiamente conosciuta nel mondo anglofono attraverso una traduzione di Edward FitzGerald (Rubaiyat di Omar Khayyam, 1859), che ebbe grande successo nell'Orientalismo della fine del secolo.

Vita

Omar Khayyam nacque nel 1048 a Nishapur, una metropoli importante nel Khorasan durante il Medioevo che raggiunse il suo apogeo di prosperità nell'undicesimo secolo sotto la dinastia Selgiuchide. Nishapur era anche un importante centro della religione zoroastriana, ed è probabile che il padre di Khayyam fosse uno zoroastriano convertito all'Islam. Il suo nome completo, come appare nelle fonti arabe, era Abu'l Fath Omar ibn Ibrahim al-Khayyam. Nei testi persiani medievali è solitamente chiamato semplicemente Omar Khayyam. Sebbene sia discutibile, si è spesso assunto che i suoi antenati seguissero il mestiere della fabbricazione di tende, poiché Khayyam significa costruttore di tende in arabo. Lo storico Bayhaqi, che conosceva personalmente Omar, fornisce i dettagli completi del suo oroscopo: "era Gemelli, con il sole e Mercurio in ascendente. Questo è stato utilizzato da studiosi moderni per stabilire la sua data di nascita come 18 maggio 1048.

La sua infanzia fu trascorsa a Nishapur. I suoi talenti furono riconosciuti dai suoi primi tutori che lo mandarono a studiare sotto Imam Muwaffaq Nishaburi, il più grande insegnante della regione del Khorasan che ha educato i figli della più alta nobiltà. Khayyam è stato anche insegnato dal matematico convertito zoroastriano, Abu Hassan Bahmanyar bin Marzban. Dopo aver studiato scienza, filosofia, matematica e astronomia a Nishapur, intorno al 1068 viaggiò nella provincia di Bukhara, dove frequentò la rinomata biblioteca dell'Arca. Intorno al 1070 si trasferì a Samarcanda, dove iniziò a comporre il suo famoso trattato sull'algebra sotto il patrocinio di Abu Tahir Abd al-Rahman ibn ʿAlaq, il governatore e capo giudice della città. Omar Khayyam fu gentilmente ricevuto dal sovrano Karakhanide Shams al-Mulk Nasr, che secondo Bayhaqi, "gli avrebbe mostrato il più grande onore, tanto che lo avrebbe fatto sedere accanto a lui sul suo trono".

Nel 1073–4 fu conclusa la pace con il Sultano Malik-Shah I che aveva fatto incursioni nei domini Karakhanidi. Khayyam entrò al servizio di Malik-Shah nel 1074–5 quando fu invitato dal Gran Visir Nizam al-Mulk ad incontrare Malik-Shah nella città di Marv. Khayyam fu successivamente incaricato di allestire un osservatorio a Isfahan e guidare un gruppo di scienziati nel condurre precise osservazioni astronomiche mirate alla revisione del calendario persiano. L'impresa iniziò probabilmente nel 1076 e terminò nel 1079 quando Omar Khayyam e i suoi colleghi conclusero le loro misurazioni della lunghezza dell'anno, segnalando il risultato con 14 cifre significative con una precisione sorprendente.

Dopo la morte di Malik-Shah e del suo visir (assassinato, si pensa, dall'ordine ismaelita degli Assassini), Omar cadde in disgrazia a corte, e di conseguenza, presto intraprese il suo pellegrinaggio alla Mecca. Un possibile movente occulto per il suo pellegrinaggio riportato da Al-Qifti era una pubblica dimostrazione della sua fede al fine di allentare i sospetti di scetticismo e confutare le accuse di eterodossia (inclusa possibile simpatia allo zoroastrismo) rivoltegli da un clero ostile. Fu poi invitato dal nuovo Sultano Sanjar a Marv, possibilmente per lavorare come astrologo di corte. Gli fu successivamente permesso di tornare a Nishapur a causa del suo declino di salute. Al suo ritorno, sembra che abbia condotto la vita di un recluso.

Omar Khayyam morì all'età di 83 anni nella sua città natale di Nishapur il 4 dicembre 1131, ed è sepolto in quello che è ora il Mausoleo di Omar Khayyam. Uno dei suoi discepoli Nizami Aruzi racconta la storia che in qualche momento durante il 1112–3 Khayyam era a Balkh in compagnia di Al-Isfizari (uno degli scienziati che aveva collaborato con lui sul calendario Jalali) quando fece una profezia che "la mia tomba sarà in un luogo dove il vento del nord potrà spargere rose su di essa". Quattro anni dopo la sua morte, Aruzi localizzò la sua tomba in un cimitero in un quartiere allora grande e ben noto di Nishapur sulla strada per Marv. Come era stato previsto da Khayyam, Aruzi trovò la tomba situata ai piedi di un muro di giardino sopra il quale alberi di pere e alberi di pesche avevano spinto le loro teste e gettato i loro fiori in modo che la sua lapide fosse nascosta sotto di loro.

Matematica

Khayyam era famoso durante la sua vita come matematico. Le sue opere matematiche sopravvissute includono: Un commento alle difficoltà riguardanti i postulati degli Elementi di Euclide (Risāla fī šarḥ mā aškala min muṣādarāt kitāb Uqlīdis, completato nel dicembre 1077), Sulla divisione di un quadrante di un cerchio (Risālah fī qismah rub' al-dā'irah, senza data ma completato prima del trattato sull'algebra), e Sulle prove per i problemi riguardanti l'Algebra (Maqāla fi l-jabr wa l-muqābala, molto probabilmente completato nel 1079. Ha inoltre scritto un trattato sull'estrazione del teorema binomiale e dell'n-esima radice dei numeri naturali, che è andato perduto.

Teoria dei paralleli

Una parte del commento di Khayyam agli Elementi di Euclide affronta l'assioma del parallelo. Il trattato di Khayyam può essere considerato il primo trattamento dell'assioma non basato su petitio principii, ma su un postulato più intuitivo. Khayyam confuta i precedenti tentativi di altri matematici di provare la proposizione, principalmente sul fondamento che ognuno di loro aveva postulato qualcosa che non era affatto più facile da ammettere del Quinto Postulato stesso. Attingendo alle opinioni di Aristotele, rifiuta l'uso del movimento in geometria e quindi respinge il diverso tentativo di Al-Haytham. Insoddisfatto dal fallimento dei matematici di provare l'affermazione di Euclide dai suoi altri postulati, Omar tentò di collegare l'assioma al Quarto Postulato, che afferma che tutti gli angoli retti sono uguali l'uno all'altro.

Khayyam fu il primo a considerare i tre casi di angolo acuto, ottuso e retto per gli angoli al vertice di un quadrilatero di Khayyam-Saccheri, tre casi che sono esaustivi e mutuamente esclusivi. Dopo aver provato una serie di teoremi su di essi, ha provato che il Postulato V è una conseguenza dell'ipotesi dell'angolo retto, e ha confutato i casi ottuso e acuto come auto-contraddittori. L'elaborato tentativo di Khayyam di provare il postulato del parallelo fu significativo per l'ulteriore sviluppo della geometria, poiché mostra chiaramente la possibilità di geometrie non euclidee. Le ipotesi dell'angolo acuto, dell'angolo ottuso e dell'angolo retto sono ora note per portare rispettivamente alla geometria iperbolica non euclidea di Gauss-Bolyai-Lobachevsky, a quella della geometria riemanniana, e alla geometria euclidea.

I commenti di Tusi sul trattamento dei paralleli di Khayyam si fecero strada in Europa. John Wallis, professore di geometria a Oxford, tradusse il commento di Tusi in latino. Il geometra gesuita Girolamo Saccheri, il cui lavoro (euclides ab omni naevo vindicatus, 1733) è generalmente considerato come il primo passo nello sviluppo eventuale della geometria non euclidea, era familiare con il lavoro di Wallis. Lo storico americano della matematica, David Eugene Smith, menziona che Saccheri "usò lo stesso lemma di quello di Tusi, persino etichettando la figura nel modo esattamente uguale e usando il lemma per lo stesso scopo". Inoltre dice che "Tusi afferma chiaramente che è dovuto a Omar Khayyam, e dal testo, sembra chiaro che quest'ultimo fu la sua ispirazione."

Il concetto di numero reale

Questo trattato su Euclide contiene un altro contributo che affronta la teoria delle proporzioni e la composizione dei rapporti. Khayyam discute la relazione tra il concetto di rapporto e il concetto di numero e solleva esplicitamente varie difficoltà teoriche. In particolare, contribuisce allo studio teorico del concetto di numero irrazionale. Scontento della definizione di Euclide dei rapporti uguali, ha ridefinito il concetto di numero mediante l'uso di una frazione continua come mezzo di espressione di un rapporto. Rosenfeld e Youschkevitch (1973) sostengono che "collocando le quantità irrazionali e i numeri sulla stessa scala operativa, [Khayyam] ha iniziato una vera rivoluzione nella dottrina del numero." Allo stesso modo, è stato osservato da D. J. Struik che Omar era "sulla strada verso quella estensione del concetto di numero che conduce alla nozione del numero reale."

Algebra geometrica

Rashed e Vahabzadeh (2000) hanno sostenuto che a causa del suo approccio geometrico completo alle equazioni algebriche, Khayyam può essere considerato il precursore di Descartes nell'invenzione della geometria analitica. Nel Trattato sulla Divisione di un Quadrante di un Cerchio, Khayyam ha applicato l'algebra alla geometria. In questo lavoro, si è dedicato principalmente a investigare se è possibile dividere un quadrante circolare in due parti in modo tale che i segmenti di linea proiettati dal punto di divisione ai diametri perpendicolari del cerchio formino un rapporto specifico. La sua soluzione, a sua volta, ha impiegato diverse costruzioni di curve che hanno portato a equazioni contenenti termini cubici e quadratici.

La soluzione delle equazioni cubiche

Khayyam sembra essere stato il primo a concepire una teoria generale delle equazioni cubiche e il primo a risolvere geometricamente ogni tipo di equazione cubica, per quanto riguarda le radici positive. Il trattato sull'algebra contiene il suo lavoro sulle equazioni cubiche. È diviso in tre parti: (i) equazioni che possono essere risolte con compasso e riga, (ii) equazioni che possono essere risolte mediante sezioni coniche, e (iii) equazioni che coinvolgono l'inverso dell'incognita.

Khayyam ha prodotto un elenco esaustivo di tutte le possibili equazioni che coinvolgono linee, quadrati e cubi. Ha considerato tre equazioni binomiali, nove equazioni trinomiali e sette equazioni tetranomiali. Per i polinomi di primo e secondo grado, ha fornito soluzioni numeriche mediante costruzione geometrica. Ha concluso che ci sono quattordici diversi tipi di cubiche che non possono essere ridotte a un'equazione di grado inferiore. Per questi non poteva realizzare la costruzione del suo segmento sconosciuto con compasso e riga. Ha proceduto a presentare soluzioni geometriche a tutti i tipi di equazioni cubiche utilizzando le proprietà delle sezioni coniche. I lemmi prerequisiti per la prova geometrica di Khayyam includono Euclide VI, Prop 13, e Apollonio II, Prop. La radice positiva di un'equazione cubica è stata determinata come l'ascissa di un punto di intersezione di due coniche, ad esempio, l'intersezione di due parabole, o l'intersezione di una parabola e un cerchio, ecc. Tuttavia, ha riconosciuto che il problema aritmetico di questi cubiche era ancora irrisolto, aggiungendo che "forse qualcun altro verrà a conoscerlo dopo di noi". Questo compito rimase aperto fino al sedicesimo secolo, quando la soluzione algebrica dell'equazione cubica fu trovata nella sua generalità da Cardano, Del Ferro e Tartaglia nell'Italia del Rinascimento.

In effetti, il lavoro di Khayyam è uno sforzo per unificare algebra e geometria. Questa particolare soluzione geometrica delle equazioni cubiche è stata ulteriormente investigata da M. Hachtroudi ed estesa alla risoluzione di equazioni di quarto grado. Sebbene metodi simili fossero comparsi sporadicamente da Menaechmus e ulteriormente sviluppati dal matematico del X secolo Abu al-Jud, il lavoro di Khayyam può essere considerato il primo studio sistematico e il primo metodo esatto di risoluzione delle equazioni cubiche. Il matematico Woepcke (1851) che ha offerto traduzioni dell'algebra di Khayyam in francese lo ha elogiato per la sua "potenza di generalizzazione e la sua procedura rigorosamente sistematica."

Teorema binomiale ed estrazione di radici

Nel suo trattato algebrico, Khayyam allude a un libro che aveva scritto sull'estrazione dell'n-esima radice, dove n è un intero positivo. Il caso della potenza 2 è esplicitamente esposto negli elementi di Euclide e il caso di al massimo la potenza 3 era stato stabilito dai matematici indiani. Khayyam era il matematico che notò l'importanza di un teorema binomiale generale. L'argomento che sostiene l'affermazione che Khayyam aveva un teorema binomiale generale si basa sulla sua capacità di estrarre radici. Uno dei predecessori di Khayyam, Al-Karaji, aveva già scoperto l'arrangiamento triangolare dei coefficienti delle espansioni binomiali che gli europei in seguito venne a conoscere come triangolo di Pascal; Khayyam ha reso popolare questo array triangolare in Iran, così che è ora noto come triangolo di Omar Khayyam.

Astronomia

Nel 1074–5, Omar Khayyam fu incaricato dal Sultano Malik-Shah di costruire un osservatorio a Isfahan e riformare il calendario persiano. C'era un pannello di otto studiosi che lavoravano sotto la direzione di Khayyam per effettuare osservazioni astronomiche su larga scala e rivedere l'astro