Laddove la Natura non ammette più di tre dimensioni ... può sembrare giustamente molto improprio parlare di un solido ... trascinato in una quarta, quinta, sesta, o ulteriore dimensione.
John Wallis era un clergyman e matematico inglese a cui viene attribuito il merito parziale dello sviluppo del calcolo infinitesimale. Tra il 1643 e il 1689 ha servito come crittografo capo per il Parlamento e, successivamente, per la corte reale. Gli è attribuito l'introduzione del simbolo ∞ per rappresentare il concetto di infinito. Allo stesso modo ha usato 1/∞ per un infinitesimale. John Wallis era un contemporaneo di Newton e uno dei più grandi intellettuali del primo rinascimento della matematica.
Vita
John Wallis è nato ad Ashford, nel Kent. Era il terzo di cinque figli del Reverendo John Wallis e Joanna Chapman. È stato inizialmente educato in una scuola ad Ashford ma si è trasferito alla scuola di James Movat a Tenterden nel 1625 a seguito di un'epidemia di peste. Wallis è stato esposto per la prima volta alla matematica nel 1631, alla scuola di Felsted, allora conosciuta come scuola di Martin Holbeach a Felsted; gli piaceva la matematica, ma il suo studio era irregolare, poiché "la matematica, in quel momento da noi, era scarsamente considerata come studi accademici, ma piuttosto meccanici" Scriba 1970. Alla scuola di Felsted, Wallis ha imparato a parlare e scrivere il latino. A questo punto, era anche competente in francese, greco ed ebraico. Poiché era previsto che diventasse medico, è stato inviato nel 1632 a Emmanuel College, Cambridge. Mentre era lì, ha tenuto un'azione sulla dottrina della circolazione del sangue; si diceva fosse la prima occasione in Europa in cui questa teoria fosse stata pubblicamente sostenuta in una disputa. I suoi interessi, tuttavia, erano incentrati sulla matematica. Ha ricevuto il diploma di Baccelliere in Arti nel 1637 e un Master nel 1640, dopo essere entrato nel sacerdozio. Dal 1643 al 1649, ha servito come scrivano senza diritto di voto all'Assemblea di Westminster. È stato eletto membro della Queens' College, Cambridge nel 1644, dalla quale ha dovuto dimettersi in seguito al suo matrimonio.
Durante questo periodo, Wallis era stato vicino al partito parlamentare, forse come risultato della sua esposizione a Holbeach alla scuola di Felsted. Ha fornito loro un grande aiuto pratico nel decifrare i dispacci dei Realisti. La qualità della crittografia in quel momento era mista; nonostante i successi individuali di matematici come François Viète, i principi alla base del design e dell'analisi dei codici erano molto mal compresi. La maggior parte dei codici erano metodi ad hoc che si basavano su un algoritmo segreto, anziché su sistemi basati su una chiave variabile. Wallis ha compreso che questi ultimi erano molto più sicuri – persino descrivendoli come "ininfrangibili", anche se non era abbastanza sicuro di questa affermazione per incoraggiare la rivelazione degli algoritmi crittografici. Era anche preoccupato per l'uso di codici da parte di potenze straniere, rifiutando, ad esempio, la richiesta di Gottfried Leibniz del 1697 di insegnare la crittografia agli studenti di Hannover.
Tornando a Londra – era stato nominato cappellano a St Gabriel Fenchurch nel 1643 – Wallis si è unito al gruppo di scienziati che in seguito avrebbe evoluto nella Royal Society. Finalmente è stato in grado di soddisfare i suoi interessi matematici, padroneggiando il Clavis Mathematicae di William Oughtred in poche settimane nel 1647. Presto ha iniziato a scrivere i suoi propri trattati, affrontando una vasta gamma di argomenti, che ha continuato per il resto della sua vita. Wallis ha scritto il primo sondaggio sui concetti matematici in Inghilterra dove ha discusso il sistema indù-arabo.
Wallis si è unito ai Presbiteriani moderati nel firmare la protesta contro l'esecuzione di Carlo I, per il quale ha subito l'ostilità duratura degli Indipendenti. Nonostante la loro opposizione, è stato nominato nel 1649 alla Cattedra Savilian di Geometria presso l'Università di Oxford, dove ha vissuto fino alla sua morte l'8 novembre 1703. Nel 1650, Wallis è stato ordinato come ministro. Successivamente, ha trascorso due anni con Sir Richard Darley e Lady Vere come cappellano privato. Nel 1661, era uno dei dodici rappresentanti presbiteriani alla Conferenza della Savoia.
Oltre ai suoi lavori matematici ha scritto di teologia, logica, grammatica inglese e filosofia, ed è stato coinvolto nella creazione di un sistema per insegnare a un ragazzo sordo a parlare a Littlecote House. William Holder aveva precedentemente insegnato a un uomo sordo, Alexander Popham, a parlare "chiaramente e distintamente, e con un tono buono e grazioso". Wallis in seguito ha rivendicato il merito di questo, portando Holder ad accusare Wallis di "saccheggiare i suoi Vicini e adornare se stesso con i loro bottini".
Nomina di Wallis come Professore Savilian di Geometria presso l'Università di Oxford
La visita parlamentare di Oxford che è iniziata nel 1647 ha rimosso molti accademici senior dalle loro posizioni, inclusi nel novembre 1648 i Professori Savilian di Geometria e Astronomia. Nel 1649 Wallis è stato nominato Professore Savilian di Geometria. Sembra che Wallis sia stato scelto in gran parte per motivi politici come forse era stato il suo predecessore Realista Peter Turner, che nonostante la sua nomina a due cattedre non ha mai pubblicato alcun lavoro matematico; mentre Wallis era forse il principale crittografo della nazione e faceva parte di un gruppo informale di scienziati che in seguito sarebbe diventato la Royal Society, non aveva una particolare reputazione come matematico. Tuttavia, la nomina di Wallis si è rivelata ampiamente giustificata dal suo lavoro successivo durante i 54 anni in cui ha servito come Professore Savilian.
Contributi alla matematica
Wallis ha dato contributi significativi alla trigonometria, al calcolo, alla geometria e all'analisi delle serie infinite. Nel suo Opera Mathematica I 1695 ha introdotto il termine "frazione continua".
Wallis ha respinto come assurda l'idea attualmente usuale di un numero negativo come qualcosa di minore di nulla, ma ha accettato il punto di vista che sia qualcosa di maggiore dell'infinito. L'argomento che i numeri negativi sono maggiori dell'infinito implica il quoziente 1 x e considerare cosa accade quando x si avvicina e poi attraversa il punto x = 0 dal lato positivo. Nonostante ciò, gli è generalmente attribuito il merito di essere l'originatore dell'idea della linea numerica, in cui i numeri sono rappresentati geometricamente in una linea con i numeri negativi rappresentati da lunghezze opposte in direzione alle lunghezze dei numeri positivi.
Geometria analitica
Nel 1655, Wallis ha pubblicato un trattato sulle sezioni coniche in cui erano definite analiticamente. Questo è stato il primo libro in cui queste curve sono considerate e definite come curve di secondo grado. Ha aiutato a rimuovere alcune della difficoltà e dell'oscurità percepita del lavoro di René Descartes sulla geometria analitica. Nel Trattato sulle Sezioni Coniche Wallis ha popularizzato il simbolo ∞ per l'infinito. Ha scritto: "Suppongo che qualsiasi piano seguendo la Geometria degli Indivisibili di Cavalieri sia fatto di un numero infinito di linee parallele, o come preferirei, di un numero infinito di parallelogrammi della stessa altezza; sia l'altezza di ciascuno di questi una parte infinitesimalmente piccola 1/∞ dell'altezza intera, e lasci che il simbolo ∞ denoti l'Infinito e l'altezza di tutto per costituire l'altezza della figura."
Calcolo integrale
Arithmetica Infinitorum, il più importante dei lavori di Wallis, è stato pubblicato nel 1656. In questo trattato i metodi di analisi di Descartes e Cavalieri sono stati sistematizzati ed estesi, ma alcune idee erano aperte a critiche. Ha iniziato, dopo un breve trattato sulle sezioni coniche, sviluppando la notazione standard per le potenze, estendendole da interi positivi a numeri razionali:
Tralasciando le numerose applicazioni algebriche di questa scoperta, ha quindi proceduto a trovare, mediante integrazione, l'area racchiusa tra la curva y = xm, l'asse x, e qualsiasi ordinata x = h, e ha provato che il rapporto di questa area a quella del parallelogramma sulla stessa base e della stessa altezza è 1/m + 1, estendendo la formula di quadratura di Cavalieri. Apparentemente ha assunto che lo stesso risultato sarebbe vero anche per la curva y = axm, dove a è una costante qualsiasi, e m un numero positivo o negativo, ma ha discusso solo il caso della parabola in cui m = 2 e l'iperbola in cui m = −1. In quest'ultimo caso, la sua interpretazione del risultato è scorretta. Ha quindi mostrato che risultati simili possono essere scritti per qualsiasi curva della forma
e quindi che, se l'ordinata y di una curva può essere espansa in potenze di x, la sua area può essere determinata: così dice che se l'equazione della curva è y = x + x1 + x2 + ..., la sua area sarebbe x + x2/2 + x3/3 + ... Ha quindi applicato questo alla quadratura delle curve y = x − x2, y = x − x21, y = x − x22, ecc., prese tra i limiti x = 0 e x = 1. Mostra che le aree sono, rispettivamente, 1, 1/6, 1/30, 1/140, ecc. Ha quindi considerato curve della forma y = x1/m e ha stabilito il teorema che l'area delimitata da questa curva e dalle linee x = 0 e x = 1 è uguale all'area del rettangolo sulla stessa base e della stessa altezza come m : m + 1. Ciò equivale a calcolare
Lo ha illustrato con la parabola, nel quale caso m = 2. Ha dichiarato, ma non ha provato, il risultato corrispondente per una curva della forma y = xp/q.
Wallis ha mostrato considerevole ingegno nel ridurre le equazioni delle curve alle forme date sopra, ma, poiché non era a conoscenza del teorema binomiale, non poteva effettuare la quadratura del cerchio, la cui equazione è y = 1 − x 2 potrebbe essere considerata come la media geometrica dei valori di
cioè, 1 e 2 3 dovrebbero essere scelti in modo da obbedire alla legge di questa serie. Questo, mediante un metodo elaborato che non è descritto qui in dettaglio, porta a un valore per il termine interpolato che è equivalente a prendere
che è ora noto come il prodotto di Wallis.
In questo lavoro è anche discussa la formazione e le proprietà delle frazioni continue, l'argomento essendo stato portato in primo piano dall'uso di queste frazioni da parte di Brouncker.
Alcuni anni dopo, nel 1659, Wallis ha pubblicato un trattato contenente la soluzione dei problemi sulla cicloide che erano stati proposti da Blaise Pascal. In questo ha incidentalmente spiegato come i principi stabiliti nel suo Arithmetica Infinitorum potessero essere utilizzati per la rettificazione delle curve algebriche e ha dato una soluzione del problema per rettificare cioè, trovare la lunghezza della parabola semicubica x3 = ay2, che era stata scoperta nel 1657 dal suo allievo William Neile. Poiché tutti i tentativi di rettificare l'ellisse e l'iperbola erano stati necessariamente inefficaci, si era supposto che nessuna curva potesse essere rettificata, come infatti Descartes aveva definitivamente affermato essere il caso. La spirale logaritmica era stata rettificata da Evangelista Torricelli ed era la prima linea curva diversa dal cerchio la cui lunghezza era stata determinata, ma l'estensione di Neile e Wallis a una curva algebrica era nuova. La cicloide era la prossima curva rettificata; questo è stato fatto da Christopher Wren nel 1658.
Nei primi mesi del 1658 una scoperta simile, indipendente da quella di Neile, è stata fatta da van Heuraët, e questo è stato pubblicato da van Schooten nella sua edizione della Geometria di Descartes nel 1659. Il metodo di van Heuraët è il seguente. Suppone che la curva sia riferita ad assi rettangolari; se così è, e se x, y sono le coordinate di qualsiasi punto su di esso, e n sia la lunghezza della normale, e se un altro punto le cui coordinate siano x, η sia preso tale che η : h = n : y, dove h è una costante; allora, se ds sia l'elemento della lunghezza della curva richiesta, abbiamo per triangoli simili ds : dx = n : y. Pertanto, h ds = η dx. Quindi, se l'area del locus del punto x, η può essere trovata, la prima curva può essere rettificata. In questo modo van Heuraët ha effettuato la rettificazione della curva y3 = ax2 ma ha aggiunto che la rettificazione della parabola y2 = ax è impossibile. poiché richiede la quadratura dell'iperbola. Le soluzioni date da Neile e Wallis sono in qualche modo simili a quella data da van Heuraët, sebbene nessuna regola generale sia enunciata, e l'analisi è goffa. Un terzo metodo è stato suggerito da Fermat nel 1660, ma è inelegante e laborioso.
Collisione di corpi
La teoria della collisione di corpi è stata proposta dalla Royal Society nel 1668 per la considerazione dei matematici. Wallis, Christopher Wren e Christian Huygens hanno inviato soluzioni corrette e simili, tutte dipendenti da quella che è ora chiamata conservazione della quantità di moto; ma, mentre Wren e Huygens hanno limitato la loro teoria ai corpi perfettamente elastici collisione elastica, Wallis ha considerato anche i corpi imperfettamente elastici collisione anelastica. Questo è stato seguito nel 1669 da un lavoro su statics centri di gravità, e nel 1670 da uno sulla dinamica: questi forniscono un conveniente sinossi di ciò che era allora noto sull'argomento.
Algebra
Nel 1685 Wallis ha pubblicato Algebra, preceduto da un resoconto storico dello sviluppo dell'argomento, che contiene una grande quantità di informazioni preziose. La seconda edizione, uscita nel 1693 e costituendo il secondo volume del suo Opera, è stata considerevolmente ampliata. Questa algebra è degna di nota in quanto contiene il primo uso sistematico di formule. Una data magnitudine è qui rappresentata dal rapporto numerico che ha rispetto all'unità della stessa specie di magnitudine: così, quando Wallis vuole confrontare due lunghezze, considera ciascuna come contenente un certo numero di unità di lunghezza. Questo forse sarà reso più chiaro notando che la relazione tra lo spazio descritto in qualsiasi momento da una particella che si muove con velocità uniforme è denotata da Wallis dalla formula
s = vt,
dove s è il numero che rappresenta il rapporto dello spazio descritto all'unità di lunghezza; mentre
