जबकि प्रकृति तीन आयामों से अधिक नहीं मानती ... यह बिल्कुल उचित लग सकता है कि एक ठोस की बात चौथे, पाँचवें, छठे, या आगे के आयाम में खींची गई हो।
John Wallis एक अंग्रेजी पादरी और गणितज्ञ थे जिन्हें अपरिमेय कलन के विकास के लिए आंशिक श्रेय दिया जाता है। 1643 और 1689 के बीच उन्होंने संसद और बाद में राजकीय दरबार के मुख्य कूट-लेखक के रूप में कार्य किया। उन्हें अनंतता की अवधारणा को प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रतीक ∞ को पेश करने का श्रेय दिया जाता है। उन्होंने इसी तरह अपरिमेय के लिए 1/∞ का उपयोग किया। John Wallis Newton के समकालीन थे और गणित की प्रारंभिक पुनर्जागरण के सबसे महान बुद्धिजीवियों में से एक थे।
जीवन
John Wallis का जन्म Ashford, Kent में हुआ था। वह Reverend John Wallis और Joanna Chapman के पाँच बच्चों में से तीसरे थे। उन्हें शुरुआत में Ashford के एक स्कूल में शिक्षित किया गया था लेकिन 1625 में प्लेग के प्रकोप के बाद James Movat के स्कूल में Tenterden चले गए। Wallis को पहली बार 1631 में Felsted School में गणित का परिचय मिला, जो तब Martin Holbeach के स्कूल के रूप में जाना जाता था; उन्हें गणित पसंद था, लेकिन उनका अध्ययन अनियमित था, क्योंकि "गणित, उस समय हमारे साथ, शैक्षणिक अध्ययन के रूप में मुश्किल से देखे जाते थे, बल्कि यांत्रिक के रूप में" Scriba 1970। Felsted के स्कूल में, Wallis ने लैटिन बोलना और लिखना सीखा। इस समय तक, वह फ्रेंच, यूनानी और हिब्रू में भी पारंगत थे। जैसा कि इरादा था कि वह एक डॉक्टर होना चाहिए, उन्हें 1632 में Emmanuel College, Cambridge भेजा गया था। वहाँ रहते हुए, उन्होंने रक्त संचार के सिद्धांत पर एक अधिनियम रखा; कहा जाता है कि यह यूरोप में पहली बार था कि इस सिद्धांत को विवाद में सार्वजनिक रूप से बनाए रखा गया था। हालांकि, उनके हित गणित पर केंद्रित थे। उन्होंने 1637 में Bachelor of Arts की डिग्री और 1640 में Master's की डिग्री प्राप्त की, और इसके बाद पादरी में प्रवेश किया। 1643 से 1649 तक, वह Westminster Assembly में एक मतदान रहित लेखक के रूप में कार्य करते रहे। उन्हें 1644 में Queens' College, Cambridge में एक फेलोशिप के लिए चुना गया था, जिससे उन्हें अपनी शादी के बाद त्यागना पड़ा।
इस पूरे समय के दौरान, Wallis संसदीय पार्टी के करीब रहे, शायद Felsted School में Holbeach के संपर्क के परिणामस्वरूप। उन्होंने शाही प्रेषणों को समझने में उन्हें बहुत व्यावहारिक सहायता प्रदान की। उस समय में कूट-लेखन की गुणवत्ता मिश्रित थी; François Viète जैसे गणितज्ञों की व्यक्तिगत सफलताओं के बावजूद, cipher डिज़ाइन और विश्लेषण के अंतर्निहित सिद्धांत बहुत खराब तरीके से समझे जाते थे। अधिकांश ciphers तदर्थ विधियां थे जो एक गुप्त एल्गोरिथ्म पर निर्भर करती थीं, परिवर्तनशील कुंजी पर आधारित सिस्टम के विपरीत। Wallis ने महसूस किया कि बाद वाले बहुत अधिक सुरक्षित थे – यहां तक कि उन्हें "तोड़ा नहीं जा सकता" के रूप में वर्णित किया था, हालांकि वह इस दावे में आत्मविश्वास के लिए पर्याप्त नहीं थे कि कूट-लेखन एल्गोरिथ्म को प्रकट करने को प्रोत्साहित करेंगे। वह विदेशी शक्तियों द्वारा ciphers के उपयोग के बारे में भी चिंतित थे, उदाहरण के लिए, Gottfried Leibniz के 1697 के अनुरोध को हैनोवेरियन छात्रों को कूट-लेखन सिखाने के लिए अस्वीकार कर दिया।
London वापस लौटते हुए – उन्हें 1643 में St Gabriel Fenchurch पर chaplain बनाया गया था – Wallis उन वैज्ञानिकों के समूह में शामिल हो गए जो बाद में Royal Society में विकसित हुए। वह अंत में अपने गणितीय हितों को व्यक्त करने में सक्षम थे, 1647 में कुछ हफ्तों में William Oughtred के Clavis Mathematicae में महारत हासिल की। वह जल्द ही अपनी स्वयं की संधियां लिखने लगे, जो विभिन्न प्रकार के विषयों से निपटती थीं, जिन्हें वह अपने जीवन के बाकी समय के लिए जारी रखते थे। Wallis ने England में गणितीय अवधारणाओं का पहला सर्वेक्षण लिखा जहाँ उन्होंने Hindu-Arabic प्रणाली पर चर्चा की।
Wallis Charles I के निष्पादन के खिलाफ रिमॉन्स्ट्रेंस पर हस्ताक्षर करने वाले मध्यम Presbyterians में शामिल हो गए, जिससे उन्हें Independents की स्थायी शत्रुता का सामना करना पड़ा। उनके विरोध के बावजूद उन्हें 1649 में Oxford University में ज्यामिति के Savilian Chair पर नियुक्त किया गया, जहाँ वह अपनी मृत्यु तक रहे, जो 8 November 1703 को हुई। 1650 में, Wallis को एक मंत्री के रूप में ordain किया गया। इसके बाद, वह दो साल Sir Richard Darley और Lady Vere के साथ एक निजी chaplain के रूप में रहे। 1661 में, वह Savoy Conference में बारह Presbyterian प्रतिनिधियों में से एक था।
अपने गणितीय कार्यों के अलावा उन्होंने धर्मशास्त्र, तर्क, अंग्रेजी व्याकरण और दर्शन पर लिखा, और वह Littlecote House में एक बहरे लड़के को बोलना सिखाने के लिए एक प्रणाली तैयार करने में शामिल था। William Holder ने पहले एक बहरे आदमी, Alexander Popham को "स्पष्ट और स्पष्टता से, और एक अच्छे और सुंदर टोन के साथ" बोलना सिखाया था। Wallis ने बाद में इसका श्रेय दावा किया, जिससे Holder ने Wallis पर "अपने पड़ोसियों को लूटने, और उनके spoyls से अपने आप को सजाने" का आरोप लगाया।
Oxford University में ज्यामिति के Savilian Professor के रूप में Wallis की नियुक्ति
Oxford के Parliamentary visitation जो 1647 में शुरू हुआ, ने कई senior academics को उनके पदों से हटा दिया, जिनमें November 1648 में ज्यामिति और astronomy के Savilian Professors शामिल थे। 1649 में Wallis को ज्यामिति के Savilian Professor के रूप में नियुक्त किया गया। Wallis को शायद राजनीतिक आधार पर चुना गया था, जैसा कि शायद उनके Royalist पूर्ववर्ती Peter Turner के साथ किया गया था, जिन्होंने दो professorships की नियुक्ति के बावजूद कभी भी कोई गणितीय कार्य प्रकाशित नहीं किया; जबकि Wallis शायद राष्ट्र के अग्रणी कूट-लेखक थे और एक अनौपचारिक वैज्ञानिकों के समूह का हिस्सा थे जो बाद में Royal Society बन गया, उनके पास गणितज्ञ के रूप में कोई विशेष प्रतिष्ठा नहीं थी। फिर भी, Wallis की नियुक्ति 54 साल तक Savilian Professor के रूप में उनके बाद के कार्य द्वारा समृद्ध रूप से उचित साबित हुई।
गणित में योगदान
Wallis ने त्रिकोणमिति, कलन, ज्यामिति, और अनंत श्रृंखला के विश्लेषण में महत्वपूर्ण योगदान दिया। उनके Opera Mathematica I 1695 में उन्होंने "continued fraction" शब्द को पेश किया।
Wallis ने नकारात्मक संख्या के इस सामान्य विचार को खारिज कर दिया कि वह कुछ भी नहीं से कम है, लेकिन यह विचार स्वीकार किया कि वह अनंतता से कुछ अधिक है। तर्क यह है कि नकारात्मक संख्याएं अनंतता से अधिक हैं जिसमें quotient 1 x और इस बात पर विचार करना शामिल है कि जब x सकारात्मक पक्ष से x = 0 के बिंदु के करीब आता है और फिर पार करता है तो क्या होता है। इसके बावजूद उन्हें आमतौर पर संख्या रेखा के विचार के originator के रूप में जाना जाता है, जिसमें संख्याओं को एक रेखा में ज्यामितीय रूप से दर्शाया जाता है, नकारात्मक संख्याओं को सकारात्मक संख्याओं की lengths के विपरीत दिशा में lengths द्वारा दर्शाया जाता है।
विश्लेषणात्मक ज्यामिति
1655 में, Wallis ने शांकव sections पर एक treatise प्रकाशित की जिसमें उन्हें विश्लेषणात्मक रूप से परिभाषित किया गया था। यह सबसे प्रारंभिक पुस्तक थी जिसमें इन curves को second degree के curves के रूप में माना जाता है और परिभाषित किया जाता है। इसने René Descartes के विश्लेषणात्मक ज्यामिति पर कार्य की माना जाने वाली कठिनाई और अस्पष्टता को दूर करने में मदद की। Treatise on the Conic Sections में Wallis ने infinity के लिए प्रतीक ∞ को लोकप्रिय बनाया। उन्होंने लिखा, "मैं Cavalieri की Indivisibles की Geometry के अनुसार किसी भी समतल को समानांतर lines की एक अनंत संख्या से बना हुआ मानता हूँ, या जैसा कि मैं पसंद करता हूँ, समान ऊंचाई के parallelograms की एक अनंत संख्या से; इनमें से प्रत्येक की ऊंचाई को पूरी ऊंचाई का एक असीम रूप से छोटा हिस्सा 1/∞ होने दें, और प्रतीक ∞ को infinity को दर्शाने दें और सभी की ऊंचाई को figure की ऊंचाई बनाने दें।"
समाकलन कलन
Arithmetica Infinitorum, Wallis के सबसे महत्वपूर्ण कार्यों में से, 1656 में प्रकाशित हुआ। इस treatise में Descartes और Cavalieri की विश्लेषण विधियों को व्यवस्थित और विस्तारित किया गया, लेकिन कुछ विचार आलोचना के लिए खुले थे। उन्होंने शांकव sections पर एक छोटे tract के बाद, powers के लिए मानक notation विकसित करके शुरुआत की, उन्हें सकारात्मक integers से परिमेय संख्याओं तक विस्तारित किया:
इस खोज के कई बीजगणितीय अनुप्रयोगों को छोड़ते हुए, वह अगला curve y = xm, x की axis, और किसी भी ordinate x = h के बीच enclosed area को खोजने के लिए आगे बढ़े, और उन्होंने साबित किया कि इस area का अनुपात same base और same height पर parallelogram के उस area से 1/m + 1 है, Cavalieri के quadrature formula को विस्तारित करते हुए। उन्होंने स्पष्ट रूप से मान लिया कि curve y = axm के लिए भी वही परिणाम सत्य होगा, जहाँ a कोई constant है, और m कोई number positive या negative है, लेकिन उन्होंने केवल parabola के मामले की चर्चा की जिसमें m = 2 और hyperbola में जिसमें m = −1 है। बाद के मामले में, परिणाम की उनकी व्याख्या गलत है। फिर उन्होंने दिखाया कि समान परिणाम किसी भी form के curve के लिए लिखे जा सकते हैं
और इसलिए, यदि curve का ordinate y, x की powers में expanded हो सकता है, तो इसका area निर्धारित किया जा सकता है: इस प्रकार वह कहते हैं कि यदि curve का equation y = x + x1 + x2 + ... है, तो इसका area x + x2/2 + x3/3 + ... होगा। फिर उन्होंने इसे curves y = x − x2, y = x − x21, y = x − x22, आदि के quadrature पर लागू किया, जो x = 0 और x = 1 की limits के बीच लिए गए हैं। वह दिखाते हैं कि areas क्रमशः 1, 1/6, 1/30, 1/140, आदि हैं। इसके बाद उन्होंने form y = x1/m के curves को माना और प्रमेय स्थापित किया कि इस curve और lines x = 0 और x = 1 द्वारा bounded area same base और same altitude वाले rectangle के area के बराबर है जो m : m + 1 है। यह निम्नलिखित की गणना के बराबर है
उन्होंने इसे parabola द्वारा चित्रित किया, जिसके मामले में m = 2 है। उन्होंने form y = xp/q के curve के लिए corresponding परिणाम बताया, लेकिन प्रमाणित नहीं किया।
Wallis ने curves के equations को ऊपर दिए गए forms में घटाने में considerable ingenuity दिखाई, लेकिन, जैसा कि वह binomial theorem से अपरिचित थे, वह circle के quadrature को प्रभावित नहीं कर सके, जिसका equation y = 1 − x 2 है, जिसे किसी के geometric mean के रूप में लिया जा सकता है
अर्थात्, 1 और 2 3 को चुना जाना चाहिए ताकि इस series के law का पालन किया जा सके। यह, एक elaborate method द्वारा जो यहाँ विस्तार से वर्णित नहीं है, interpolated term के लिए एक value की ओर जाता है जो निम्नलिखित लेने के बराबर है
जिसे अब Wallis product के रूप में जाना जाता है।
इस कार्य में continued fractions के formation और properties की भी चर्चा की गई है, विषय को Brouncker के इन fractions के उपयोग द्वारा सामने लाया गया है।
कुछ साल बाद, 1659 में, Wallis ने cycloid पर समस्याओं के समाधान वाली एक tract प्रकाशित की जो Blaise Pascal द्वारा प्रस्तावित की गई थीं। इसमें उन्होंने accidentally समझाया कि कैसे उनके Arithmetica Infinitorum में दिए गए सिद्धांतों को algebraic curves के rectification के लिए उपयोग किया जा सकता है और semicubical parabola x3 = ay2 को rectify करने की समस्या का समाधान प्रदान किया, जिसे 1657 में उनके शिष्य William Neile द्वारा खोजा गया था। चूंकि ellipse और hyperbola को rectify करने के सभी प्रयास necessarily विफल रहे हैं, माना जाता था कि कोई भी curves को rectify नहीं किया जा सकता है, जैसा कि वास्त
