Carl Gustav Jacob Jacobi एक जर्मन गणितज्ञ थे जिन्होंने दीर्घवृत्तीय कार्यों, गतिशीलता, अवकल समीकरणों, सारणिकों और संख्या सिद्धांत में मौलिक योगदान दिया।
Jacobi एक जर्मन विश्वविद्यालय में प्रोफेसर के रूप में नियुक्त होने वाले पहले यहूदी गणितज्ञ थे।
जीवनी
Jacobi का जन्म 10 दिसंबर 1804 को Potsdam में अशकेनाज़ी यहूदी पिता-माता से हुआ था। वह बैंकर Simon Jacobi के चार बच्चों में से दूसरे थे। उनके बड़े भाई Moritz von Jacobi बाद में एक इंजीनियर और भौतिकविद् के रूप में भी जाने जाते थे। शुरुआत में उनकी शिक्षा उनके चाचा Lehman द्वारा घर पर दी गई, जिन्होंने उन्हें शास्त्रीय भाषाएं और गणित के तत्व सिखाए। 1816 में, बारह वर्षीय Jacobi Potsdam Gymnasium गए, जहां छात्रों को सभी मानक विषय पढ़ाए जाते थे: शास्त्रीय भाषाएं, इतिहास, भाषा विज्ञान, गणित, विज्ञान, आदि। अपने चाचा द्वारा प्राप्त अच्छी शिक्षा और अपनी असाधारण क्षमताओं के परिणामस्वरूप, छह महीने से कम समय में Jacobi को अपनी कम उम्र के बावजूद अंतिम वर्ष में स्थानांतरित कर दिया गया। हालांकि, विश्वविद्यालय 16 साल से कम उम्र के छात्रों को स्वीकार नहीं करता था, इसलिए उन्हें 1821 तक अंतिम वर्ग में रहना पड़ा। उन्होंने इस समय का उपयोग अपने ज्ञान को आगे बढ़ाने के लिए किया, लैटिन, ग्रीक, भाषा विज्ञान, इतिहास और गणित सहित सभी विषयों में रुचि दिखाई। इसी अवधि में उन्होंने शोध के अपने पहले प्रयास भी किए, क्विंटिक समीकरण को मूल द्वारा हल करने की कोशिश की।
1821 में Jacobi Berlin University में अध्ययन करने गए, जहां वह शुरुआत में भाषा विज्ञान और गणित के अपने जुनून के बीच ध्यान विभाजित करते थे। भाषा विज्ञान में वह Böckh के सेमिनार में भाग लेते थे, अपनी प्रतिभा से प्रोफेसर का ध्यान आकर्षित करते थे। Jacobi ने Berlin University में बहुत सारी गणित की कक्षाओं में भाग नहीं लिया, क्योंकि उस समय Berlin University में गणित का निम्न स्तर उन्हें बहुत प्राथमिक लगता था। हालांकि, वह Euler, Lagrange और Laplace के अधिक उन्नत कार्यों का निजी अध्ययन जारी रखते थे। 1823 तक वह समझ गए कि उन्हें अपने प्रतिस्पर्धी हितों के बीच निर्णय लेने की आवश्यकता है और उन्होंने गणित को अपना पूरा ध्यान देने का चुनाव किया। उसी वर्ष वह माध्यमिक विद्यालय में शिक्षण के योग्य हो गए और Berlin के Joachimsthal Gymnasium में एक पद का प्रस्ताव दिया गया। Jacobi ने इसके बजाय विश्वविद्यालय की स्थिति के लिए काम जारी रखने का फैसला किया। 1825 में उन्होंने दार्शनिकी में डॉक्टर की डिग्री प्राप्त की, जिसमें Enno Dirksen द्वारा नेतृत्व किए गए एक आयोग के सामने परिमेय अंशों के आंशिक अंश विघटन पर शोध प्रबंध प्रस्तुत किया। उन्होंने तुरंत अपने Habilitation के साथ पालन किया और उसी समय ईसाई धर्म में परिवर्तित हो गए। अब विश्वविद्यालय की कक्षाएं पढ़ाने के योग्य, 21 वर्षीय Jacobi ने 1825/26 में Berlin University में वक्रों और सतहों के सिद्धांत पर व्याख्यान दिया।
1827 में Jacobi Königsberg University में एक प्रोफेसर बने और 1829 में गणित के स्थायी प्रोफेसर बने, और 1842 तक इस पद को संभाला। वह 1843 में अत्यधिक काम से टूट गए। फिर वह अपने स्वास्थ्य को ठीक करने के लिए कुछ महीनों के लिए Italy का दौरा किया। लौटने पर वह Berlin गए, जहां वह अपनी मृत्यु तक एक शाही पेंशनभोगी के रूप में रहे। 1848 की क्रांति के दौरान Jacobi राजनीतिक रूप से शामिल थे और उन्होंने एक उदार क्लब की ओर से अपनी संसदीय उम्मीदवारी प्रस्तुत की, लेकिन असफल रहे। क्रांति के दमन के बाद, इससे उनकी शाही अनुदान में कटौती हुई – लेकिन उनकी ख्याति और प्रतिष्ठा इतनी अधिक थी कि जल्द ही इसे बहाल कर दिया गया। 1836 में, उन्हें Royal Swedish Academy of Sciences का विदेशी सदस्य चुना गया था।
Jacobi की मृत्यु 1851 में चेचक के संक्रमण से हुई। उनकी कब्र Berlin के Kreuzberg अनुभाग में एक कब्रिस्तान में संरक्षित है, Friedhof I der Dreifaltigkeits-Kirchengemeinde 61 Baruther Street पर। उनकी कब्र खगोल विज्ञानी Johann Encke की कब्र के पास है। Moon पर Jacobi क्रेटर का नाम उनके नाम पर रखा गया है।
वैज्ञानिक योगदान
Jacobi की सबसे बड़ी उपलब्धियों में से एक दीर्घवृत्तीय कार्यों का सिद्धांत और दीर्घवृत्तीय थीटा फ़ंक्शन के साथ उनका संबंध था। यह 1829 में उनके महान ग्रंथ Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum में विकसित किया गया था, और बाद में Crelle's Journal में कागजों में। थीटा फ़ंक्शन गणितीय भौतिकी में बहुत महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे आवधिक और अर्ध-आवधिक प्रवाह के व्युत्क्रम समस्या में उनकी भूमिका के कारण हैं। गति के समीकरण Jacobi के दीर्घवृत्तीय कार्यों के संदर्भ में पेंडुलम, Euler शीर्ष, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में सममित Lagrange शीर्ष और केंद्रीय गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में Kepler समस्या ग्रहीय गति के प्रसिद्ध मामलों में एकीकृत हैं।
उन्होंने अवकल समीकरणों के अध्ययन और शास्त्रीय यांत्रिकी में भी मौलिक योगदान दिया, विशेष रूप से Hamilton–Jacobi सिद्धांत में।
Jacobi की विशेष शक्ति मुख्य रूप से बीजीय विकास में निहित थी, और उन्होंने गणित के कई क्षेत्रों में इस तरह के महत्वपूर्ण योगदान दिए, जैसा कि 1826 से Crelle's Journal और अन्य जगहों पर उनकी लंबी सूची से दिखाई देता है। कहा जाता है कि उन्होंने अपने छात्रों को बताया कि जब शोध का विषय ढूंढ रहे हों, तो 'Invert, always invert' 'man muss immer umkehren' करना चाहिए, जो इस विश्वास को प्रतिबिंबित करता है कि ज्ञात परिणामों को उलटने से अनुसंधान के नए क्षेत्र खुल सकते हैं, उदाहरण के लिए दीर्घवृत्तीय अभिन्न को उलटना और दीर्घवृत्तीय और थीटा कार्यों की प्रकृति पर ध्यान केंद्रित करना।
अपने 1835 के पत्र में, Jacobi ने दीर्घवृत्तीय कार्यों सहित आवधिक कार्यों को वर्गीकृत करने वाले निम्नलिखित मूल परिणाम को सिद्ध किया: यदि एकवर्णी एकल-मूल्यवान फ़ंक्शन कई गुना आवधिक है, तो ऐसे फ़ंक्शन के दो से अधिक अवधि नहीं हो सकते, और अवधियों का अनुपात वास्तविक संख्या नहीं हो सकता। उन्होंने थीटा कार्यों के कई मौलिक गुणों की खोज की, जिसमें कार्यात्मक समीकरण और Jacobi ट्रिपल प्रोडक्ट सूत्र, साथ ही q-series और hypergeometric series पर कई अन्य परिणाम शामिल हैं।
1854 में Weierstrass द्वारा hyperelliptic Abel map के लिए Jacobi inversion problem का समाधान hyperelliptic थीटा फ़ंक्शन की शुरुआत और बाद में मनमाने जीनस के बीजीय वक्रों के लिए सामान्य Riemann theta function की आवश्यकता थी। जीनस g से जुड़ा जटिल torus, जिसे अवधियों की जाली द्वारा संदर्भित किया जाता है, को Jacobian variety कहा जाता है। इस व्युत्क्रम की विधि, और बाद में Weierstrass और Riemann द्वारा मनमाने बीजीय वक्रों का विस्तार, दीर्घवृत्तीय अभिन्न और Jacobi या Weierstrass दीर्घवृत्तीय कार्यों के बीच संबंध का उच्च जीनस सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है।
Jacobi संख्या सिद्धांत के लिए दीर्घवृत्तीय कार्यों को लागू करने वाले पहले व्यक्ति थे, उदाहरण के लिए Fermat के दो-वर्ग प्रमेय और Lagrange के चार-वर्ग प्रमेय, और 6 और 8 वर्गों के लिए समान परिणाम साबित किए। संख्या सिद्धांत में उनका अन्य काम C. F. Gauss के काम को जारी रखता है: द्विघात पारस्परिकता के नए प्रमाण और Jacobi symbol की शुरुआत; उच्च पारस्परिकता कानूनों में योगदान, निरंतर अंशों की जांच, और Jacobi sums का आविष्कार।
वह सारणिकों के सिद्धांत के शुरुआती संस्थापकों में से एक भी थे। विशेष रूप से, उन्होंने n स्वतंत्र चर के n दिए गए कार्यों के n2 आंशिक व्युत्पन्नों से बना Jacobian determinant का आविष्कार किया, जो कई अभिन्नों में चर के परिवर्तन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, और कई विश्लेषणात्मक जांचों में। 1841 में उन्होंने Legendre के आंशिक व्युत्पन्न ∂ संकेतन को फिर से शुरू किया, जो मानक बनने वाला था।
वह सममित बहुपदों को शुरू करने और अध्ययन करने वाले पहले लोगों में से एक था जिन्हें अब Schur polynomials के रूप में जाना जाता है, इन के लिए तथाकथित bialternant सूत्र देते हुए, जो Weyl character formula का एक विशेष मामला है, और Jacobi–Trudi identities व्युत्पन्न करते हैं। उन्होंने सारणिकों के लिए Desnanot–Jacobi formula भी खोजा, जो Grassmannians के लिए Plucker relations को रेखांकित करता है।
वेक्टर फील्ड, Lie theory, Hamiltonian mechanics और operator algebras के छात्र अक्सर Jacobi identity का सामना करते हैं, जो Lie bracket operation के लिए associativity का एनालॉग है।
ग्रहीय सिद्धांत और अन्य विशेष गतिशील समस्याएं भी समय-समय पर उनका ध्यान आकर्षित करती थीं। खगोलीय यांत्रिकी में योगदान करते समय, उन्होंने एक sidereal समन्वय प्रणाली के लिए 1836 में Jacobi integral की शुरुआत की। उनके अंतिम गुणक का सिद्धांत Vorlesungen über Dynamik में माना जाता है, जिसे Alfred Clebsch द्वारा संपादित किया गया था 1866।
Carl Gustav ने कई पांडुलिपियां छोड़ीं, जिनमें से कुछ को Crelle's Journal में समय-समय पर प्रकाशित किया गया। उनके अन्य कार्यों में Commentatio de transformatione integralis duplicis indefiniti in formam simpliciorem 1832, Canon arithmeticus 1839, और Opuscula mathematica 1846–1857 शामिल हैं। उनके Gesammelte Werke 1881–1891 को Berlin Academy द्वारा प्रकाशित किया गया।
मजेदार तथ्य
Carl Gustav का नाम कभी-कभी उनकी Latin किताबों में Carolus Gustavus Iacobus Iacobi के रूप में लिखा जाता है, और उनका पहला नाम कभी-कभी Karl के रूप में दिया जाता है।
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