अगर मेरे पास केवल प्रमेय होते! तब मुझे प्रमाण आसानी से मिल जाते।
Georg Friedrich Bernhard Riemann एक जर्मन गणितज्ञ थे जिन्होंने विश्लेषण, संख्या सिद्धांत और अवकल ज्यामिति में योगदान दिया। वास्तविक विश्लेषण के क्षेत्र में, वे मुख्य रूप से समाकल के पहले कठोर सूत्रीकरण, Riemann समाकल, और Fourier श्रृंखला पर अपने काम के लिए जाने जाते हैं। जटिल विश्लेषण में उनके योगदान में सबसे विशेष रूप से Riemann सतहों का परिचय शामिल है, जो जटिल विश्लेषण के एक प्राकृतिक, ज्यामितीय उपचार में नई दिशा तय करता है। अभाज्य-गणना फलन पर उनका प्रसिद्ध 1859 का पत्र, जिसमें Riemann परिकल्पना का मूल कथन है, विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में सबसे प्रभावशाली पत्रों में से एक माना जाता है। अवकल ज्यामिति में अपने अग्रणी योगदान के माध्यम से, Riemann ने सामान्य सापेक्षता के गणित की नींव रखी। उन्हें कई लोगों द्वारा सभी समय के सबसे महान गणितज्ञों में से एक माना जाता है।
जीवनी
प्रारंभिक वर्ष
Riemann का जन्म 17 सितंबर, 1826 को Breselenz में हुआ था, जो Hannover राज्य में Dannenberg के पास एक गाँव है। उनके पिता, Friedrich Bernhard Riemann, Breselenz में एक गरीब Lutheran पादरी थे जिन्होंने Napoleonic Wars में लड़ाई की। उनकी माता, Charlotte Ebell, अपने बच्चों के वयस्क होने से पहले ही मर गईं। Riemann छः बच्चों में से दूसरे थे, शर्मीले और कई तंत्रिका संबंधी विकारों से पीड़ित। Riemann ने बचपन से ही असाधारण गणितीय कौशल, जैसे गणना क्षमताएं प्रदर्शित कीं, लेकिन वे भीरुता और जनता के सामने बोलने के भय से पीड़ित थे।
शिक्षा
1840 के दौरान, Riemann अपनी दादी के साथ रहने के लिए Hannover गए और lyceum माध्यमिक विद्यालय में पढ़ाई की। 1842 में अपनी दादी की मृत्यु के बाद, वे Johanneum Lüneburg में माध्यमिक विद्यालय में पढ़ने गए। माध्यमिक विद्यालय में, Riemann ने बाइबल का गहन अध्ययन किया, लेकिन वे अक्सर गणित से विचलित हो जाते थे। उनके शिक्षक जटिल गणितीय संक्रियाओं को करने की उनकी प्रतिभा से आश्चर्यचकित थे, जिसमें वे अक्सर अपने प्रशिक्षक के ज्ञान से आगे निकल जाते थे। 1846 में, 19 साल की उम्र में, उन्होंने एक पादरी बनने और अपने परिवार की आर्थिक सहायता करने के लिए philology और Christian theology का अध्ययन करना शुरू किया।
1846 के वसंत के दौरान, उनके पिता, पर्याप्त धन जमा करने के बाद, Riemann को University of Göttingen भेजा, जहाँ वे Theology में डिग्री की ओर अध्ययन करना चाहते थे। हालांकि, वहाँ पहुंचने पर, वे Carl Friedrich Gauss के अंतर्गत गणित का अध्ययन करने लगे, विशेष रूप से न्यूनतम वर्गों की विधि पर उनके व्याख्यान। Gauss ने सलाह दी कि Riemann अपने神학 कार्य को छोड़ दें और गणितीय क्षेत्र में प्रवेश करें; अपने पिता की अनुमति प्राप्त करने के बाद, Riemann 1847 में University of Berlin में स्थानांतरित हो गए। अपने अध्ययन के समय, Carl Gustav Jacob Jacobi, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Jakob Steiner, और Gotthold Eisenstein पढ़ा रहे थे। वे दो साल तक Berlin में रहे और 1849 में Göttingen लौट आए।
शिक्षा जगत
Riemann ने 1854 में अपना पहला व्याख्यान दिया, जिसने Riemannian geometry का क्षेत्र स्थापित किया और इस प्रकार Albert Einstein के सामान्य सापेक्षता सिद्धांत के लिए मंच तैयार किया। 1857 में, University of Göttingen में Riemann को असाधारण प्रोफेसर के स्तर तक पदोन्नत करने का प्रयास किया गया। यद्यपि यह प्रयास विफल रहा, फिर भी इसके परिणामस्वरूप Riemann को अंततः नियमित वेतन दिया गया। 1859 में, Dirichlet की मृत्यु के बाद जो University of Göttingen में Gauss की कुर्सी पर थे, उन्हें University of Göttingen में गणित विभाग का प्रमुख बनाया गया। वे भौतिक वास्तविकता का वर्णन करने के लिए केवल तीन या चार से अधिक आयामों का उपयोग करने का सुझाव देने वाले पहले भी थे।
1862 में उन्होंने Elise Koch से विवाह किया और उनकी एक बेटी Ida Schilling थी जिसका जन्म 22 दिसंबर 1862 को हुआ था।
Protestant परिवार और Italy में मृत्यु
Riemann 1866 में Hannover और Prussia की सेनाएं वहाँ आपस में टकराने पर Göttingen से भाग गए। वे तपेदिक से अपनी Italy की तीसरी यात्रा के दौरान Selasca में मरे, जो अब Lake Maggiore पर Verbania का एक हैमलेट है, जहाँ उन्हें Biganzolo Verbania में कब्रिस्तान में दफनाया गया था।
Riemann एक समर्पित ईसाई थे, एक Protestant मंत्री के पुत्र थे, और अपने जीवन को एक गणितज्ञ के रूप में God की सेवा का एक और तरीका मानते थे। अपने जीवन के दौरान, वे अपने ईसाई विश्वास से दृढ़ता से जुड़े रहे और इसे अपने जीवन का सबसे महत्वपूर्ण पहलू मानते थे। उनकी मृत्यु के समय, वे अपनी पत्नी के साथ Lord's Prayer का पाठ कर रहे थे और प्रार्थना समाप्त करने से पहले ही मर गए। इसी बीच, Göttingen में उनके घर की सफाई करने वाली ने उनके कार्यालय के कुछ कागजात, जिनमें बहुत अप्रकाशित काम भी था, फेंक दिए। Riemann अधूरे काम को प्रकाशित करने से इंकार कर देते थे, और कुछ गहरी अंतर्दृष्टि हमेशा के लिए खो सकती थीं।
Riemann की कब्र का पत्थर Biganzolo Italy में Romans 8:28 को संदर्भित करता है:
यहाँ God में विश्राम करते हैं
Georg Friedrich Bernhard Riemann
Göttingen में प्रोफेसर
Breselenz में जन्म, 17 सितंबर 1826
Selasca में मृत्यु, 20 जुलाई 1866
जो लोग God से प्रेम करते हैं, उनके लिए सभी चीजें सर्वोत्तम के लिए काम करनी चाहिए
यहाँ God में विश्राम करते हैं Georg Friedrich Bernhard Riemann Göttingen में प्रोफेसर Breselenz में जन्म, 17 सितंबर 1826 Selasca में मृत्यु, 20 जुलाई 1866 जो लोग God से प्रेम करते हैं, उनके लिए सभी चीजें सर्वोत्तम के लिए काम करनी चाहिए
Riemannian ज्यामिति
Riemann के प्रकाशित कार्यों ने विश्लेषण और ज्यामिति को मिलाने वाले अनुसंधान क्षेत्रों को खोला। ये बाद में Riemannian ज्यामिति, बीजगणितीय ज्यामिति, और जटिल manifold सिद्धांत के प्रमुख भाग बन जाएंगे। Riemann सतहों का सिद्धांत Felix Klein द्वारा और विशेष रूप से Adolf Hurwitz द्वारा विकसित किया गया। गणित का यह क्षेत्र topology की नींव का हिस्सा है और अभी भी गणितीय भौतिकी के लिए नए तरीकों से लागू किया जा रहा है।
1853 में, Gauss ने Riemann, अपने छात्र, से ज्यामिति की नींव पर एक Habilitationsschrift तैयार करने को कहा। कई महीनों के दौरान, Riemann ने उच्च आयामों का अपना सिद्धांत विकसित किया और 1854 में Göttingen में "Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen" "On the hypotheses which underlie geometry" शीर्षक से अपना व्याख्यान दिया। इसे केवल बारह साल बाद 1868 में Dedekind द्वारा, उनकी मृत्यु के दो साल बाद प्रकाशित किया गया। इसका प्रारंभिक स्वागत धीमा प्रतीत होता है, लेकिन अब इसे ज्यामिति में सबसे महत्वपूर्ण कार्यों में से एक माना जाता है।
इस कार्य द्वारा स्थापित विषय Riemannian ज्यामिति है। Riemann ने सतहों की अवकल ज्यामिति को n आयामों तक विस्तारित करने का सही तरीका खोजा, जिसे Gauss ने अपने theorema egregium में साबित किया। मौलिक वस्तु को Riemann वक्रता tensor कहा जाता है। सतह के मामले में, इसे एक संख्या scalar, सकारात्मक, नकारात्मक, या शून्य तक कम किया जा सकता है; गैर-शून्य और स्थिर मामले ज्ञात गैर-Euclidean ज्यामितियों के मॉडल हैं।
Riemann का विचार space के हर बिंदु पर संख्याओं का एक संग्रह, अर्थात्, एक tensor पेश करना था जो यह वर्णित करता है कि यह कितना मुड़ा या घुमावदार है। Riemann ने पाया कि चार स्थानिक आयामों में, कोई भी manifold के गुणों का वर्णन करने के लिए प्रत्येक बिंदु पर दस संख्याओं का संग्रह चाहता है, चाहे वह कितना भी विकृत हो। यह उसकी ज्यामिति के लिए केंद्रीय प्रसिद्ध निर्माण है, जिसे अब Riemannian मेट्रिक के रूप में जाना जाता है।
जटिल विश्लेषण
अपने शोधप्रबंध में, उन्होंने Riemann सतहों के माध्यम से जटिल विश्लेषण के लिए एक ज्यामितीय नींव स्थापित की, जिसके माध्यम से बहु-मूल्यवान फलन जैसे अनंत कई sheets वाला लघुगणक या दो sheets वाली वर्गमूल एक-से-एक फलन बन सकते हैं। जटिल फलन harmonic फलन हैं, अर्थात्, वे Laplace's समीकरण को संतुष्ट करते हैं और इस प्रकार इन सतहों पर Cauchy–Riemann समीकरण हैं और उनकी विलक्षणताओं के स्थान और सतहों की topology द्वारा वर्णित हैं। Riemann सतहों की topological "genus" को g = w / 2 − n + 1 parameters "moduli" द्वारा दिया जाता है।
इस क्षेत्र में उनके योगदान असंख्य हैं। प्रसिद्ध Riemann मानचित्रण प्रमेय कहता है कि जटिल तल में एक simply connected domain "biholomorphically equivalent" है, अर्थात्, उनके बीच एक bijection है जो holomorphic है और holomorphic प्रतिलोम है, या तो C के लिए या unit circle के interior के लिए। Riemann सतहों के लिए प्रमेय का सामान्यीकरण प्रसिद्ध uniformization प्रमेय है, जिसे 19वीं सदी में Henri Poincaré और Felix Klein द्वारा सिद्ध किया गया था। यहाँ भी, कठोर प्रमाण पहली बार इस मामले में, topology में समृद्ध गणितीय उपकरणों के विकास के बाद दिए गए। Riemann सतहों पर फलनों के अस्तित्व के प्रमाण के लिए उन्होंने एक न्यूनतमता शर्त का उपयोग किया, जिसे उन्होंने Dirichlet सिद्धांत कहा। Karl Weierstrass को प्रमाण में एक अंतराल मिला: Riemann ने ध्यान नहीं दिया कि उनकी कार्यशील धारणा कि न्यूनतम मौजूद था, काम नहीं कर सकती; फलन space पूर्ण नहीं हो सकता था, और इसलिए न्यूनतम का अस्तित्व गारंटीकृत नहीं था। David Hilbert के Calculus of Variations में काम के माध्यम से, Dirichlet सिद्धांत अंततः स्थापित किया गया। अन्यथा, Weierstrass Riemann से बहुत प्रभावित था, विशेष रूप से abelian फलनों के उसके सिद्धांत से। जब Riemann का काम सामने आया, तो Weierstrass ने अपना पत्र Crelle's Journal से वापस ले लिया और इसे प्रकाशित नहीं किया। 1859 में जब Riemann ने उसे Berlin में देखा तब उनकी अच्छी समझदारी थी। Weierstrass ने अपने छात्र Hermann Amandus Schwarz को जटिल विश्लेषण में Dirichlet सिद्धांत के विकल्प खोजने के लिए प्रोत्साहित किया, जिसमें वह सफल रहे। Arnold Sommerfeld की एक कहानी से पता चलता है कि समकालीन गणितज्ञों को Riemann के नए विचारों में क्या कठिनाइयों का सामना करना पड़ा। 1870 में, Weierstrass ने Riemann के शोधप्रबंध को अपने साथ Rigi की छुट्टी पर ले गया और शिकायत की कि इसे समझना कठिन था। भौतिकविद् Hermann von Helmholtz ने उसे रात भर काम करने में सहायता की और टिप्पणी के साथ लौटा कि यह "प्राकृतिक" और "बहुत समझदारी में" था।
अन्य highlights में Riemann सतहों पर abelian फलनों और theta फलनों पर उनका काम शामिल है। Riemann 1857 के बाद से abelian समाकलनों के लिए Jacobian प्रतिलोम समस्याओं को हल करने में Weierstrass के साथ प्रतियोगिता में थे, जो elliptic समाकलों का सामान्यीकरण है। Riemann ने कई variables में theta फलनों का उपयोग किया और समस्या को इन theta फलनों के शून्यों के निर्धारण तक कम कर दिया। Riemann ने period matrices की भी जांच की और उन्हें "Riemannian period संबंधों" के माध्यम से विशेषता दी, सममितीय, वास्तविक भाग नकारात्मक। Ferdinand Georg Frobenius और Solomon Lefschetz द्वारा इस संबंध की वैधता C n / Ω के embedding के समतुल्य है, यह Riemann सतह का Jacobian variety है, एक abelian manifold का उदाहरण।
Alfred Clebsch जैसे कई गणितज्ञों ने बीजगणितीय curves पर Riemann के काम को आगे बढ़ाया। ये सिद्धांत Riemann सतहों पर परिभाषित
