हर कोई जानता है कि वक्र क्या है, जब तक कि वह इतना गणित का अध्ययन नहीं कर लेता कि संभावित अपवादों की अनगिनत संख्या से भ्रमित हो जाए।
Christian Felix Klein एक जर्मन गणितज्ञ और गणित शिक्षक थे, जो समूह सिद्धांत, जटिल विश्लेषण, गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति, और ज्यामिति और समूह सिद्धांत के बीच संबंधों के अपने काम के लिए जाने जाते हैं। उनका 1872 Erlangen program, उनके मूल समरूपता समूहों द्वारा ज्यामिति को वर्गीकृत करते हुए, उस समय की अधिकांश गणित का एक प्रभावशाली संश्लेषण था।
जीवन
Felix Klein का जन्म 25 अप्रैल 1849 को Düsseldorf में प्रशिया के माता-पिता के यहाँ हुआ था; उनके पिता, Caspar Klein 1809–1889, एक प्रशिया सरकारी अधिकारी के सचिव थे जो Rhine Province में तैनात थे। Klein की माता Sophie Elise Klein 1819–1890, née Kayser थीं। उन्होंने Düsseldorf में Gymnasium में भाग लिया, फिर 1865–1866 में Bonn विश्वविद्यालय में गणित और भौतिकी का अध्ययन किया, भौतिकविद् बनने का इरादा रखते हुए। उस समय, Julius Plücker के पास Bonn की गणित और प्रायोगिक भौतिकी की प्रोफेसरी थी, लेकिन जब तक Klein ने 1866 में उनके सहायक के रूप में काम किया, तब तक Plücker की रुचि ज्यामिति में थी। Klein ने 1868 के दौरान Plücker द्वारा निर्देशित अपनी डॉक्टरेट Bonn विश्वविद्यालय से प्राप्त की।
Plücker की 1868 में मृत्यु हो गई, जिससे रेखा ज्यामिति के आधार से संबंधित उनकी किताब अधूरी रह गई। Klein स्पष्ट व्यक्ति था जो Plücker के Neue Geometrie des Raumes के दूसरे भाग को पूरा करने के लिए, और इस प्रकार Alfred Clebsch से परिचित हो गया, जो 1868 में Göttingen में स्थानांतरित हो गया था। Klein ने अगले वर्ष Clebsch का दौरा किया, Berlin और Paris के दौरे के साथ। July 1870 के दौरान, Franco-Prussian War की शुरुआत में, वह Paris में था और देश को छोड़ना पड़ा। कुछ समय के लिए उसने Prussian सेना में एक चिकित्सा सहायक के रूप में काम किया इससे पहले कि वह early 1871 में Göttingen में व्याख्याता नियुक्त किया गया।
Erlangen ने 1872 में Klein को प्रोफेसर नियुक्त किया, जब वह केवल 23 साल के थे। इसके लिए, उन्हें Clebsch द्वारा समर्थन दिया गया था, जो उन्हें अपने समय का सबसे अच्छा गणितज्ञ बनने की संभावना मानते थे। Klein को Erlangen में एक स्कूल नहीं चाहिए था जहाँ बहुत कम छात्र थे, और इसलिए वह 1875 में Munich के Technische Hochschule में एक प्रोफेसरी प्रदान किए जाने के लिए प्रसन्न थे। वहाँ वह और Alexander von Brill ने कई उत्कृष्ट छात्रों को उन्नत पाठ्यक्रम सिखाया, जिसमें Adolf Hurwitz, Walther von Dyck, Karl Rohn, Carl Runge, Max Planck, Luigi Bianchi, और Gregorio Ricci-Curbastro शामिल थे।
1875 के दौरान Klein ने Anne Hegel से विवाह किया, जो दार्शनिक Georg Wilhelm Friedrich Hegel की पोती थीं।
Technische Hochschule में पाँच साल के बाद, Klein को Leipzig में ज्यामिति की एक कुर्सी के लिए नियुक्त किया गया। वहाँ उनके सहकर्मियों में Walther von Dyck, Rohn, Eduard Study और Friedrich Engel शामिल थे। Leipzig में Klein के वर्ष, 1880 से 1886, मौलिक रूप से उनके जीवन को बदल गए। 1882 के दौरान, उनका स्वास्थ्य गिर गया; 1883–1884 के दौरान, वह अवसाद से पीड़ित थे। फिर भी उनका अनुसंधान जारी रहा; hyperelliptic sigma functions पर उनका महत्वपूर्ण काम इस अवधि के आसपास से है, 1886 और 1888 में प्रकाशित होना।
Klein ने 1886 में Göttingen विश्वविद्यालय में एक प्रोफेसरी स्वीकार की। उसके बाद से अपनी 1913 की सेवानिवृत्ति तक, उन्होंने Göttingen को विश्व के मुख्य गणित अनुसंधान केंद्र के रूप में फिर से स्थापित करने की कोशिश की। फिर भी वह ज्यामिति के एक डेवलपर के रूप में अपनी प्रमुखता को Leipzig से Göttingen में स्थानांतरित करने में कभी सक्षम नहीं हुए। Göttingen में, उन्होंने विभिन्न पाठ्यक्रम सिखाए, मुख्यतः गणित और भौतिकी के बीच इंटरफेस से संबंधित, जैसे यांत्रिकी और संभावित सिद्धांत।
Klein द्वारा स्थापित अनुसंधान सुविधा ने पूरी दुनिया में ऐसी सबसे अच्छी सुविधाओं के लिए एक मॉडल के रूप में काम किया। उन्होंने साप्ताहिक चर्चा बैठकें शुरू कीं, और एक गणितीय पाठन कक्ष और पुस्तकालय बनाया। 1895 के दौरान, Klein ने David Hilbert को Königsberg विश्वविद्यालय से नियुक्त किया; यह नियुक्ति भाग्यशाली साबित हुई, क्योंकि Hilbert ने 1932 में अपनी सेवानिवृत्ति तक Göttingen की अच्छी प्रतिष्ठा को जारी रखा।
Klein के संपादकत्व के साथ, Mathematische Annalen दुनिया में सबसे अच्छी गणित पत्रिकाओं में से एक बन गई। Clebsch द्वारा स्थापित, केवल Klein के प्रबंधन के साथ ही इसने पहले Berlin विश्वविद्यालय में आधारित Crelle's Journal को प्रतिद्वंद्वी किया फिर आगे निकल गई। Klein ने संपादकों की एक छोटी टीम स्थापित की जो नियमित रूप से मिलती थी, लोकतांत्रिक निर्णय लेती थी। पत्रिका ने जटिल विश्लेषण, बीजगणितीय ज्यामिति, और अपरिवर्तनीय सिद्धांत में विशेषज्ञता रखी कम से कम जब तक Hilbert ने विषय को समाप्त नहीं किया। इसने वास्तविक विश्लेषण और नई समूह सिद्धांत के लिए भी एक महत्वपूर्ण आउटलेट प्रदान किया।
1893 के दौरान Chicago में, Klein World's Columbian Exposition के भाग के रूप में आयोजित अंतर्राष्ट्रीय गणितीय कांग्रेस में एक प्रमुख वक्ता थे। आंशिक रूप से Klein के प्रयासों के कारण, Göttingen ने 1893 में महिलाओं को प्रवेश देना शुरू किया। उन्होंने Göttingen में एक महिला द्वारा गणित में लिखी गई पहली Ph.D. थीसिस की निगरानी की; वह Grace Chisholm Young थी, Arthur Cayley की एक अंग्रेजी छात्रा, जिसकी Klein ने प्रशंसा की। 1897 में Klein Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences का विदेशी सदस्य बन गए।
लगभग 1900 में, Klein स्कूलों में गणितीय निर्देश में रुचि लेने लगे। 1905 के दौरान, वह विश्लेषणात्मक ज्यामिति, अवकल और समाकल पथरी की मूल बातें, और माध्यमिक स्कूलों में सिखाए जाने वाली फ़ंक्शन अवधारणा की सिफारिश करने वाली एक योजना तैयार करने में निर्णायक थे। यह सिफारिश धीरे-धीरे दुनिया भर के कई देशों में लागू की गई। 1908 के दौरान, Klein को Rome अंतर्राष्ट्रीय गणितज्ञ कांग्रेस में गणितीय निर्देश पर अंतर्राष्ट्रीय आयोग का अध्यक्ष चुना गया। उनके मार्गदर्शन में, आयोग के जर्मन भाग ने Germany में सभी स्तरों पर गणित पढ़ाने पर कई खंड प्रकाशित किए।
London Mathematical Society ने 1893 के दौरान Klein को अपना De Morgan Medal प्रदान किया। वह 1885 में Royal Society का सदस्य निर्वाचित हुए, और 1912 में इसे Copley Medal से सम्मानित किया गया। वह अगले साल बीमारी के कारण सेवानिवृत्त हुए, लेकिन कुछ साल और अपने घर पर गणित पढ़ाना जारी रखा।
Klein Manifesto of the Ninety-Three के 93 हस्ताक्षरकर्ताओं में से एक थे, एक दस्तावेज़ जो प्रथम विश्व युद्ध के प्रारंभिक चरणों में Belgium पर जर्मन आक्रमण के समर्थन में लिखा गया था।
Klein को Geheimrat विश्वस्त सलाहकार का शीर्षक दिया गया था।
1925 के दौरान Göttingen में उनकी मृत्यु हुई।
कार्य
Klein की थीसिस, रेखा ज्यामिति और यांत्रिकी के लिए इसके अनुप्रयोगों पर, Weierstrass के प्राथमिक विभाजकों के सिद्धांत का उपयोग करके दूसरी डिग्री लाइन परिसरों को वर्गीकृत किया।
Klein की पहली महत्वपूर्ण गणितीय खोजें 1870 के दौरान की गई थीं। Sophus Lie के साथ सहयोग में, उन्होंने Kummer surface पर asymptotic lines के मौलिक गुणों की खोज की। उन्होंने बाद में W-curves की जांच की, प्रक्षेपी परिवर्तनों के एक समूह के तहत अपरिवर्तनीय वक्र। यह Lie था जिसने Klein को समूह की अवधारणा से परिचित कराया, जो उनके बाद के काम में एक प्रमुख भूमिका निभाने वाला था। Klein ने Camille Jordan से समूहों के बारे में भी सीखा।
Klein ने "Klein bottle" तैयार किया जिसका नाम उनके नाम पर रखा गया, एक एकतरफा बंद सतह जो तीन-आयामी Euclidean space में निहित नहीं हो सकती, लेकिन इसे एक सिलेंडर के रूप में immersed किया जा सकता है जो "अंदर" से अपने दूसरे सिरे के साथ जुड़ने के लिए स्वयं के माध्यम से वापस looped होता है। इसे Euclidean space में 4 और उच्च आयामों में निहित किया जा सकता है। Klein Bottle की अवधारणा को 3-आयामी Möbius strip के रूप में तैयार किया गया था, निर्माण के एक तरीके से दो Möbius strips के किनारों का लगाव।
1890 के दौरान, Klein ने Arnold Sommerfeld के साथ mathematical physics का अधिक गहनता से अध्ययन शुरू किया, gyroscope पर लिखा। 1894 के दौरान, उन्होंने गणित के एक encyclopedia के विचार की शुरुआत की जिसमें इसके अनुप्रयोग भी शामिल थे, जो Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften बन गया। यह उद्यम, जो 1935 तक चला, lasting value के महत्वपूर्ण मानक संदर्भ प्रदान करते हुए।
Erlangen program
1871 के दौरान, Göttingen में रहते हुए, Klein ने ज्यामिति में बड़ी खोजें कीं। उन्होंने "On the So-called Non-Euclidean Geometry" शीर्षक दो पत्र प्रकाशित किए जो दिखाते हैं कि Euclidean और non-Euclidean geometries को Cayley-Klein metric द्वारा निर्धारित metric spaces के रूप में माना जा सकता है। इस अंतर्दृष्टि का परिणाम यह था कि non-Euclidean geometry सुसंगत थी यदि और केवल यदि Euclidean geometry थी, जो geometries Euclidean और non-Euclidean को समान स्थिति देते थे, और non-Euclidean geometry के बारे में सभी विवाद को समाप्त करते थे। Arthur Cayley ने Klein के तर्क को कभी स्वीकार नहीं किया, यह मानते हुए कि यह circular था।
Klein का ज्यामिति के संश्लेषण, एक दिए गए परिवर्तन के समूह के तहत अपरिवर्तनीय स्थान के गुणों के अध्ययन के रूप में, Erlangen program 1872 के रूप में जाना जाता है, गणित के विकास को गहराई से प्रभावित किया। यह कार्यक्रम Klein के Erlangen में प्रोफेसर के रूप में अपने inaugural lecture द्वारा शुरू किया गया था, हालांकि यह अवसर पर उन्होंने दिया गया वास्तविक भाषण नहीं था। कार्यक्रम ने ज्यामिति की एक एकीकृत प्रणाली की प्रस्तावना दी है जो स्वीकृत आधुनिक विधि बन गई है। Klein ने दिखाया कि कैसे एक दिए गए ज्यामिति के आवश्यक गुणों को परिवर्तन के समूह द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है जो उन गुणों को संरक्षित करते हैं। इस प्रकार कार्यक्रम की ज्यामिति की परिभाषा Euclidean और non-Euclidean geometry दोनों को समन्वित करती है।
वर्तमान में Klein के ज्यामिति में योगदान का महत्व अधिक स्पष्ट है, लेकिन क्योंकि वे योगदान अब अजीब या गलत माने जाते हैं। इसके विपरीत, वे योगदान हमारी वर्तमान गणितीय सोच का इतना हिस्सा बन गए हैं कि उनकी नवीनता की सराहना करना हमारे लिए मुश्किल है, और उस तरीके से जो उनके सभी समकालीन द्वारा तुरंत स्वीकार नहीं किया गया था।
जटिल विश्लेषण
Klein ने अपने जटिल विश्लेषण के काम को गणित में अपने प्रमुख योगदान के रूप में देखा, विशेष रूप से उनके निम्नलिखित काम पर:
- Riemann के कुछ विचारों और अपरिवर्तनीय सिद्धांत के बीच लिंक,
- संख्या सिद्धांत और अमूर्त बीजगणित;
- समूह सिद्धांत;
- 3 आयामों से अधिक ज्यामिति और अवकल समीकरण, विशेष रूप से समीकरण जो उन्होंने आविष्कार किए, अर्थात elliptic modular functions और automorphic functions।
Klein ने दिखाया कि modular group complex plane के fundamental region को tessellate करने के लिए स्थानांतरित करता है। 1879 के दौरान, उन्होंने modular group की एक image के रूप में विचार किए गए PSL2,7 की कार्रवाई की जांच की, और Riemann surface का एक स्पष्ट प्रतिनिधित्व प्राप्त किया जिसे अब Klein quartic कहा जाता है।
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