Sophie Germain

Ce qui importe peu, c'est qui arrive en premier à une idée, ce qui est significatif, c'est jusqu'où cette idée peut aller

Marie-Sophie Germain était une mathématicienne, physicienne et philosophe française. Malgré l'opposition initiale de ses parents et les difficultés présentées par la société, elle a acquis son éducation à partir de livres dans la bibliothèque de son père, y compris ceux de Leonhard Euler, et par correspondance avec des mathématiciens célèbres tels que Lagrange, Legendre et Gauss sous le pseudonyme de « Monsieur LeBlanc ». L'une des pionnières de la théorie de l'élasticité, elle a remporté le grand prix de l'Académie des Sciences de Paris pour son essai sur le sujet. Son travail sur le Dernier Théorème de Fermat a fourni une base pour les mathématiciens explorant le sujet pendant des centaines d'années après. En raison des préjugés contre son sexe, elle n'a pas pu faire carrière en mathématiques, mais elle a travaillé de manière indépendante tout au long de sa vie. Avant sa mort, Gauss avait recommandé qu'elle reçoive un doctorat honorifique, mais cela ne s'est jamais produit. Le 27 juin 1831, elle est morte d'un cancer du sein. À l'occasion du centenaire de sa vie, une rue et une école de filles ont été nommées en son honneur. L'Académie des Sciences a établi le Prix Sophie Germain en son honneur.

Débuts de la vie

Famille

Marie-Sophie Germain est née le 1er avril 1776 à Paris, France, dans une maison sur la Rue Saint-Denis. Selon la plupart des sources, son père, Ambroise-François, était un riche marchand de soie, bien que certains croient qu'il était orfèvre. En 1789, il a été élu comme représentant de la bourgeoisie aux États-Généraux, qu'il a vu se transformer en Assemblée constituante. Il est donc supposé que Sophie a été témoin de nombreuses discussions entre son père et ses amis sur la politique et la philosophie. Gray propose qu'après sa carrière politique, Ambroise-François est devenu directeur d'une banque ; en tout cas, la famille est restée assez bien dotée pour soutenir Germain tout au long de sa vie d'adulte.

Marie-Sophie avait une sœur plus jeune, nommée Angélique-Ambroise, et une sœur plus âgée, nommée Marie-Madeline. Sa mère s'appelait aussi Marie-Madeline, et cette profusion de « Marie » a peut-être été la raison pour laquelle elle s'appelait Sophie. Le neveu de Germain Armand-Jacques Lherbette, fils de Marie-Madeline, a publié certains des travaux de Germain après sa mort voir Travail en Philosophie.

Introduction aux mathématiques

Quand Germain avait 13 ans, la Bastille est tombée, et l'atmosphère révolutionnaire de la ville l'a forcée à rester à l'intérieur. Pour se divertir, elle s'est tournée vers la bibliothèque de son père. Ici, elle a trouvé L'Histoire des Mathématiques de J. E. Montucla, et son histoire de la mort d'Archimède l'a intriguée.

Sophie Germain a pensé que si la méthode géométrique, qui à cette époque se référait à l'ensemble des mathématiques pures, pouvait avoir une telle fascination pour Archimède, c'était un sujet digne d'étude. Ainsi, elle a épluché chaque livre de mathématiques dans la bibliothèque de son père, s'enseignant même le latin et le grec, pour pouvoir lire des ouvrages comme ceux de Sir Isaac Newton et Leonhard Euler. Elle a également apprécié Traité d'Arithmétique d'Étienne Bézout et Le Calcul Différentiel de Jacques Antoine-Joseph Cousin. Plus tard, Cousin a visité Germain à la maison, l'encourageant dans ses études.

Les parents de Germain n'approuvaient pas du tout sa soudaine fascination pour les mathématiques, qui était alors considérée comme inappropriée pour une femme. Quand la nuit venait, ils lui refusaient des vêtements chauds et un feu pour sa chambre pour essayer de l'empêcher d'étudier, mais après leur départ, elle sortait des bougies, s'enveloppait dans des courtepointes et faisait des mathématiques. Après un certain temps, sa mère l'a même secrètement soutenue.

École Polytechnique

En 1794, quand Germain avait 18 ans, l'École Polytechnique a ouvert. En tant que femme, Germain était interdite de fréquenter, mais le nouveau système d'éducation rendait les « notes de cours disponibles à tous ceux qui les demandaient ». La nouvelle méthode exigeait également que les étudiants « soumettent des observations écrites ». Germain a obtenu les notes de cours et a commencé à envoyer son travail à Joseph Louis Lagrange, un membre de la faculté. Elle a utilisé le nom d'un ancien étudiant, Monsieur Antoine-Auguste Le Blanc, « craignant », comme elle l'a expliqué plus tard à Gauss, « le ridicule attaché à une femme scientifique ». Quand Lagrange a vu l'intelligence de M. Le Blanc, il a demandé une rencontre, et ainsi Sophie a été forcée de révéler sa véritable identité. Heureusement, Lagrange ne s'est pas soucié que Germain soit une femme, et il est devenu son mentor.

Premiers travaux en théorie des nombres

Correspondance avec Legendre

Germain s'est intéressée pour la première fois à la théorie des nombres en 1798 quand Adrien-Marie Legendre a publié Essai sur la théorie des nombres. Après avoir étudié l'ouvrage, elle a ouvert une correspondance avec lui sur la théorie des nombres, et plus tard, sur l'élasticité. Legendre a montré certains des travaux de Germain dans le Supplément de la deuxième édition de sa Théorie des Nombres, où il l'appelle très ingénieuse « très ingénieux ». Voir aussi Son travail sur le Dernier Théorème de Fermat ci-dessous.

Correspondance avec Gauss

L'intérêt de Germain pour la théorie des nombres a été renouvelé quand elle a lu l'ouvrage monumental de Carl Friedrich Gauss Disquisitiones Arithmeticae. Après trois ans de travail sur les exercices et d'essai de ses propres preuves pour certains des théorèmes, elle a écrit, à nouveau sous le pseudonyme de M. Le Blanc, à l'auteur lui-même, qui était un an plus jeune qu'elle. La première lettre, datée du 21 novembre 1804, discutait les Disquisitiones de Gauss et présentait certains des travaux de Germain sur le Dernier Théorème de Fermat. Dans la lettre, Germain a affirmé avoir prouvé le théorème pour n = p − 1, où p est un nombre premier de la forme p = 8k + 7. Cependant, sa preuve contenait une hypothèse faible, et la réponse de Gauss n'a pas commenté la preuve de Germain.

Vers 1807 les sources diffèrent, pendant les guerres napoléoniennes, les Français occupaient la ville allemande de Braunschweig, où vivait Gauss. Germain, préoccupée qu'il puisse subir le sort d'Archimède, a écrit au Général Pernety, un ami de la famille, lui demandant de s'assurer de la sécurité de Gauss. Le Général Pernety a envoyé un chef de bataillon pour rencontrer personnellement Gauss pour s'assurer qu'il était en sécurité. Il s'avéra que Gauss allait bien, mais il était confus par la mention du nom de Sophie.

Trois mois après l'incident, Germain a révélé sa véritable identité à Gauss. Il a répondu :

Comment puis-je décrire mon étonnement et mon admiration en voyant ma chère correspondante M. Le Blanc transformée en cette personne célèbre... quand une femme, en raison de son sexe, de nos coutumes et de nos préjugés, rencontre infiniment plus d'obstacles que les hommes pour se familiariser avec les problèmes épineux de la théorie des nombres, et surmonter ces entraves et pénétrer ce qui est le plus caché, elle a sans doute le plus noble courage, un talent extraordinaire et un génie supérieur.

Les lettres de Gauss à Olbers montrent que ses louanges pour Germain étaient sincères. Dans la même lettre de 1807, Germain a affirmé que si x n + y n ne peut pas.

Bien que Gauss ait pensé du bien de Germain, ses réponses à ses lettres étaient souvent retardées, et il n'a généralement pas examiné son travail. Finalement, ses intérêts se sont détournés de la théorie des nombres, et en 1809 les lettres ont cessé. Malgré l'amitié entre Germain et Gauss, ils ne se sont jamais rencontrés.

Travail en élasticité

Première tentative de Germain pour le prix de l'Académie

Quand la correspondance de Germain avec Gauss a cessé, elle s'est intéressée à un concours parrainé par l'Académie des Sciences de Paris concernant les expériences d'Ernst Chladni avec des plaques métalliques vibrantes. L'objet du concours, comme l'a déclaré l'Académie, était « de donner la théorie mathématique de la vibration d'une surface élastique et de comparer la théorie aux preuves expérimentales ». Le commentaire de Lagrange selon lequel une solution au problème nécessiterait l'invention d'une nouvelle branche d'analyse a découragé tous sauf deux concurrents, Denis Poisson et Germain. Ensuite, Poisson a été élu à l'Académie, devenant ainsi juge au lieu de concurrent, laissant Germain comme le seul participant au concours.

En 1809, Germain a commencé son travail. Legendre l'a aidée en lui donnant des équations, des références et les recherches actuelles. Elle a soumis son article au début de l'automne 1811 et n'a pas remporté le prix. La commission de jugement a estimé que « les véritables équations du mouvement n'ont pas été établies », même si « les expériences ont présenté des résultats ingénieux ». Lagrange a pu utiliser le travail de Germain pour dériver une équation qui était « correcte selon des hypothèses spéciales ».

Tentatives ultérieures pour le Prix

Le concours a été prolongé de deux ans, et Germain a décidé de réessayer pour le prix. Au début, Legendre a continué à offrir son soutien, mais il a ensuite refusé toute aide. La soumission anonyme de Germain en 1813 était encore parsemée d'erreurs mathématiques, en particulier impliquant des intégrales doubles, et elle n'a reçu qu'une mention honorable car « le fondement fondamental de la théorie n'a pas été établi ». Le concours a été prolongé une fois de plus, et Germain a commencé à travailler sur sa troisième tentative. Cette fois, elle a consulté Poisson. En 1814, il a publié son propre travail sur l'élasticité et n'a pas reconnu l'aide de Germain bien qu'il ait travaillé avec elle sur le sujet et, en tant que juge à la commission de l'Académie, ait eu accès à son travail.

Germain a soumis son troisième article, « Recherches sur la théorie des surfaces élastiques », sous son propre nom, et le 8 janvier 1816, elle est devenue la première femme à remporter un prix de l'Académie des Sciences de Paris. Elle n'a pas assisté à la cérémonie pour recevoir son prix. Bien que Germain ait finalement été récompensée du prix extraordinaire, l'Académie n'en était toujours pas entièrement satisfaite. Germain avait dérivé la bonne équation différentielle un cas spécial de l'équation de Kirchhoff-Love, mais sa méthode n'a pas prédit les résultats expérimentaux avec une grande précision, car elle s'était basée sur une équation incorrecte d'Euler, ce qui a conduit à des conditions aux limites incorrectes. Voici l'équation finale de Germain pour la vibration d'une lame plane :

où N2 est une constante.

Après avoir remporté le concours de l'Académie, elle n'a toujours pas pu assister à ses séances en raison de la tradition de l'Académie d'exclure les femmes autres que les épouses des membres. Sept ans plus tard, cette situation s'est transformée quand elle s'est liée d'amitié avec Joseph Fourier, un secrétaire de l'Académie, qui lui a obtenu des billets pour les séances.

Travaux ultérieurs en élasticité

Germain a publié son essai primé à ses propres frais en 1821, principalement parce qu'elle voulait présenter son travail en opposition à celui de Poisson. Dans l'essai, elle a souligné certaines des erreurs dans sa méthode.

En 1826, elle a soumis une version révisée de son essai de 1821 à l'Académie. Selon Andrea Del Centina, la révision comprenait des tentatives pour clarifier son travail en « introduisant certaines hypothèses simplificatrices ». Cela a mis l'Académie dans une position délicate, car ils pensaient que l'article était « inadéquat et trivial », mais ils ne voulaient pas « la traiter comme une collègue professionnelle, comme ils le feraient avec n'importe quel homme, en rejetant simplement le travail ». Ainsi, Augustin-Louis Cauchy, qui avait été nommé pour examiner son travail, lui a recommandé de le publier, et elle a suivi son conseil.

Un autre travail de Germain sur l'élasticité a été publié à titre posthume en 1831, son « Mémoire sur la courbure des surfaces ». Elle a utilisé la courbure moyenne dans sa recherche voir Honneurs en théorie des nombres.

Travaux ultérieurs en théorie des nombres

Intérêt renouvelé

Le meilleur travail de Germain était en théorie des nombres, et sa contribution la plus significative à la théorie des nombres concernait le Dernier Théorème de Fermat. En 1815, après le concours d'élasticité, l'Académie a offert un prix pour une preuve du Dernier Théorème de Fermat. Cela a ravivé l'intérêt de Germain pour la théorie des nombres, et elle a écrit à Gauss à nouveau après dix ans sans correspondance.

Dans la lettre, Germain a dit que la théorie des nombres était son domaine préféré et qu'elle était dans son esprit tout le temps qu'elle étudiait l'élasticité. Elle a exposé une stratégie pour une preuve générale du Dernier Théorème de Fermat, y compris une preuve pour un cas particulier. La lettre de Germain à Gauss contenait ses progrès substantiels vers une preuve. Elle a demandé à Gauss si son approche du théorème valait la peine d'être poursuivie. Gauss n'a jamais répondu.

Son travail sur le Dernier Théorème de Fermat

Le Dernier Théorème de Fermat peut être divisé en deux cas. Le Cas 1 implique toutes les puissances p qui ne divisent aucun de x, y, ou z. Le Cas 2 comprend tous les p qui divisent au moins un de x, y, ou z. Germain a proposé ce qui suit, communément appelé « Théorème de Sophie Germain »:

1. si xp + yp + zp ≡ 0 (mod P), alors P divise xyz, et
2. p n'est pas un résidu p-ième puissance (mod P).

Alors le premier cas du Dernier Théorème de Fermat est vrai pour p.

Germain a utilisé ce résultat pour prouver le premier cas du Dernier Théorème de Fermat pour tous les nombres premiers impairs p < 100, mais selon Andrea Del Centina, « elle avait en réalité montré qu'il tient pour tout exposant p < 197 ». L. E. Dickson a ensuite utilisé le théorème de Germain