Alors que la Nature n'admet pas plus de trois dimensions ... il peut sembler justement très impropre de parler d'un solide ... tiré dans une quatrième, cinquième, sixième, ou dimension supplémentaire.
John Wallis était un clergyman et mathématicien anglais auquel on attribue un crédit partiel pour le développement du calcul infinitésimal. Entre 1643 et 1689, il a servi en tant que cryptographe en chef pour le Parlement et, plus tard, la cour royale. On lui attribue l'introduction du symbole ∞ pour représenter le concept de l'infini. Il a également utilisé 1/∞ pour un infinitésimal. John Wallis était un contemporain de Newton et l'un des plus grands intellectuels de la première renaissance des mathématiques.
Vie
John Wallis est né à Ashford, Kent. Il était le troisième de cinq enfants du Révérend John Wallis et de Joanna Chapman. Il a d'abord été éduqué dans une école à Ashford mais a déménagé à l'école de James Movat à Tenterden en 1625 suite à une épidémie de peste. Wallis a d'abord été exposé aux mathématiques en 1631, à Felsted School, alors connue sous le nom d'école de Martin Holbeach à Felsted ; il aimait les mathématiques, mais son étude était irrégulière, car « les mathématiques, à cette époque chez nous, étaient à peine considérées comme des études académiques, mais plutôt comme mécaniques » Scriba 1970. À l'école de Felsted, Wallis a appris à parler et à écrire le latin. À ce moment-là, il maîtrisait également le français, le grec et l'hébreu. Comme il était prévu qu'il soit docteur, il a été envoyé en 1632 à Emmanuel College, Cambridge. Là-bas, il a tenu un acte sur la doctrine de la circulation du sang ; on a dit que c'était la première occasion en Europe où cette théorie a été publiquement soutenue dans une dispute. Ses intérêts, cependant, se sont concentrés sur les mathématiques. Il a reçu son diplôme de Bachelor of Arts en 1637 et une maîtrise en 1640, entrant ensuite dans la prêtrise. De 1643 à 1649, il a servi en tant que scribe sans droit de vote à l'Assemblée de Westminster. Il a été élu à une bourse au Queens' College, Cambridge en 1644, dont il a dû démissionner suite à son mariage.
Pendant tout ce temps, Wallis avait été proche du parti parlementaire, peut-être en raison de son exposition à Holbeach à Felsted School. Il leur a rendu une grande aide pratique en déchiffrant les dépêches royalistes. La qualité de la cryptographie à cette époque était mixte ; malgré les succès individuels de mathématiciens tels que François Viète, les principes sous-jacents à la conception et l'analyse des chiffres étaient très mal compris. La plupart des chiffres étaient des méthodes ad hoc reposant sur un algorithme secret, par opposition aux systèmes basés sur une clé variable. Wallis a réalisé que ces derniers étaient bien plus sûrs – les décrivant même comme « incassables », bien qu'il n'ait pas confiance en cette affirmation pour encourager la révélation des algorithmes cryptographiques. Il était également préoccupé par l'utilisation de chiffres par les puissances étrangères, refusant, par exemple, la demande de Gottfried Leibniz en 1697 d'enseigner la cryptographie aux étudiants hanovériens.
De retour à Londres – il avait été nommé aumônier à St Gabriel Fenchurch en 1643 – Wallis a rejoint le groupe de scientifiques qui allait plus tard évoluer en Royal Society. Il a enfin pu se livrer à ses intérêts mathématiques, maîtrisant la Clavis Mathematicae de William Oughtred en quelques semaines en 1647. Il a bientôt commencé à écrire ses propres traités, traitant d'une large gamme de sujets, qu'il a poursuivis pour le reste de sa vie. Wallis a écrit le premier sondage sur les concepts mathématiques en Angleterre où il a discuté du système hindou-arabe.
Wallis a rejoint les Presbytériens modérés en signant la remonstrance contre l'exécution de Charles I, ce qui lui a valu l'hostilité durable des Indépendants. Malgré leur opposition, il a été nommé en 1649 à la Chaire de Géométrie Savilien à l'Université d'Oxford, où il a vécu jusqu'à sa mort le 8 novembre 1703. En 1650, Wallis a été ordonné comme ministre. Après, il a passé deux ans avec Sir Richard Darley et Lady Vere en tant qu'aumônier privé. En 1661, il était l'un des douze représentants presbytériens à la Conférence de Savoy.
En plus de ses travaux mathématiques, il a écrit sur la théologie, la logique, la grammaire anglaise et la philosophie, et il a participé à la mise au point d'un système pour enseigner à un garçon sourd à parler à Littlecote House. William Holder avait auparavant enseigné à un homme sourd, Alexander Popham, à parler « clairement et distinctement, et avec un bon ton gracieux ». Wallis a plus tard revendiqué le crédit pour ceci, ce qui a amené Holder à accuser Wallis de « piller ses voisins, et s'orner de leurs dépouilles ».
La nomination de Wallis en tant que Professeur Savilien de Géométrie à l'Université d'Oxford
La visite parlementaire d'Oxford qui a commencé en 1647 a retiré de nombreux académiciens seniors de leurs postes, y compris en novembre 1648 les Professeurs Savilien de Géométrie et d'Astronomie. En 1649, Wallis a été nommé Professeur Savilien de Géométrie. Wallis semble avoir été choisi largement sur des motifs politiques, comme avait peut-être été son prédécesseur royaliste Peter Turner, qui malgré sa nomination à deux chaires n'a jamais publié aucuns travaux mathématiques ; tandis que Wallis était peut-être le cryptographe national le plus important et faisait partie d'un groupe informel de scientifiques qui allait plus tard devenir la Royal Society, il n'avait aucune réputation particulière en tant que mathématicien. Néanmoins, la nomination de Wallis s'est avérée richement justifiée par ses travaux ultérieurs pendant les 54 ans qu'il a servi en tant que Professeur Savilien.
Contributions aux mathématiques
Wallis a apporté des contributions significatives à la trigonométrie, au calcul, à la géométrie et à l'analyse des séries infinies. Dans son Opera Mathematica I 1695, il a introduit le terme « fraction continue ».
Wallis a rejeté comme absurde l'idée maintenant habituelle d'un nombre négatif comme étant inférieur à rien, mais a accepté l'avis que c'est quelque chose de plus grand que l'infini. L'argument selon lequel les nombres négatifs sont plus grands que l'infini implique le quotient 1 x et considère ce qui se passe lorsque x s'approche et puis dépasse le point x = 0 du côté positif. Malgré cela, on lui attribue généralement l'idée d'une droite numérique, dans laquelle les nombres sont représentés géométriquement sur une droite avec les nombres négatifs représentés par des longueurs opposées en direction aux longueurs des nombres positifs.
Géométrie analytique
En 1655, Wallis a publié un traité sur les sections coniques dans lequel elles étaient définies analytiquement. C'était le premier livre dans lequel ces courbes sont considérées et définies comme des courbes du second degré. Il a aidé à supprimer une partie de la difficulté perçue et de l'obscurité du travail de René Descartes sur la géométrie analytique. Dans le Traité sur les Sections Coniques, Wallis a popularisé le symbole ∞ pour l'infini. Il a écrit : « Je suppose que tout plan suivant la Géométrie des Indivisibles de Cavalieri est composé d'un nombre infini de lignes parallèles, ou comme je le préférerais, d'un nombre infini de parallélogrammes de la même altitude ; que l'altitude de chacun de ceux-ci soit une partie infiniment petite 1/∞ de l'altitude totale, et que le symbole ∞ désigne l'Infini et l'altitude de tous pour constituer l'altitude de la figure. »
Calcul intégral
Arithmetica Infinitorum, le plus important des travaux de Wallis, a été publié en 1656. Dans ce traité, les méthodes d'analyse de Descartes et Cavalieri ont été systématisées et étendues, mais certaines idées étaient ouvertes à la critique. Il a commencé, après un court traité sur les sections coniques, en développant la notation standard pour les puissances, les étendant des entiers positifs aux nombres rationnels :
Laissant les nombreuses applications algébriques de cette découverte, il a ensuite procédé à trouver, par intégration, l'aire délimitée entre la courbe y = xm, l'axe des x, et toute ordonnée x = h, et il a prouvé que le rapport de cette aire à celle du parallélogramme sur la même base et de la même hauteur est 1/m + 1, étendant la formule de quadrature de Cavalieri. Il a apparemment supposé que le même résultat serait vrai également pour la courbe y = axm, où a est une constante quelconque, et m tout nombre positif ou négatif, mais il a discuté uniquement du cas de la parabole dans lequel m = 2 et de l'hyperbole dans lequel m = −1. Dans ce dernier cas, son interprétation du résultat est incorrecte. Il a ensuite montré que des résultats similaires peuvent être notés pour toute courbe de la forme
et donc que, si l'ordonnée y d'une courbe peut être développée en puissances de x, son aire peut être déterminée : ainsi il dit que si l'équation de la courbe est y = x + x1 + x2 + ..., son aire serait x + x2/2 + x3/3 + ... Il a ensuite appliqué ceci à la quadrature des courbes y = x − x2, y = x − x21, y = x − x22, etc., prises entre les limites x = 0 et x = 1. Il montre que les aires sont, respectivement, 1, 1/6, 1/30, 1/140, etc. Il a ensuite considéré les courbes de la forme y = x1/m et a établi le théorème que l'aire délimitée par cette courbe et les droites x = 0 et x = 1 est égale à l'aire du rectangle sur la même base et de la même altitude que m : m + 1. Ceci est équivalent à calculer
Il l'a illustré par la parabole, dans lequel cas m = 2. Il a affirmé, mais n'a pas prouvé, le résultat correspondant pour une courbe de la forme y = xp/q.
Wallis a montré une ingéniosité considérable en réduisant les équations des courbes aux formes données ci-dessus, mais, comme il n'était pas familier avec le théorème binomial, il ne pouvait pas accomplir la quadrature du cercle, dont l'équation est y = 1 − x 2 pourrait être considérée comme la moyenne géométrique des valeurs de
c'est-à-dire que 1 et 2 3 doivent être choisis de manière à obéir à la loi de cette série. Ceci, par une méthode élaborée qui n'est pas décrite ici en détail, conduit à une valeur du terme interpolé qui est équivalente à prendre
ce qui est maintenant connu sous le nom de produit de Wallis.
Dans ce travail également, la formation et les propriétés des fractions continues sont discutées, le sujet ayant été mis en évidence par l'utilisation de ces fractions par Brouncker.
Quelques années plus tard, en 1659, Wallis a publié un traité contenant la solution des problèmes sur la cycloïde qui avaient été proposés par Blaise Pascal. En ceci, il a accidentellement expliqué comment les principes énoncés dans son Arithmetica Infinitorum pourraient être utilisés pour la rectification des courbes algébriques et a donné une solution du problème pour rectifier, c'est-à-dire trouver la longueur de la parabole semicubique x3 = ay2, qui avait été découverte en 1657 par son élève William Neile. Puisque toutes les tentatives pour rectifier l'ellipse et l'hyperbole avaient nécessairement échoué, on supposait qu'aucune courbe ne pouvait être rectifiée, comme Descartes l'avait en effet affirmé être le cas. La spirale logarithmique avait été rectifiée par Evangelista Torricelli et était la première courbe autre que le cercle dont la longueur avait été déterminée, mais l'extension par Neile et Wallis à une courbe algébrique était nouvelle. La cycloïde était la courbe suivante rectifiée ; cela a été fait par Christopher Wren en 1658.
Au début de 1658, une découverte similaire, indépendante de celle de Neile, a été faite par van Heuraët, et cela a été publié par van Schooten dans son édition de la Geometria de Descartes en 1659. La méthode de van Heuraët est la suivante. Il suppose que la courbe est rapportée à des axes rectangulaires ; s'il en est ainsi, et si x, y sont les coordonnées d'un point quelconque sur celle-ci, et n est la longueur de la normale, et si un autre point dont les coordonnées sont x, η est pris tel que η : h = n : y, où h est une constante ; alors, si ds est l'élément de la longueur de la courbe requise, nous avons par des triangles similaires ds : dx = n : y. Par conséquent, h ds = η dx. D'où, si l'aire du lieu du point x, η peut être trouvée, la première courbe peut être rectifiée. De cette manière, van Heuraët a effectué la rectification de la courbe y3 = ax2 mais a ajouté que la rectification de la parabole y2 = ax est impossible. car elle nécessite la quadrature de l'hyperbole. Les solutions données par Neile et Wallis sont quelque peu similaires à celle donnée par van Heuraët, bien qu'aucune règle générale ne soit énoncée, et l'analyse est maladroite. Une troisième méthode a été suggérée par Fermat en 1660, mais elle est inélégante et laborieuse.
Collision de corps
La théorie de la collision de corps a été proposée par la Royal Society en 1668 pour la considération des mathématiciens. Wallis, Christopher Wren et Christian Huygens ont envoyé des solutions correctes et similaires, toutes dépendant de ce qui est maintenant appelé la conservation de la quantité de mouvement ; mais, tandis que Wren et Huygens ont confiné leur théorie aux corps parfaitement élastiques, collision élastique, Wallis a également considéré les corps imparfaitement élastiques, collision inélastique. Ceci a été suivi en 1669 par un travail sur la statique, centres de gravité, et en 1670 par un sur la dynamique : ceux-ci fournissent un synopsis pratique de ce qui était alors connu sur le sujet.
Algèbre
En 1685, Wallis a publié Algebra, précédé d'un compte rendu historique du développement du sujet, qui contient une grande partie d'informations précieuses. La deuxième édition, publiée en 1693 et formant le deuxième volume de son Opera, a été considérablement agrandie. Cette algèbre est remarquable en contenant le premier usage systématique de formules. Une magnitude donnée est ici représentée par le rapport numérique qu'elle porte à l'unité de la même sorte de magnitude : ainsi, quand Wallis veut comparer deux longueurs, il regarde chacune comme contenant un certain nombre d'unités de longueur. Ceci sera peut-être rendu plus clair en notant que la relation entre l'espace décrit en tout moment par une particule se déplaçant avec une vitesse uniforme est désignée par Wallis par la formule
s = vt,
où s est le nombre représentant le rapport de l'espace décrit à l'unité de longueur ; tandis que
