Sophie Germain

Importa poco quién llega primero a una idea, lo significativo es qué tan lejos puede llegar esa idea

Marie-Sophie Germain fue una matemática, física y filósofa francesa. A pesar de la oposición inicial de sus padres y las dificultades presentadas por la sociedad, obtuvo educación de libros en la biblioteca de su padre, incluidos los de Leonhard Euler, y de correspondencia con matemáticos famosos como Lagrange, Legendre y Gauss bajo el seudónimo de «Monsieur LeBlanc». Una de las pioneras de la teoría de la elasticidad, ganó el gran premio de la Academia de Ciencias de París por su ensayo sobre el tema. Su trabajo sobre el Último Teorema de Fermat proporcionó una base para los matemáticos que exploraron el tema durante cientos de años después. Debido a los prejuicios contra su sexo, no pudo hacer carrera en matemáticas, pero trabajó de forma independiente durante toda su vida. Antes de su muerte, Gauss había recomendado que se le otorgara un título honorario, pero eso nunca ocurrió. El 27 de junio de 1831, murió de cáncer de mama. En el centenario de su vida, una calle y una escuela para niñas fueron nombradas en su honor. La Academia de Ciencias estableció el Premio Sophie Germain en su honor.

Primeros años

Familia

Marie-Sophie Germain nació el 1 de abril de 1776, en París, Francia, en una casa en la Rue Saint-Denis. Según la mayoría de las fuentes, su padre, Ambroise-François, era un rico comerciante de seda, aunque algunos creen que era orfebre. En 1789, fue elegido como representante de la burguesía ante los États-Généraux, que lo vio transformarse en la Asamblea Constitucional. Por lo tanto, se asume que Sophie fue testiga de muchas discusiones entre su padre y sus amigos sobre política y filosofía. Gray propone que después de su carrera política, Ambroise-François se convirtió en director de un banco; en cualquier caso, la familia se mantuvo lo suficientemente acomodada para apoyar a Germain durante su vida adulta.

Marie-Sophie tenía una hermana menor, nombrada Angélique-Ambroise, y una hermana mayor, nombrada Marie-Madeline. Su madre también se llamaba Marie-Madeline, y esta plétora de «Maries» puede haber sido la razón por la que se conocía como Sophie. El sobrino de Germain Armand-Jacques Lherbette, hijo de Marie-Madeline, publicó parte del trabajo de Germain después de su muerte ver Trabajo en Filosofía.

Introducción a las matemáticas

Cuando Germain tenía 13 años, la Bastilla cayó, y la atmósfera revolucionaria de la ciudad la obligó a quedarse dentro. Para entretenerse, se dirigió a la biblioteca de su padre. Aquí encontró L'Histoire des Mathématiques de J. E. Montucla, y la historia de la muerte de Arquímedes la intrigó.

Sophie Germain pensó que si el método de la geometría, que en ese momento se refería a todas las matemáticas puras, podía mantener tal fascinación para Arquímedes, era un tema digno de estudio. Así que estudió minuciosamente todos los libros de matemáticas en la biblioteca de su padre, incluso enseñándose a sí misma latín y griego, para poder leer obras como las de Sir Isaac Newton y Leonhard Euler. También disfrutaba del Traité d'Arithmétique de Étienne Bézout y Le Calcul Différentiel de Jacques Antoine-Joseph Cousin. Más tarde, Cousin visitó a Germain en su casa, alentándola en sus estudios.

Los padres de Germain no aprobaban en absoluto su fascinación repentina por las matemáticas, que entonces se consideraba inapropiada para una mujer. Cuando llegaba la noche, le negarían ropa cálida y un fuego en su dormitorio para intentar evitar que estudiara, pero después de que se iban, ella sacaba velas, se envolvía en colchas y hacía matemáticas. Después de un tiempo, su madre incluso la apoyó en secreto.

École Polytechnique

En 1794, cuando Germain tenía 18 años, la École Polytechnique abrió. Como mujer, a Germain se le prohibió asistir, pero el nuevo sistema de educación puso las «notas de clase disponibles para todos los que las pidieran». El nuevo método también requería que los estudiantes «enviaran observaciones escritas». Germain obtuvo las notas de clase y comenzó a enviar su trabajo a Joseph Louis Lagrange, miembro de la facultad. Utilizó el nombre de un antiguo estudiante Monsieur Antoine-Auguste Le Blanc, «temiendo», como luego le explicó a Gauss, «el ridículo adjunto a una científica». Cuando Lagrange vio la inteligencia de M. Le Blanc, solicitó una reunión, y así Sophie se vio obligada a revelar su verdadera identidad. Afortunadamente, a Lagrange no le importaba que Germain fuera mujer, y se convirtió en su mentor.

Trabajo inicial en teoría de números

Correspondencia con Legendre

Germain se interesó por primera vez en la teoría de números en 1798 cuando Adrien-Marie Legendre publicó Essai sur la théorie des nombres. Después de estudiar la obra, abrió correspondencia con él sobre teoría de números y, más tarde, elasticidad. Legendre mostró parte del trabajo de Germain en el Supplément a su segunda edición de la Théorie des Nombres, donde la llama très ingénieuse «muy ingeniosa». Ver también Su trabajo sobre el Último Teorema de Fermat a continuación.

Correspondencia con Gauss

El interés de Germain en la teoría de números se renovó cuando leyó la monumental obra de Carl Friedrich Gauss Disquisitiones Arithmeticae. Después de tres años de trabajar en los ejercicios e intentar sus propias pruebas para algunos de los teoremas, escribió, de nuevo bajo el seudónimo de M. Le Blanc, al autor mismo, quien era un año más joven que ella. La primera carta, fechada el 21 de noviembre de 1804, discutió el Disquisitiones de Gauss y presentó parte del trabajo de Germain sobre el Último Teorema de Fermat. En la carta, Germain afirmó haber probado el teorema para n = p − 1, donde p es un número primo de la forma p = 8k + 7. Sin embargo, su prueba contenía una suposición débil, y la respuesta de Gauss no comentó sobre la prueba de Germain.

Alrededor de 1807 las fuentes difieren, durante las guerras napoleónicas, los franceses ocupaban la ciudad alemana de Braunschweig, donde vivía Gauss. Germain, preocupada de que pudiera sufrir el destino de Arquímedes, escribió al General Pernety, un amigo de la familia, pidiéndole que asegurara la seguridad de Gauss. El General Pernety envió un jefe de batallón para reunirse personalmente con Gauss para asegurar que estaba seguro. Como resultó, Gauss estaba bien, pero estaba confundido por la mención del nombre de Sophie.

Tres meses después del incidente, Germain reveló su verdadera identidad a Gauss. Él respondió:

¿Cómo puedo describir mi asombro y admiración al ver a mi estimado corresponsal M. Le Blanc transformado en esta persona célebre ... cuando una mujer, por su sexo, nuestras costumbres y prejuicios, encuentra infinitamente más obstáculos que los hombres para familiarizarse con [los problemas complicados de la teoría de números], sin embargo, supera estas cadenas y penetra lo que está más oculto, ella sin duda tiene el coraje más noble, talento extraordinario y genio superior.

Las cartas de Gauss a Olbers muestran que su elogio a Germain fue sincero. En la misma carta de 1807, Germain afirmó que si x n + y n no puede.

Aunque Gauss tenía una buena opinión de Germain, sus respuestas a sus cartas a menudo se retrasaban, y generalmente no revisaba su trabajo. Eventualmente sus intereses se alejaron de la teoría de números, y en 1809 las cartas cesaron. A pesar de la amistad de Germain y Gauss, nunca se conocieron.

Trabajo en elasticidad

Primer intento de Germain por el Premio de la Academia

Cuando la correspondencia de Germain con Gauss cesó, se interesó en un concurso patrocinado por la Academia de Ciencias de París sobre los experimentos de Ernst Chladni con placas metálicas vibrantes. El objeto de la competencia, según lo indicado por la Academia, fue «dar la teoría matemática de la vibración de una superficie elástica y comparar la teoría con la evidencia experimental». El comentario de Lagrange de que una solución al problema requeriría la invención de una nueva rama del análisis disuadió a todos excepto a dos concursantes, Denis Poisson y Germain. Luego Poisson fue elegido para la Academia, convirtiéndose así en juez en lugar de concursante, dejando a Germain como la única participante en la competencia.

En 1809 Germain comenzó a trabajar. Legendre ayudó dándole ecuaciones, referencias e investigación actual. Presentó su artículo a principios del otoño de 1811 y no ganó el premio. La comisión de juzgamiento sintió que «las verdaderas ecuaciones del movimiento no fueron establecidas», aunque «los experimentos presentaron resultados ingeniosos». Lagrange fue capaz de usar el trabajo de Germain para derivar una ecuación que fue «correcta bajo suposiciones especiales».

Intentos posteriores por el Premio

El concurso se extendió por dos años, y Germain decidió intentar nuevamente por el premio. Al principio Legendre continuó ofreciendo apoyo, pero luego se negó a toda ayuda. La presentación anónima de Germain en 1813 seguía repleta de errores matemáticos, especialmente en integrales dobles, y recibió solo una mención honorífica porque «la base fundamental de la teoría no fue establecida». El concurso se extendió una vez más, y Germain comenzó a trabajar en su tercer intento. Esta vez consultó con Poisson. En 1814 publicó su propio trabajo sobre elasticidad sin reconocer la ayuda de Germain aunque había trabajado con ella en el tema y, como juez de la comisión de la Academia, había tenido acceso a su trabajo.

Germain presentó su tercer documento, «Recherches sur la théorie des surfaces élastiques», bajo su propio nombre, y el 8 de enero de 1816 se convirtió en la primera mujer en ganar un premio de la Academia de Ciencias de París. No asistió a la ceremonia para recibir su premio. Aunque Germain finalmente fue galardonada con el prix extraordinaire, la Academia todavía no estaba completamente satisfecha. Germain había derivado la ecuación diferencial correcta un caso especial de la ecuación de Kirchhoff–Love, pero su método no predijo resultados experimentales con gran precisión, ya que se había basado en una ecuación incorrecta de Euler, lo que llevó a condiciones de contorno incorrectas. Aquí está la ecuación final de Germain para la vibración de una lámina plana:

donde N2 es una constante.

Después de ganar el concurso de la Academia, aún no podía asistir a sus sesiones debido a la tradición de la Academia de excluir a las mujeres excepto a las esposas de los miembros. Siete años después esta situación se transformó, cuando hizo amistad con Joseph Fourier, secretario de la Academia, quien obtuvo entradas a las sesiones para ella.

Trabajo posterior en elasticidad

Germain publicó su ensayo ganador del premio a sus propias expensas en 1821, principalmente porque quería presentar su trabajo en oposición al de Poisson. En el ensayo señaló algunos de los errores en su método.

En 1826 presentó una versión revisada de su ensayo de 1821 a la Academia. Según Andrea Del Centina, la revisión incluía intentos de aclarar su trabajo mediante «la introducción de ciertas hipótesis simplificadoras». Esto puso a la Academia en una posición incómoda, ya que sintieron que el documento era «inadecuado y trivial», pero no querían «tratarla como una colega profesional, como lo harían con cualquier hombre, simplemente rechazando el trabajo». Así que Augustin-Louis Cauchy, quien había sido designado para revisar su trabajo, le recomendó que lo publicara, y ella siguió su consejo.

Otro trabajo de Germain sobre elasticidad fue publicado póstumamente en 1831, su «Mémoire sur la courbure des surfaces». Utilizó la curvatura media en su investigación ver Honores en teoría de números.

Trabajo posterior en teoría de números

Renovado interés

El mejor trabajo de Germain fue en teoría de números, y su contribución más significativa a la teoría de números se ocupó del Último Teorema de Fermat. En 1815, después del concurso de elasticidad, la Academia ofreció un premio por una prueba del Último Teorema de Fermat. Reactivó el interés de Germain en la teoría de números, y escribió a Gauss nuevamente después de diez años sin correspondencia.

En la carta, Germain dijo que la teoría de números era su campo preferido y que estaba en su mente todo el tiempo que estudiaba elasticidad. Esbozó una estrategia para una prueba general del Último Teorema de Fermat, incluida una prueba para un caso especial. La carta de Germain a Gauss contenía su progreso sustancial hacia una prueba. Preguntó a Gauss si su enfoque al teorema valía la pena perseguir. Gauss nunca respondió.

Su trabajo sobre el Último Teorema de Fermat

El Último Teorema de Fermat se puede dividir en dos casos. El Caso 1 implica todas las potencias p que no dividen ninguno de x, y, o z. El Caso 2 incluye todo p que divide al menos uno de x, y, o z. Germain propuso lo siguiente, comúnmente llamado «Teorema de Sophie Germain»:

1. si xp + yp + zp ≡ 0 (mod P), entonces P divide xyz, y
2. p no es un residuo de p-ésima potencia (mod P).

Entonces el primer caso del Último Teorema de Fermat se cumple para p.

Germain usó este resultado para probar el primer caso del Último Teorema de Fermat para todos los primos impares p < 100, pero según Andrea Del Centina, «en realidad había mostrado que se mantiene para cada exponente p < 197». L. E. Dickson usó más tarde el teor de Germain