我们必须知道。我们将会知道。
David Hilbert是一位德国数学家，也是19世纪和20世纪初最具影响力和最全能的数学家之一。Hilbert在许多领域发现和发展了广泛的基础思想，包括不变量理论、变分法、交换代数、代数数论、几何基础、算子谱论及其在积分方程中的应用、数学物理以及数学基础，特别是证明论。
Hilbert采纳并热情维护了Georg Cantor的集合论和超限数。他在数学中的领导力的一个著名例子是他在1900年提出的一系列问题，这些问题为20世纪的大量数学研究奠定了基础。
Hilbert及其学生对建立数学严谨性做出了重大贡献，并开发了在现代数学物理中使用的重要工具。Hilbert以证明论和数学逻辑的创始人之一而闻名。
生平
早年生活与教育
Hilbert是Otto和Maria Therese Erdtmann Hilbert的两个孩子中的长子，也是唯一的儿子。他出生在普鲁士省、普鲁士王国，根据Hilbert本人的说法出生在Königsberg，或者在Wehlau（自1946年以来被称为Znamensk，靠近Königsberg），他的父亲在他出生时在那里工作。
1872年末，Hilbert进入了Friedrichskolleg Gymnasium Collegium fridericianum（Immanuel Kant在140年前就读过的同一所学校）；但在度过了一段不愉快的时期后，他于1879年末转入更面向科学的Wilhelm Gymnasium，并于1880年初毕业。1880年秋天毕业后，Hilbert进入了Königsberg大学（"Albertina"）。1882年初，比Hilbert小两岁、也是Königsberg人的Hermann Minkowski在去Berlin学习三个学期后回到了Königsberg并进入大学。Hilbert与这位害羞而聪慧的Minkowski建立了终身的友谊。
职业生涯
1884年，Adolf Hurwitz从Göttingen来到此地担任Extraordinarius（副教授）。三人之间开始了一段紧张而富有成效的科学交流，Minkowski和Hilbert尤其会在他们科学生涯的不同阶段互相施加影响。Hilbert在1885年获得博士学位，其博士论文由Ferdinand von Lindemann指导，题目为《Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen》（"论特殊二元形式的不变性质，特别是球谐函数"）。
Hilbert从1886年到1895年在Königsberg大学担任Privatdozent（高级讲师）。1895年，在Felix Klein的斡旋下，他获得了Göttingen大学数学教授的职位。在Klein和Hilbert的任期内，Göttingen成为了数学世界的首要机构。他在那里度过了余生。
Göttingen学派
Hilbert的学生包括Hermann Weyl、国际象棋冠军Emanuel Lasker、Ernst Zermelo和Carl Gustav Hempel。John von Neumann是他的助手。在Göttingen大学，Hilbert被20世纪一些最重要的数学家的社交圈所包围，例如Emmy Noether和Alonzo Church。
在Hilbert在Göttingen的69名博士学生中，许多人后来成为了著名的数学家，包括（带有论文日期）：Otto Blumenthal 1898、Felix Bernstein 1901、Hermann Weyl 1908、Richard Courant 1910、Erich Hecke 1910、Hugo Steinhaus 1911以及Wilhelm Ackermann 1925。从1902年到1939年，Hilbert是《Mathematische Annalen》的编辑，这是当时领先的数学期刊。
"很好，他没有足够的想象力来成为一名数学家"。——Hilbert在听说他的一位学生放弃学业去学习诗歌时的回应。
晚年
大约在1925年，Hilbert患上了恶性贫血，这是一种当时无法治疗的维生素缺乏症，其主要症状是疲惫；他的助手Eugene Wigner描述他遭受"巨大疲劳"的折磨，并说他"看起来很老"，即使在最终被诊断并治疗后，他"在1925年之后几乎不是一名科学家，肯定不是Hilbert"。
Hilbert活着看到了纳粹在1933年清洗了Göttingen大学许多杰出的教职员工。被赶出的人包括在Hilbert于1930年退休时接任其职位的Hermann Weyl、Emmy Noether和Edmund Landau。必须离开德国的Paul Bernays曾与Hilbert在数学逻辑方面进行过合作，并与他共同撰写了重要著作《Grundlagen der Mathematik》，该著作最终分两卷出版，分别在1934年和1939年。这是Hilbert–Ackermann著作《Principles of Mathematical Logic》（1928年）的续集。Hermann Weyl的继任者是Helmut Hasse。
大约一年后，Hilbert参加了一场宴会，被安排坐在新任教育部长Bernhard Rust的身边。Rust问"数学研究所因为犹太人的离去而遭受了很大损失吗？"Hilbert回答说"遭受损失？它根本不存在了，不是吗！"
去世
到Hilbert在1943年去世时，纳粹已经基本上重新配置了该大学的全部人员，许多前任教职员工要么是犹太人，要么与犹太人结婚。参加Hilbert葬礼的不足一打人，其中只有两位是同行学者，包括Arnold Sommerfeld，一位理论物理学家，也是Königsberg的本地人。他的死讯直到他去世六个月后才为世人所知。
他在Göttingen的墓碑上的铭文包含了他在1930年9月8日对德国科学家和医生学会的退休演讲结尾所说的著名言辞。这些言辞是对拉丁格言"Ignoramus et ignorabimus"或"我们不知道，我们将不知道"的回应：
英文版本：
我们必须知道。
我们将会知道。
在Hilbert在1930年德国科学家和医生学会年会上发表这些措辞的前一天，Kurt Gödel在与学会会议共同举办的《认识论会议》的圆桌讨论中试探性地宣布了他的不完全性定理的第一个表达。Gödel的不完全性定理表明，即使是Peano算术等基础公理系统也要么是自相矛盾的，要么包含无法证明或反驳的逻辑命题。
个人生活
1892年，Hilbert娶了来自德国犹太家庭的Käthe Jerosch（1864–1945），她是"Königsberg商人的女儿，一位思想独立、性格坚强的年轻女性，其独立精神与他不相上下"。在Königsberg期间，他们有一个孩子，Franz Hilbert（1893–1969）。
Hilbert的儿子Franz终身患有未诊断的精神疾病。他智力低下让他的父亲感到极大失望，这一不幸对Göttingen的数学家和学生造成了困扰。
Hilbert认为数学家Hermann Minkowski是他的"最好和最真实的朋友"。
Hilbert在普鲁士福音教会中受洗并被抚养为加尔文派信徒。他后来离开了教会，成为了不可知论者。他还主张数学真理独立于上帝的存在或其他先验假设。当Galileo Galilei因未能为日心说坚持己见而受到批评时，Hilbert表示反对："但他不是白痴。只有白痴才会认为科学真理需要殉道；这在宗教中可能是必要的，但科学成果最终会自我证明。"
Hilbert解决Gordan问题
Hilbert在不变函数上的第一部著作使他在1888年证明了他著名的有限性定理。二十年前，Paul Gordan使用复杂的计算方法证明了二元形式生成元有限性定理。尝试将他的方法推广到具有两个以上变量的函数失败了，因为涉及的计算难度极大。为了解决在某些圈子里已知的Gordan问题，Hilbert意识到有必要采取完全不同的方法。结果，他证明了Hilbert基定理，证明了对任何数量的变量的形式的不变量存在有限的生成元集合，但形式是抽象的。也就是说，虽然证明了这样一个集合的存在，但它不是构造性证明——它没有展示"一个对象"——而是存在性证明，并依赖于在无限扩展中使用排中律。
Hilbert将他的成果寄给了《Mathematische Annalen》。Gordan是《Mathematische Annalen》上不变量理论的专家，无法理解Hilbert定理的革命性性质，拒绝了这篇文章，批评其阐述不够全面。他的评论是：
这不是数学。这是神学
另一方面，Klein认识到了这项工作的重要性，并保证不做任何改动就发表它。在Klein的鼓励下，Hilbert在第二篇文章中扩展了他的方法，提供了最小生成元集合的最大次数的估计，并再次将其寄给了《Annalen》。阅读完手稿后，Klein写信给他说：
毫无疑问，这是《Annalen》有史以来发表的最重要的一般代数著作。
后来，在Hilbert方法的有用性被普遍认可后，Gordan本人会说：
我已经确信，即使是神学也有其优点。
尽管取得了所有这些成功，但他的证明的性质造成了比Hilbert想象的更多麻烦。虽然Kronecker已经让步，但Hilbert后来会回应其他人提出的类似批评，即"许多不同的构造归结为一个基本思想"——换句话说，引用Reid的话："通过存在性证明，Hilbert能够获得一个构造"；"证明"即页面上的符号就是"对象"。并非所有人都被说服。虽然Kronecker不久之后就去世了，但他的建构主义哲学将继续伴随年轻的Brouwer及其发展中的直觉主义"学派"，这让Hilbert在晚年感到极大的痛苦。事实上，Hilbert会失去他的"天赋弟子"Weyl给直觉主义——"Hilbert因他的前学生对Brouwer思想的迷恋而感到不安，这唤起了Hilbert对Kronecker的回忆"。特别是直觉主义者Brouwer反对在无限集合上使用Hilbert所使用的排中律。Hilbert回应说：
几何的公理化
Hilbert在1899年出版的文本《Grundlagen der Geometrie》（译：《几何基础》）提出了一个形式体系，称为Hilbert公理，替代了传统的欧几里得公理。它们避免了欧几里得著作中已识别的弱点，当时这些著作仍被用作教科书。指定Hilbert使用的公理而不参考《Grundlagen》的出版历史是困难的，因为Hilbert多次改变和修改了它们。原始专著很快被法文翻译所追随，Hilbert在其中添加了V.2，即完备性公理。由Hilbert授权的英文翻译由E.J. Townsend进行，并于1902年获得版权。这个翻译纳入了法文翻译中所做的更改，因此被认为是第二版的翻译。Hilbert继续对文本进行更改，出现了多个德文版本。第七版是在Hilbert有生之年出现的最后一版。第七版之后出现了新版本，但主要文本基本上没有被修改。
Hilbert的方法标志着向现代公理化方法的转变。在这方面，Hilbert被Moritz Pasch在1882年的工作所预示。公理不被认为是不言自明的真理。几何可能涉及我们有强大直觉的事物，但不需要为未定义的概念分配任何明确的含义。这些元素，例如点、线、平面等，可以被替换，据说Hilbert对Schoenflies和Kötter说的那样，用桌子、椅子、玻璃杯啤酒和其他这样的物体。讨论的是它们定义的关系。
Hilbert首先列举未定义的概念：点、线、平面、点和线、点和平面、线和平面之间的位置关系、中间性、点对线段的全等以及角的全等。公理统一了欧几里得的平面几何和立体几何
