每个人都知道什么是曲线,直到他学了足够多的数学,被无数可能的例外搞得困惑为止。
Christian Felix Klein是一位德国数学家和数学教育家,以其在群论、复分析、非欧几何以及几何与群论之间的关联方面的工作而闻名。他1872年的Erlangen纲领通过基本对称群对几何进行分类,是当时数学的一个有影响力的综合。
生平
Felix Klein于1849年4月25日出生在Düsseldorf,父母都是普鲁士人;他的父亲Caspar Klein(1809–1889)是普鲁士政府官员秘书,驻在莱茵省。Klein的母亲是Sophie Elise Klein(1819–1890),娘姓Kayser。他在Düsseldorf的gymnasium上学,之后于1865–1866年在波恩大学学习数学和物理,打算成为一名物理学家。当时,Julius Plücker在波恩担任数学和实验物理学教授,但当Klein在1866年成为他的助手时,Plücker的兴趣已转向几何。Klein在1868年由Plücker指导,从波恩大学获得了博士学位。
Plücker于1868年去世,留下关于线几何基础的著作未完成。Klein是完成Plücker《Neue Geometrie des Raumes》第二部分的最佳人选,因此与1868年迁往Göttingen的Alfred Clebsch相识。Klein在次年拜访了Clebsch,同时访问了柏林和巴黎。在1870年7月普法战争初期,他在巴黎,不得不离开这个国家。他短暂地在普鲁士军队担任医务助理,之后在1871年初被任命为Göttingen的讲师。
Erlangen在1872年任命Klein为教授,当时他仅23岁。为此,他得到了Clebsch的支持,Clebsch认为他可能会成为他那个时代最优秀的数学家。Klein不希望在学生很少的Erlangen有一个学校,所以他很高兴在1875年被提供了Munich's Technische Hochschule的教授职位。在那里,他和Alexander von Brill为许多杰出的学生教授高级课程,包括Adolf Hurwitz、Walther von Dyck、Karl Rohn、Carl Runge、Max Planck、Luigi Bianchi和Gregorio Ricci-Curbastro。
1875年,Klein与Anne Hegel结婚,她是哲学家Georg Wilhelm Friedrich Hegel的孙女。
在Technische Hochschule工作五年后,Klein被任命为Leipzig的几何学主任。在那里,他的同事包括Walther von Dyck、Rohn、Eduard Study和Friedrich Engel。Klein在Leipzig的几年(1880至1886年)从根本上改变了他的生活。1882年,他的健康崩溃了;1883–1884年间,他被抑郁症困扰。尽管如此,他的研究继续进行;他关于超椭圆sigma函数的重要工作始于这个时期,在1886年和1888年发表。
Klein在1886年接受了Göttingen大学的教授职位。从那时起直到他1913年退休,他试图将Göttingen重新确立为世界上主要的数学研究中心。然而,他从未设法将自己在几何发展中的首要地位从Leipzig转移到Göttingen。在Göttingen,他教授了各种课程,主要涉及数学和物理之间的界面,如力学和位势论。
Klein在Göttingen建立的研究设施成为了世界各地最佳设施的模型。他引入了每周讨论会,并创建了数学阅读室和图书馆。1895年,Klein从Königsberg大学聘请了David Hilbert;这个任命证明是关键的,因为Hilbert继续维护Göttingen的良好声誉,直到他在1932年退休。
在Klein的编辑下,《Mathematische Annalen》成为了世界上最好的数学期刊之一。该期刊由Clebsch创办,只有在Klein的管理下才首先与柏林大学的《Crelle's Journal》相竞争,然后超越了它。Klein建立了一个小编辑团队,定期开会,做出民主决议。该期刊专门刊登复分析、代数几何和不变理论,至少直到Hilbert结束了这个主题。它也为实分析和新的群论提供了重要的平台。
1893年在Chicago,Klein在作为World's Columbian Exposition的一部分举行的国际数学大会上是主要发言人。在Klein的努力下,Göttingen于1893年开始招收女性。他监督了在Göttingen由女性撰写的第一篇数学博士学位论文;她是Grace Chisholm Young,Arthur Cayley的英国学生,Klein很欣赏她。1897年,Klein成为荷兰皇家艺术和科学学院的外国成员。
大约在1900年,Klein开始对学校的数学教学感兴趣。1905年,他在制定建议计划方面起了决定性作用,该计划建议在中学教授解析几何、微分和积分微积分的初步知识和函数概念。这一建议在世界各地许多国家逐步实施。1908年,Klein在Rome国际数学家大会上被选为国际数学教学委员会主席。在他的指导下,委员会的德国部分出版了许多关于德国各个教学水平的数学教学的卷册。
伦敦数学学会在1893年授予Klein其De Morgan奖章。他在1885年被选为皇家学会的成员,在1912年获得其Copley奖章。由于健康原因,他在次年退休,但在之后的几年里继续在家教授数学。
Klein是《93人宣言》的93名签署人之一,该宣言是为了支持德国在第一次世界大战早期对比利时的入侵而撰写的。
Klein被赋予了Geheimrat(信任顾问)的头衔。
他于1925年在Göttingen去世。
工作
Klein的论文涉及线几何及其在力学中的应用,使用Weierstrass的基本因子理论对二次线复合体进行了分类。
Klein的第一个重要数学发现是在1870年进行的。与Sophus Lie合作,他发现了Kummer曲面上渐近线的基本性质。他们后来研究了W曲线,即在射影变换群下不变的曲线。是Lie向Klein介绍了群的概念,这在他后来的工作中起了重要作用。Klein还从Camille Jordan那里了解了群。
Klein设计了以他的名字命名的"Klein瓶",一种单面闭合表面,不能嵌入三维欧几里得空间,但可以沉浸为一个通过自身循环的圆柱体,从"内部"与其另一端连接。它可以嵌入四维及更高维的欧几里得空间。Klein瓶的概念被设计为三维Möbius带,一种构造方法是两个Möbius带的边缘的附着。
在1890年代,Klein开始更加深入地研究数学物理,与Arnold Sommerfeld就陀螺仪撰文。1894年,他提出了一个数学百科全书及其应用的想法,该想法后来成为了《Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften》。这项事业持续到1935年,提供了一个重要的、持久价值的标准参考。
Erlangen纲领
1871年,当Klein在Göttingen时,他在几何方面有了重大发现。他发表了两篇题为《论所谓非欧几何》的论文,表明欧几里得几何和非欧几何可以被认为是由Cayley-Klein度量确定的度量空间。这一洞察的推论是,当且仅当欧几里得几何一致时,非欧几何是一致的,给予了欧几里得几何和非欧几何相同的地位,并结束了关于非欧几何的所有争议。Arthur Cayley从未接受Klein的论证,认为它是循环的。
Klein关于几何的综合,即将其定义为在给定变换群下保持不变的空间的性质的研究,被称为Erlangen纲领(1872),深刻影响了数学的发展。这个纲领由Klein在Erlangen担任教授的就职演讲开始,尽管它不是他在该场合实际发表的演讲。该纲领提出了一个统一的几何系统,已成为公认的现代方法。Klein展示了给定几何的基本性质如何可以由保持这些性质的变换群表示。因此,该纲领的几何定义包含了欧几里得几何和非欧几何。
目前,Klein对几何的贡献的重要性是显而易见的,但不是因为这些贡献现在被认为是奇怪或错误的。恰恰相反,这些贡献已成为我们当今数学思维的一部分,以至于我们很难欣赏它们的新颖性,以及它们不被他所有同时代人立即接受的方式。
复分析
Klein将他在复分析上的工作视为他对数学的主要贡献,特别是他在以下方面的工作:
- Riemann的某些思想与不变理论之间的联系,
- 数论和抽象代数;
- 群论;
- 具有超过3维的几何和微分方程,特别是他发明的方程,即椭圆模函数和自守函数。
Klein表明了模群移动复平面的基本区域,从而对该平面进行镶嵌。1879年,他研究了被认为是模群的一个像的PSL2,7的作用,并获得了现在称为Klein四次曲线的Riemann曲面的显式表示。他展示了该曲面是射影空间中的一条曲线,其方程是x3y + y3z + z3x = 0,其对称群是PSL2,7,阶为168。他的《Ueber Riemann's Theorie der algebraischen Funktionen und ihre Integrale》(1882)以几何方式处理复分析,联系位势论和共形映射。这项工作源于流体动力学的概念。
Klein考虑了次数>4的方程,特别是有兴趣使用超越方法来求解五次一般方程。建立在Charles Hermite和Leopold Kronecker的方法基础上,他产生了与Brioschi相似的结果,后来通过二十面体群完全解决了这个问题。这项工作使他能够撰写一系列关于椭圆模函数的论文。
在他1884年关于二十面体的著作中,Klein建立了自守函数理论,关联代数和几何。然而Poincaré在1881年发表了他的自守函数理论的概述,导致了两人之间的友好竞争。两人都寻求陈述和证明一个宏大的均一化定理,该定理将更完整地建立新理论。Klein成功地制定了这样一个定理,并描述了证明它的策略。但在进行这项工作时,他的健康状况下降了,如上所述。
Klein在与Robert Fricke合作的四卷论文中总结了他在自守函数和椭圆模函数上的工作,历时约20年。
精选著作
- 1882: Ueber Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihre Integrale JFM 14.0358.01
- Project Gutenberg上的电子文本,也可从Cornell获取
- 1884:Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom 5ten Grade 由G. G. Morrice于1888年英文翻译《关于二十面体的讲座;及五次方程的求解》经由Internet Archive
- 由G. G. Morrice于1888年英文翻译《关于二十面体的讲座;及五次方程的求解》经由Internet Archive
- 1886: Über hyperelliptische Sigmafunktionen Erster Aufsatz p. 323–356, Mathematische Annalen Bd. 27,
- 1888: Über hyperelliptische Sigmafunktionen Zweiter Aufsatz p. 357–387, Math. Annalen, Bd. 32,
- 1894: Über die hypergeometrische Funktion
- 1894: Über lineare Differentialgleichungen der 2. Ordnung
- 1897: 与Arnold Sommerfeld合著 Theorie des Kreisels 后续卷:1898, 1903, 1910
- 1890: 与Robert Fricke合著 Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen 2卷及1892
- 1894: Evanston Colloquium 1893 由Ziwet报告和出版 New York, 1894
- Fricke, Robert; Klein, Felix 1897, Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Erster Band; Die gruppentheoretischen Grundlagen 德文, Leipzig: B. G. Teubner, ISBN 978-1-4297-0551-6, JFM 28.0334.01 Zweiter Band. 1901.
- 1901: Gauss' wissenschaftliches Tagebuch, 1796—1814. Mit Anwendungen von Felix Klein
- Fricke, Robert; Klein, Felix 1912, Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere
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