正如太阳以其光辉遮蔽星辰，具有知识的人在众人集会中提出代数问题时将遮蔽他人的名声，解决问题时更是如此。
Brahmagupta是一位印度数学家和天文学家。他是两部早期数学和天文学著作的作者：《Brāhmasphuṭasiddhānta》（BSS，"Brahma的正确确立的教义"），成书于628年，是一部理论论著；以及《Khaṇḍakhādyaka》（"可食用的一口"），成书于665年，是一部更具实践性的文本。
Brahmagupta是第一个给出零的运算规则的人。Brahmagupta撰写的文本采用Sanskrit椭圆诗体，这是印度数学的常见做法。由于没有给出证明，因此不知道Brahmagupta的结果是如何推导的。
生平和职业生涯
根据他自己的陈述，Brahmagupta生于公元598年。他住在Gurjaradesa的Bhillamāla，即现代印度拉贾斯坦邦的Bhinmal，期间是Chavda王朝统治者Vyagrahamukha的统治时期。他是Jishnugupta的儿子，信仰印度教，特别是湿婆教。他在那里生活和工作了人生的大部分时间。后来的评论家Prithudaka Svamin称他为Bhillamalacharya，即来自Bhillamala的教师。
Bhillamala是Gurjaradesa的首都，是西印度第二大王国，包括现代印度的南拉贾斯坦邦和北古吉拉特邦。它也是数学和天文学的学习中心。Brahmagupta成为Brahmapaksha学派的天文学家，该学派是该时期印度天文学的四大主要学派之一。他研究了印度天文学的五部传统Siddhartha著作以及包括Aryabhata I、Latadeva、Pradyumna、Varahamihira、Simha、Srisena、Vijayanandin和Vishnuchandra在内的其他天文学家的著作。
在628年，30岁时，他创作了《Brāhmasphuṭasiddhānta》（Brahma的改进论著），被认为是Brahmapaksha学派天文学接收到的Siddhanta的修订版本。学者们指出，他在修订中融入了大量的原创性，增加了相当数量的新材料。该书包含24章，共1008首ārya韵脚的诗句。其中大部分是天文学内容，但也包含关于数学的关键章节，包括代数、几何、三角学和算法学，这些被认为包含了Brahmagupta自己的新见解。
后来，Brahmagupta迁往中印度Avanti的Ujjaini，这也是中印度的主要天文学中心。67岁时，他创作了他的下一部著名著作《Khanda-khādyaka》，这是一部印度天文学的实用手册，属于karana类别，供学生使用。
Brahmagupta于668年去世，据推测他在Ujjain去世。
争议
Brahmagupta对竞争对手天文学家的工作进行了大量批评，其《Brahmasphutasiddhanta》展现了印度数学家之间最早的分裂之一。分裂主要涉及数学在物理世界中的应用，而不是数学本身。在Brahmagupta的情况下，分歧主要源于天文学参数和理论的选择。对竞争理论的批评贯穿前十章天文学章节，第十一章完全专门用于批评这些理论，尽管在第十二章和第十八章中没有批评出现。
接受度
科学史学家George Sarton称他为"他所属种族中最伟大的科学家和他那个时代最伟大的科学家"。Brahmagupta的数学进步由他在Ujjain的直系后代Bhāskara II进一步发展，后者将Brahmagupta描述为ganaka-chakra-chudamani（数学家圈子中的宝石）。Prithudaka Svamin撰写了他两部著作的评论，将困难的诗句转化为更简单的语言并添加插图。Lalla和Bhattotpala在8世纪和9世纪撰写了关于《Khanda-khadyaka》的评论。进一步的评论一直被撰写到12世纪。
在Brahmagupta去世几十年后，Sindh在712年落入阿拉伯哈里发的统治下。根据阿拉伯历史学家的记载，远征队被派往Gurjaradesa"Al-Baylaman in Jurz"。Bhillamala王国似乎已被摧毁，但Ujjain击退了攻击。哈里发Al-Mansur（754–775年）的宫廷接待了来自Sindh的使节团，包括一位名叫Kanaka的占星家，他带来了可能是凭记忆的天文学文本，包括Brahmagupta的著作。Brahmagupta的文本由Al-Mansur宫廷的天文学家Muhammad al-Fazari翻译成阿拉伯语，名称为Sindhind和Arakhand。一个直接的结果是这些文本中使用的十进制数字系统的传播。数学家Al-Khwarizmi（公元800–850年）撰写了一部名为《al-Jam wal-tafriq bi hisal-al-Hind》（印度算术中的加法和减法）的文本，该文本在13世纪被翻译成拉丁文，名为《Algorithmi de numero indorum》。通过这些文本，十进制数字系统和Brahmagupta的算术算法已传遍世界各地。Al-Khwarizmi还撰写了自己版本的Sindhind，汲取了Al-Fazari版本的内容并融入了托勒密要素。印度天文学资料几个世纪以来广泛流传，甚至传入了中世纪拉丁文本。
数学
代数
Brahmagupta在《Brahmasphutasiddhānta》第18章给出了一般线性方程的解
这是方程bx + c = dx + e的解，其中rupas指常数c和e。给出的解等价于x = e − c/b − d。他进一步给出了一般二次方程的两个等价解
18.44. 用中间[数字]减少乘以四倍平方并增加中间[数字]的平方的rupas的平方根；将余数除以平方的两倍。[结果是]中间[数字]。
18.45. 无论rupas乘以平方[并]增加未知数的一半的平方的平方根是什么，用未知数的一半减少它[并]除以[余数]它的平方。[结果是]未知数。
这些分别是方程ax2 + bx = c的解，等价于
和
他继续求解联立不定方程组，指出所需的变量必须首先被隔离，然后方程必须除以所需变量的系数。特别是，他建议使用"粉碎器"来求解有多个未知数的方程。
18.51. 减去与第一种颜色不同的颜色。[余数]除以第一[颜色的系数]是第一的度量。[项]两两[被视为]相似除数[时]，[如此]重复。如果有许多[颜色]，应使用粉碎器[。]
与Diophantus的代数一样，Brahmagupta的代数是简记的。加法通过将数字并列表示，减法通过在被减数上放置点表示，除法通过将除数放在被除数下方表示，类似于我们的记号但没有横线。乘法、开方和未知量由适当术语的缩写表示。希腊对这种简记法的影响程度（如果有的话）是未知的，希腊和印度简记法都可能源自共同的巴比伦来源。
算术
四种基本运算——加法、减法、乘法和除法——在Brahmagupta之前许多文化都已知晓。现在的这个系统基于印度-阿拉伯数字系统，首次出现在《Brahmasphutasiddhanta》中。Brahmagupta这样描述乘法："被乘数像牛的绳子一样被重复，与乘数中的整数部分一样多次，并被它们重复相乘，乘积相加。这就是乘法。或者被乘数重复的次数与乘数中的部分一样多"。印度算术在中世纪欧洲被称为"Modus Indorum"，意为印度人的方法。在《Brahmasphutasiddhanta》中，乘法被称为Gomutrika。
在他的《Brahmasphutasiddhānta》第12章的开始，题为"计算"，Brahmagupta详细介绍了分数运算。读者应该已经知道基本算术运算，直至求平方根，尽管他解释了如何找到整数的立方和立方根，后来给出了便于计算平方和平方根的规则。然后他给出了处理五种分数组合的规则：a/c + b/c；a/c × b/d；a/1 + b/d；a/c + b/d × a/c = ad + b/cd；以及a/c − b/d × a/c = ad − b/cd。
级数
Brahmagupta随后给出了前n个整数的平方和立方的和。
这里Brahmagupta用前n个整数的和的项表示结果，而不是用现代做法中的n的项。
他给出前n个自然数的平方和为nn + 12n + 1/6，前n个自然数的立方和为nn + 1/22。
零
Brahmagupta的《Brahmasphuṭasiddhānta》是第一部提供适用于零和负数的算术运算规则的书。《Brahmasphutasiddhānta》是最早将零作为一个数字本身对待的已知文本，而不是仅仅作为表示另一个数字的占位符数字（如巴比伦人所做的那样）或作为缺乏数量的符号（如托勒密和罗马人所做的那样）。在他的《Brahmasphutasiddhānta》第18章中，Brahmagupta描述了负数的运算。他首先描述了加法和减法
18.30. [两个正数的和是正数，两个负数的和是负数；正数和负数的[和]是它们的差；如果它们相等，就是零。负数和零的和是负数，[正数和零的和是]正数，[两个零的和是]零。
18.32. 负数减去零是负数，正数[减去零是]正数；零[减去零]是零。当正数要从负数中减去或负数要从正数中减去时，那么应该相加。
他继续描述乘法
18.33. 负数和正数的乘积是负数，两个负数的乘积是正数，正数的乘积是正数；零和负数的乘积、零和正数的乘积或两个零的乘积是零。
但他对零除法的描述与我们现代的理解不同：
18.34. 正数除以正数或负数除以负数是正数；零除以零是零；正数除以负数是负数；负数除以正数[也]是负数。
18.35. 负数或正数除以零以那[零]作为其除数，或零除以负数或正数[以那负数或正数作为其除数]。负数或正数的平方是正数；[零的平方]是零。那个[其平方]是平方的是[其]平方根。
这里Brahmagupta指出/ = 0，至于a/（其中a ≠ 0）的问题，他没有自己作出承诺。他关于负数和零的算术规则相当接近现代理解，除了在现代数学中零除法是未定义的。
Diophantine分析
勾股数组
在他的《Brahmasphutasiddhanta》第12章中，Brahmagupta提供了一个有用的公式来生成勾股数组：
12.39. 山的高度乘以给定的乘数是到城市的距离；它不被抹去。当它除以增加2的乘数时，它是进行相同旅程的两者之一的跳跃。
换句话说，如果d = mx/x + 2，那么一个从高度为m的山顶垂直向上"跳跃"距离d，然后笔直前往距离山底水平距离mx的城市的旅行者，旅行的距离与一个从山上垂直下降然后沿水平线前往城市的旅行者相同。从几何上讲，这说明如果一个直角三角形的底边长度为a = mx，高度为b = m + d，那么其斜边长度c由c = m1 + x − d给出。确实，初等代数运算表明，只要d具有所述的值，a2 + b2 = c2。同样，如果m和x是有理数，那么d、a、b和c也是有理数。因此，可以通过将a、b和c中的每一个乘以它们的分母的最小公倍数，从a、b和c获得勾股数组。
Pell方程
Brahmagupta继续给出一个递推关系来生成某些Diophantine方程实例的解
