Güneş parlak ışığıyla yıldızları gölgede bıraktığı gibi, bilgili kişi de geometri problemlerini önerir ve özellikle çözer ise halk meclislerinde diğerlerinin şöhretini gölgede bırakacaktır.
Brahmagupta bir Hint matematikçi ve gökbilimcisiydi. O matematik ve gökbilim alanında iki erken dönem eserin yazarıdır: Brāhmasphuṭasiddhānta BSS, "Brahma'nın doğru bir şekilde kurulmuş doktrin", 628 tarihli bir teorik tez, ve Khaṇḍakhādyaka "yenilebilir lokma", 665 tarihli daha pratik bir metin.
Brahmagupta sıfırla hesap yapmanın kurallarını vermiş ilk kişi idi. Brahmagupta tarafından yazılan metinler Sanskritçede eliptik vezinle yazılmıştı ve bu Hint matematiğinde yaygın bir uygulamaydı. Hiçbir kanıt verilmediği için, Brahmagupta'nın sonuçlarının nasıl elde edildiği bilinmemektedir.
Yaşamı ve Kariyer
Brahmagupta, kendi ifadesine göre 598 CE'de doğmuştur. O, Chavda hanedanının hükümdarı Vyagrahamukha'nın döneminde Gurjaradesa'daki Bhillamāla'da, modern Bhinmal'da, Hindistan'ın Rajasthan'ında yaşıyordu. O, Jishnugupta'nın oğlu idi ve dini açıdan Hindu idi, özellikle de Şaivit. Yaşamının çoğunu orada geçirdi ve çalıştı. Daha sonraki bir yorum yapan Prithudaka Svamin, ona Bhillamalacharya, Bhillamala'dan gelen öğretmen adını vermiştir.
Bhillamala, Gurjaradesa'nın başkenti idi; bu, Batı Hindistan'ın ikinci en büyük krallığı olup, modern Hindistan'ın güneyindeki Rajasthan ve kuzeyindeki Gujarat'ı kapsıyordu. Aynı zamanda matematik ve gökbilim için bir öğrenme merkeziydi. Brahmagupta, bu dönemde Hint gökbiliminin dört ana okulundan biri olan Brahmapaksha okulunun bir gökbilimcisi oldu. O, Hint gökbiliminin beş geleneksel Siddhartha'yı ve ayrıca Aryabhata I, Latadeva, Pradyumna, Varahamihira, Simha, Srisena, Vijayanandin ve Vishnuchandra dahil olmak üzere diğer gökbilimcilerin çalışmalarını inceledi.
628 yılında, 30 yaşında, o, 'Brāhmasphuṭasiddhānta' - Brahma'nın iyileştirilmiş tezi - yi yazmıştır; bu, Brahmapaksha okulunun gökbilim okulunun alınan Siddhanta'sının gözden geçirilmiş bir versiyonu olarak kabul edilmektedir. Bilginler, revizyon için çok fazla özgünlük kattığını ve önemli miktarda yeni materyal eklediğini belirtmektedir. Kitap, ārya vezinde 1008 beyitle 24 bölümden oluşmaktadır. Çoğu gökbilimdir, ancak ayrıca cebir, geometri, trigonometri ve algoritma dahil olmak üzere matematikle ilgili önemli bölümler de içerir; bunların Brahmagupta'nın kendisine ait yeni içgörüler barındırdığına inanılmaktadır.
Daha sonra, Brahmagupta Ujjaini'ye, Avanti'ye taşındı; burası Orta Hindistan'da gökbilim için bir başka önemli merkez idi. 67 yaşında, o, iyi bilinen bir sonraki eseri Khanda-khādyaka'yı yazmıştır; bu, öğrenciler tarafından kullanılmak üzere tasarlanan karana kategorisinde Hint gökbiliminin pratik bir kılavuzudur.
Brahmagupta 668 CE'de öldü ve Ujjain'de öldüğü varsayılmaktadır.
Tartışma
Brahmagupta, rakip gökbilimcilerin çalışmalarına karşı büyük ölçüde eleştiri yöneltmiş ve Brahmasphutasiddhanta'sı, Hint matematikçiler arasında ilk şekillerden biri göstermektedir. Bölünme, öncelikle matematiksel teorilerin kendisi hakkında değil, matematiğin fiziksel dünyaya uygulanması hakkında idi. Brahmagupta'nın durumunda, anlaşmazlıklar büyük ölçüde astronomik parametrelerin ve teorilerin seçiminden kaynaklanıyordu. Rakip teorilerin eleştirisi, ilk on astronomik bölüm boyunca yer almakta ve on birinci bölümün tamamamı bu teorilerin eleştirisine ayrılmıştır, ancak on ikinci ve on sekizinci bölümlerde hiçbir eleştiri görülmemektedir.
Kabul
Bilim tarihi profesörü George Sarton, ona "onun ırkının en büyük bilginlerinden ve zamanının en büyüğü" olarak adlandırdı. Brahmagupta'nın matematiksel ilerlemeleri, Ujjain'de bir soyut halefi olan Bhāskara II tarafından daha da ileriye götürülmüş olup, o, Brahmagupta'yı ganaka-chakra-chudamani - matematikçiler çemberinin mücevheri - olarak tanımlamıştır. Prithudaka Svamin, iki eserinin de hakkında yorum yazmış, zor beyitleri daha basit dile dönüştürmüş ve açıklamalar eklemiştir. Lalla ve Bhattotpala, 8. ve 9. yüzyıllarda Khanda-khadyaka hakkında yorum yazmışlardır. Diğer yorum yazıları 12. yüzyıla kadar yazılmaya devam etmiştir.
Brahmagupta'nın ölümünden birkaç on yıl sonra, Sindh 712 CE'de Arap Hilafeti altına girdi. Arap tarihçilerin ifadesine göre Gurjaradesa'ya "Al-Baylaman in Jurz" yönelik seferler gönderilmiştir. Bhillamala krallığı yok edilmiş görülmektedir, ancak Ujjain saldırılara karşı direniş göstermiştir. Halife Al-Mansur'un (754–775) sarayı, Sindh'ten bir elçilik kabul etmiştir; bunun içinde Kanaka adında bir astroloji bilimci de vardı ve Brahmagupta'nın metinleri de dahil olmak üzere, muhtemelen ezberlenmiş astronomik metinler getirmiştir. Brahmagupta'nın metinleri, Al-Mansur'un sarayının astronomları Muhammad al-Fazari tarafından, Sindhind ve Arakhand adları altında Arapçaya çevrilmiştir. Hemen ortaya çıkan sonuç, metinlerde kullanılan ondalık sayı sisteminin yayılmasıydı. Matematikçi Al-Khwarizmi (800–850 CE), al-Jam wal-tafriq bi hisal-al-Hind (Hint Aritmetiğinde Toplama ve Çıkarma) adlı bir metin yazmıştır; bu, 13. yüzyılda Latince'ye Algorithmi de numero indorum olarak çevrilmiştir. Bu metinler aracılığıyla, ondalık sayı sistemi ve Brahmagupta'nın aritmetik algoritmaları dünya çapında yayılmıştır. Al-Khwarizmi ayrıca Sindhind'in kendi versiyonunu yazmış, Al-Fazari'nin versiyonundan faydalanmış ve Batlamyus unsurlarını dahil etmiştir. Hint astronomik materyali yüzyıllardır geniş çapta dolaşmış, hatta orta çağ Latince metinlerine de girmiştir.
Matematik
Cebir
Brahmagupta, Brahmasphutasiddhānta'nın on sekizinci bölümünde genel doğrusal denklemin çözümünü vermiştir,
bu, bx + c = dx + e denkleminin bir çözümüdür; burada rupas, c ve e sabitlerini ifade eder. Verilen çözüm, x = e − c/b − d'ye denktir. O ayrıca genel ikinci dereceden denklem için iki eşdeğer çözüm vermiştir:
18.44. [Sayı] arasında olan [orta sayı] ile azaltın; rupas'ın karekökü çarpı dört kat kare ve orta [sayı]nın karesi tarafından artırılmış; kalanı kare'nin iki katına bölün. [Sonuç] orta [sayı]dır.
18.45. Rupas'ın karekökü çarpı kare [ve] bilinmeyenin yarısının karesi tarafından artırılmış olanı, bilinmeyenin yarısıyla azaltın [ve] [kalanı] onun karesine bölün. [Sonuç] bilinmeyendir.
bu, sırasıyla, ax2 + bx = c denkleminin çözümüdür ve şu şekildedir:
ve
O, aynı anda birden fazla belirsiz denklem sistemlerinin çözümüne devam etmiş; istenen değişkenin önce izole edilmesi gerektiğini ve ardından denklemin istenen değişkenin katsayısına bölünmesi gerektiğini belirtmiştir. Özellikle, birden fazla bilinmeyenli denklemleri çözmek için "pulverizer" kullanılmasını önermiştir.
18.51. İlk renkten farklı renkleri çıkarın. [Kalan] ilk [rengin katsayısı] tarafından bölünen ilk [rengin] ölçüsüdür. [Terimler] ikişer ikişer [benzer bölenler] açısından [indirgenmiş] olarak [kabul edilir], [ve böylece] tekrar tekrar. Eğer birçok [renk] varsa, pulverizer [kullanılacaktır].
Diophantus'un cebiri gibi, Brahmagupta'nın cebiri de sinkoplu idi. Toplama, sayıları yan yana yerleştirerek gösterilmiş, çıkarma, çıkanın üzerine bir nokta koyarak gösterilmiş ve bölme, böleni bölünenin altına yerleştirerek gösterilmiş; bu bizim notasyona benzer fakat çubuk olmadan. Çarpma, evrim ve bilinmeyen nicelikler uygun terimlerin kısaltmalarıyla temsil edilmiştir. Bu sinkopla ilgili Yunan etkisinin kapsamı, eğer varsa, bilinmemektedir ve hem Yunan hem de Hint sinkopunun ortak bir Babil kaynağından türemiş olması mümkündür.
Aritmetik
Dört temel işlem (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) Brahmagupta'dan önce birçok kültür tarafından biliniyordu. Bu güncel sistem Hindu-Arap sayı sistemine dayanmaktadır ve ilk olarak Brahmasphutasiddhanta'da görülmüş. Brahmagupta çarpma işlemini şöyle tanımlar: "Çarpılacak sayı, çarpanın integral kısımları kadar sürü için bir ip gibi tekrarlanır ve onlar tarafından tekrar tekrar çarpılır ve ürünler bir araya eklenir. Bu çarpmadır. Veya çarpılacak sayı, çarpanın bileşen kısımları kadar tekrarlanır". Hint aritmetiği, Ortaçağ Avrupa'sında "Modus Indorum" olarak biliniyordu; bu "Hint'lilerin yöntemi" anlamına gelir. Brahmasphutasiddhanta'da, çarpma işlemi Gomutrika adı verilmiştir.
Brahmasphutasiddhānta'nın on ikinci bölümünün başında, "Hesaplama" başlığıyla, Brahmagupta kesirler üzerindeki işlemleri detaylandırır. Okuyucu, kare kökünü almaya kadar temel aritmetik işlemleri bildiğinin bekleniyorsa da, bir tamsayının küpünü ve küp kökünü bulmanın nasıl yapılacağını açıklamakta ve daha sonra kareler ve karekök hesaplamasını kolaylaştıran kurallar vermektedir. O daha sonra beş tür kesir kombinasyonuyla uğraşmak için kuralları verir: a/c + b/c; a/c × b/d; a/1 + b/d; a/c + b/d × a/c = ad + b/cd; ve a/c − b/d × a/c = ad − b/cd.
Seriler
Brahmagupta daha sonra ilk n tam sayısının karelerinin ve küplerinin toplamını verir.
Burada Brahmagupta sonucu, modern uygulamada olduğu gibi n açısından değil, ilk n tam sayısının toplamı cinsinden bulmuştur.
O, ilk n doğal sayısının karelerinin toplamını nn + 12n + 1/6 olarak ve ilk n doğal sayısının küplerinin toplamını nn + 1/22 olarak verir.
Sıfır
Brahmagupta'nın Brahmasphuṭasiddhānta'sı, sıfır ve negatif sayılara uygulanan aritmetik işlemlerin kurallarını sağlayan ilk kitaptır. Brahmasphutasiddhānta, sıfırı başka bir sayıyı temsil etmede basit bir yer tutucu basamak olarak değil, kendi başına bir sayı olarak ele alan en eski bilinen metindir; bu, Babiloiler tarafından yapıldığı gibi değil veya Batlamyus ve Romalılar tarafından yapıldığı gibi bir miktar eksikliğinin sembolü olarak değil. Brahmasphutasiddhānta'nın on sekizinci bölümünde, Brahmagupta negatif sayılar üzerindeki işlemleri tanımlar. İlk olarak toplama ve çıkarmayı tanımlar:
18.30. İki pozitifin [toplamı] pozitif, iki negatifin toplamı negatif; pozitif ve negatifin [toplamı] onların farkıdır; eğer eşitlerse sıfırdır. Negatif ve sıfırın toplamı negatif, [pozitif ve sıfırın toplamı] pozitif, [ve iki sıfırın toplamı] sıfırdır.
18.32. Sıfırdan çıkarılan negatif negatif, [sıfırdan çıkarılan] pozitif pozitif; sıfırdan sıfırın çıkması sıfırdır. Bir negatiften pozitif çıkarılacak veya bir pozitiften negatif çıkarılacak olursa, o zaman toplanacaktır.
O daha sonra çarpmayı tanımlamaya devam eder:
18.33. Negatif ve pozitifin çarpımı negatif, iki negatifin çarpımı pozitif ve pozitifin çarpımı pozitif; sıfır ve negatifin çarpımı, sıfır ve pozitifin çarpımı veya iki sıfırın çarpımı sıfırdır.
Ancak sıfıra bölmeyle ilgili tanımlaması, modern anlayışımızdan farklıdır:
18.34. Pozitif bir pozitife bölünen veya negatif bir negatife bölünen pozitif; sıfırın sıfıra bölümü sıfır; pozitif bir negatife bölünen negatif; negatif bir pozitife bölünen [de] negatiftir.
18.35. Negatif veya pozitif sıfıra bölünen [bölünen olarak] sıfırı [vardır], veya sıfır negatif veya pozitife bölünen [şu şekilde] negatif veya pozitif [vardır]. Negatif veya pozitifin karesi pozitif; [sıfırın] karesi sıfırdır. [Karesi] kare olan [şey] [onun] karekökü [dür].
Burada Brahmagupta, / = 0 olduğunu belirtir ve a/ sorusuna cevap olarak; burada a ≠ 0 kendini taahhüt etmemiştir. Negatif sayılar ve sıfır üzerindeki aritmetik kuralları modern anlayışa oldukça yakındır; ancak modern matematik'te sıfıra bölme tanımsız bırakılmıştır.
Diophantine analizi
Pythagor üçlüleri
Brahmasphutasiddhanta'nın on ikinci bölümünde, Brahmagupta, Pythagoras üçlüleri üretmek için yararlı bir formül sağlar:
12.39. Bir dağın yüksekliği bir verilen çarpan ile çarpılarak bir şehre olan uzaklıktır; silinmez. Çarpan artı iki ye bölündüğünde, aynı yolculuğu yapan iki kişinin birinin hareketliliğidir.
Veya başka bir şekilde, eğer d = mx/x + 2 ise, o zaman bir dağın tepesinden düşey olarak yukarı doğru d kadar "atlayan" ve sonra düz bir çizgide dağın tabanından mx uzaklıktaki bir şehre seyahat eden bir yolcu, düşey olarak dağdan inen ve sonra şehre doğru yatay olarak seyahat eden kişinin yolculuk ettiği aynı mesafeyi yolculuk etmektedir. Geometrik olarak ifade edildiğinde, bu, eğer dik açılı bir üçgen a = mx tabanına ve b = m + d yüksekliğine sahipse, hipotenüsünün c uzunluğu c = m1 + x − d tarafından verilir demektedir. Ve gerçekten de, d belirtilen değere sahip olduğunda, temel cebirsel manipülasyon, a2 + b2 = c2 olduğunu gösterir. Ayrıca, m ve x rasyonel ise, d, a, b ve c de rasyoneldir. Pythagoras üçlüsü bu nedenle paydalarının en az ortak katıyla her birini çarpılarak a, b ve c'den elde edilebilir.
Pell denklemi
Brahmagupta, belirli Diophantine denklem örneklerinin çözümlerini üretmek için tekrarlama ilişkisini vermeye devam etmiştir;
