Enquanto a Natureza não admite mais de três dimensões ... pode parecer muito impróprio falar de um sólido ... traçado em uma quarta, quinta, sexta ou dimensão adicional.
John Wallis foi um clérigo e matemático inglês a quem é dado crédito parcial pelo desenvolvimento do cálculo infinitesimal. Entre 1643 e 1689, serviu como criptógrafo chefe do Parlamento e, posteriormente, da corte real. É creditado com a introdução do símbolo ∞ para representar o conceito de infinito. Similarmente, usou 1/∞ para um infinitésimo. John Wallis foi um contemporâneo de Newton e um dos maiores intelectuais do início do renascimento da matemática.
Vida
John Wallis nasceu em Ashford, Kent. Ele era o terceiro de cinco filhos do Reverendo John Wallis e Joanna Chapman. Recebeu educação inicial em uma escola em Ashford, mas se mudou para a escola de James Movat em Tenterden em 1625 após um surto de peste. Wallis teve sua primeira exposição à matemática em 1631, na Felsted School, então conhecida como escola de Martin Holbeach em Felsted; ele gostava de matemática, mas seus estudos foram irregulares, pois "a matemática, naquela época conosco, era mal vista como estudos acadêmicos, mas sim mecânicos" Scriba 1970. Na escola em Felsted, Wallis aprendeu a falar e escrever latim. Neste momento, também era proficiente em francês, grego e hebraico. Como era intencionado que fosse médico, foi enviado em 1632 para Emmanuel College, Cambridge. Enquanto lá, realizou um ato sobre a doutrina da circulação do sangue; disse-se ter sido a primeira ocasião na Europa em que essa teoria foi mantida publicamente em uma disputa. Seus interesses, porém, eram centrados na matemática. Recebeu seu grau de Bacharel em Artes em 1637 e um Mestrado em 1640, entrando posteriormente para o sacerdócio. De 1643 a 1649, serviu como escriba sem direito a voto na Westminster Assembly. Foi eleito para uma bolsa em Queens' College, Cambridge em 1644, da qual teve que renunciar após seu casamento.
Durante todo esse tempo, Wallis esteve próximo ao partido Parlamentarista, talvez como resultado de sua exposição a Holbeach na Felsted School. Prestou-lhes grande assistência prática na decifração de despachos Realistas. A qualidade da criptografia naquela época era mista; apesar dos sucessos individuais de matemáticos como François Viète, os princípios subjacentes ao design e análise de cifras eram muito mal compreendidos. A maioria das cifras eram métodos ad hoc baseados em um algoritmo secreto, em vez de sistemas baseados em uma chave variável. Wallis percebeu que os últimos eram muito mais seguros – até descrevendo-os como "inquebrável", embora não fosse confiante o suficiente nessa afirmação para encorajar a revelação de algoritmos criptográficos. Também estava preocupado com o uso de cifras por potências estrangeiras, recusando, por exemplo, o pedido de Gottfried Leibniz em 1697 para ensinar estudantes de Hanôver sobre criptografia.
Retornando a Londres – havia sido feito capelão em St Gabriel Fenchurch em 1643 – Wallis juntou-se ao grupo de cientistas que depois evoluiria para a Royal Society. Finalmente conseguiu aproveitar seus interesses matemáticos, dominando Clavis Mathematicae de William Oughtred em algumas semanas em 1647. Logo começou a escrever seus próprios tratados, abordando uma ampla gama de tópicos, que continuou pelo resto de sua vida. Wallis escreveu o primeiro levantamento sobre conceitos matemáticos na Inglaterra onde discutiu o sistema Hindu-Árabe.
Wallis juntou-se aos Presbiterianos moderados ao assinar a protesto contra a execução de Charles I, pelo qual incorreu na hostilidade duradoura dos Independentes. Apesar de sua oposição, foi nomeado em 1649 para a Cátedra Savilian de Geometria na University of Oxford, onde viveu até sua morte em 8 de novembro de 1703. Em 1650, Wallis foi ordenado como ministro. Depois, passou dois anos com Sir Richard Darley e Lady Vere como capelão privado. Em 1661, foi um dos doze representantes Presbiterianos na Savoy Conference.
Além de seus trabalhos matemáticos, escreveu sobre teologia, lógica, gramática inglesa e filosofia, e esteve envolvido na concepção de um sistema para ensinar um menino surdo a falar em Littlecote House. William Holder havia ensinado anteriormente um homem surdo, Alexander Popham, a falar "claramente e distintamente, e com um tom bom e gracioso". Wallis depois reivindicou crédito por isso, levando Holder a acusar Wallis de "roubar seus Vizinhos, e adornar-se com seus despojos".
A nomeação de Wallis como Professor Savilian de Geometria na University of Oxford
A visitação Parlamentar de Oxford que começou em 1647 removeu muitos acadêmicos sênior de seus cargos, incluindo em novembro de 1648 os Professores Savilians de Geometria e Astronomia. Em 1649, Wallis foi nomeado Professor Savilian de Geometria. Wallis parece ter sido escolhido em grande parte por razões políticas como talvez tivesse sido seu antecessor Realista Peter Turner, que apesar de seu cargo em duas cátedras nunca publicou nenhum trabalho matemático; enquanto Wallis era talvez o criptógrafo mais importante da nação e fazia parte de um grupo informal de cientistas que depois se tornaria a Royal Society, ele não tinha particular reputação como matemático. No entanto, a nomeação de Wallis se mostrou amplamente justificada por seu trabalho subsequente durante os 54 anos em que serviu como Professor Savilian.
Contribuições para a matemática
Wallis fez contribuições significativas para trigonometria, cálculo, geometria e análise de séries infinitas. Em sua Opera Mathematica I 1695, ele introduziu o termo "fração contínua".
Wallis rejeitou como absurda a ideia agora usual de um número negativo como sendo menor que nada, mas aceitou a visão de que é algo maior que o infinito. O argumento de que números negativos são maiores que o infinito envolve o quociente 1 x e considerando o que acontece quando x se aproxima e depois cruza o ponto x = 0 pelo lado positivo. Apesar disso, é geralmente creditado como o originador da ideia da reta numérica, na qual os números são representados geometricamente em uma linha com os números negativos representados por comprimentos opostos em direção aos comprimentos dos números positivos.
Geometria analítica
Em 1655, Wallis publicou um tratado sobre seções cônicas nas quais foram definidas analiticamente. Este foi o livro mais antigo no qual essas curvas são consideradas e definidas como curvas de segundo grau. Ajudou a remover algumas das dificuldades percebidas e obscuridade do trabalho de René Descartes sobre geometria analítica. No Treatise on the Conic Sections, Wallis popularizou o símbolo ∞ para infinito. Ele escreveu: "Suponho qualquer plano seguindo a Geometria dos Indivisíveis de Cavalieri como sendo composto de um número infinito de linhas paralelas, ou como prefiro, de um número infinito de paralelogramos da mesma altura; deixe a altura de cada um destes ser uma parte infinitamente pequena 1/∞ da altura total, e deixe o símbolo ∞ denotar Infinidade e a altura de tudo para compor a altura da figura."
Cálculo integral
Arithmetica Infinitorum, o trabalho mais importante de Wallis, foi publicado em 1656. Neste tratado, os métodos de análise de Descartes e Cavalieri foram sistematizados e estendidos, mas algumas ideias foram abertas a críticas. Começou, após um breve tratado sobre seções cônicas, desenvolvendo a notação padrão para potências, estendendo-as de inteiros positivos para números racionais:
Deixando as numerosas aplicações algébricas dessa descoberta, ele prosseguiu para encontrar, por integração, a área fechada entre a curva y = xm, o eixo de x, e qualquer ordenada x = h, e provou que a razão dessa área para a do paralelogramo na mesma base e da mesma altura é 1/m + 1, estendendo a fórmula de quadratura de Cavalieri. Ele aparentemente assumiu que o mesmo resultado seria verdadeiro também para a curva y = axm, onde a é qualquer constante, e m qualquer número positivo ou negativo, mas discutiu apenas o caso da parábola em que m = 2 e a hipérbole em que m = −1. Neste último caso, sua interpretação do resultado está incorreta. Ele então mostrou que resultados semelhantes podem ser escritos para qualquer curva da forma
e portanto, se a ordenada y de uma curva pode ser expandida em potências de x, sua área pode ser determinada: assim ele diz que se a equação da curva é y = x + x1 + x2 + ..., sua área seria x + x2/2 + x3/3 + ... Ele então aplicou isso à quadratura das curvas y = x − x2, y = x − x21, y = x − x22, etc., tomadas entre os limites x = 0 e x = 1. Ele mostra que as áreas são, respectivamente, 1, 1/6, 1/30, 1/140, etc. Ele então considerou curvas da forma y = x1/m e estabeleceu o teorema de que a área delimitada por essa curva e as linhas x = 0 e x = 1 é igual à área do retângulo na mesma base e da mesma altura como m : m + 1. Isto é equivalente a calcular
Ele ilustrou isso pela parábola, em que caso m = 2. Ele declarou, mas não provou, o resultado correspondente para uma curva da forma y = xp/q.
Wallis mostrou considerável engenhosidade ao reduzir as equações de curvas às formas dadas acima, mas, como estava desacquainted com o teorema binomial, ele não pôde efetuar a quadratura do círculo, cuja equação é y = 1 − x 2 poderia ser tomada como a média geométrica dos valores de
ou seja, 1 e 2 3 deveriam ser escolhidos para obedecer à lei desta série. Isto, por um método elaborado que não é descrito aqui em detalhes, leva a um valor para o termo interpolado que é equivalente a tomar
que agora é conhecido como o produto de Wallis.
Neste trabalho também a formação e propriedades das frações contínuas são discutidas, o assunto tendo sido trazido à proeminência pelo uso de Brouncker dessas frações.
Alguns anos depois, em 1659, Wallis publicou um tratado contendo a solução dos problemas sobre a ciclóide que haviam sido propostos por Blaise Pascal. Neste ele incidentalmente explicou como os princípios estabelecidos em sua Arithmetica Infinitorum poderiam ser usados para a retificação de curvas algébricas e deu uma solução do problema para retificar, ou seja, encontrar o comprimento da parábola semicúbica x3 = ay2, que havia sido descoberta em 1657 por seu aluno William Neile. Como todas as tentativas de retificar a elipse e hipérbole haviam sido necessariamente ineficazes, havia se suposto que nenhuma curva poderia ser retificada, como de fato Descartes havia definitivamente afirmado ser o caso. A espiral logarítmica havia sido retificada por Evangelista Torricelli e foi a primeira linha curva além do círculo cujo comprimento foi determinado, mas a extensão de Neile e Wallis para uma curva algébrica foi inovadora. A ciclóide foi a próxima curva retificada; isso foi feito por Christopher Wren em 1658.
No início de 1658, uma descoberta semelhante, independente da de Neile, foi feita por van Heuraët, e foi publicada por van Schooten em sua edição de Geometria de Descartes em 1659. O método de van Heuraët é o seguinte. Ele supõe a curva ser referida aos eixos retangulares; se assim for, e se x, y sejam as coordenadas de qualquer ponto nela, e n seja o comprimento da normal, e se outro ponto cujas coordenadas sejam x, η for tomado de modo que η : h = n : y, onde h é uma constante; então, se ds seja o elemento do comprimento da curva requerida, temos por triângulos semelhantes ds : dx = n : y. Portanto, h ds = η dx. Daí, se a área do locus do ponto x, η puder ser encontrada, a primeira curva pode ser retificada. Desta forma van Heuraët efetuou a retificação da curva y3 = ax2 mas acrescentou que a retificação da parábola y2 = ax é impossível. já que requer a quadratura da hipérbole. As soluções dadas por Neile e Wallis são algo semelhantes à dada por van Heuraët, embora nenhuma regra geral seja enunciada, e a análise seja desajeitada. Um terceiro método foi sugerido por Fermat em 1660, mas é inelegante e trabalhoso.
Colisão de corpos
A teoria da colisão de corpos foi proposta pela Royal Society em 1668 para a consideração de matemáticos. Wallis, Christopher Wren e Christian Huygens enviaram soluções corretas e similares, todas dependendo do que agora é chamado de conservação do momento; mas, enquanto Wren e Huygens confinaram sua teoria aos corpos perfeitamente elásticos colisão elástica, Wallis considerou também corpos imperfeitamente elásticos colisão inelástica. Isto foi seguido em 1669 por um trabalho sobre estática centros de gravidade, e em 1670 por um sobre dinâmica: estes fornecem um resumo conveniente do que era então conhecido sobre o assunto.
Álgebra
Em 1685, Wallis publicou Algebra, precedido por um relato histórico do desenvolvimento do assunto, que contém uma grande quantidade de informações valiosas. A segunda edição, emitida em 1693 e formando o segundo volume de sua Opera, foi consideravelmente ampliada. Esta álgebra é notável por conter o primeiro uso sistemático de fórmulas. Uma magnitude dada é aqui representada pela razão numérica que ela tem para a unidade do mesmo tipo de magnitude: assim, quando Wallis quer comparar dois comprimentos, ele considera cada um como contendo muitas unidades de comprimento. Isto talvez fique mais claro ao notar que a relação entre o espaço descrito em qualquer tempo por uma partícula que se move com uma velocidade uniforme é denotada por Wallis pela fórmula
s = vt,
onde s é o número representando a razão do espaço descrito para a unidade de comprimento; enquanto
