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Omar Khayyam은 페르시아의 수학자, 천문학자, 철학자, 그리고 시인이었습니다. 그는 이란 북동부의 Nishabur에서 태어났으며, 제1차 십자군 시대 Karakhanid와 Seljuq 통치자들의 궁정 근처에서 대부분의 삶을 보냈습니다.

수학자로서 그는 3차 방정식의 분류와 해결에 관한 업적으로 가장 유명하며, 원뿔곡선의 교점에 의한 기하학적 해를 제공했습니다. Khayyam은 또한 평행공준에 대한 이해를 발전시켰습니다. 천문학자로서 그는 33년의 매우 정확한 윤년 주기를 가진 태양력인 Jalali 달력을 설계했습니다.

Omar Khayyam에게 사성시(quatrains) 형태로 쓰인 시가 귀속되는 전통이 있습니다. 이 시는 Edward FitzGerald의 번역(Rubaiyat of Omar Khayyam, 1859)을 통해 영어권 세계에 널리 알려지게 되었으며, 세기말의 오리엔탈리즘에서 큰 성공을 거두었습니다.

삶

Omar Khayyam은 1048년 Nishapur에서 태어났습니다. Nishapur는 중세 시대 Khorasan의 주요 대도시로 11세기 Seljuq 왕조 하에서 번영의 절정에 달했습니다. Nishapur는 또한 조로아스터교의 주요 중심지였으며, Khayyam의 아버지가 이슬람으로 개종한 조로아스터교 신자였을 가능성이 높습니다. 아랍어 자료에 나타나는 그의 전체 이름은 Abu'l Fath Omar ibn Ibrahim al-Khayyam입니다. 중세 페르시아 문헌에서 그는 보통 단순히 Omar Khayyam으로 불립니다. 의심의 여지가 있지만, Khayyam이 아랍어로 천막 제조자를 의미하므로 그의 조상들이 천막 제조 무역을 따랐다고 종종 가정되어 왔습니다. Omar와 개인적으로 알고 있던 역사가 Bayhaqi는 그의 별점에 대한 모든 상세 내용을 제공합니다: "그는 쌍둥이자리였으며 태양과 수성이 상승했습니다. 이것은 현대 학자들이 그의 출생 날짜를 1048년 5월 18일로 확정하는 데 사용되었습니다.

그의 어린 시절은 Nishapur에서 보냈습니다. 그의 재능은 그를 Khorasan 지역의 최고 교사이자 최고 귀족의 자녀들을 가르쳤던 Imam Muwaffaq Nishaburi 밑에서 공부하도록 보낸 초기 튜터들에 의해 인정되었습니다. Khayyam은 또한 조로아스터교로 개종한 수학자 Abu Hassan Bahmanyar bin Marzban에게서 배웠습니다. Nishapur에서 과학, 철학, 수학, 천문학을 공부한 후 약 1068년경 그는 유명한 Ark 도서관이 있는 Bukhara 지역으로 여행했습니다. 약 1070년경 그는 Samarkand로 옮겼으며, 여기서 그는 도시의 주지사이자 대법관인 Abu Tahir Abd al-Rahman ibn ʿAlaq의 후원 아래 유명한 대수학 논문을 작성하기 시작했습니다. Omar Khayyam은 Karakhanid 통치자 Shams al-Mulk Nasr에 의해 친절하게 대접받았으며, Bayhaqi에 따르면 그를 "최고의 명예로 대하여 [Omar]를 그의 옥좌 옆에 앉힐 정도"였습니다.

1073–4년에 Karakhanid 영토에 침입한 Sultan Malik-Shah I와 평화가 체결되었습니다. Khayyam은 Grand Vizier Nizam al-Mulk가 그를 Marv 도시에서 Malik-Shah를 만나도록 초청했을 때 1074–5년에 Malik-Shah의 서비스에 들어갔습니다. Khayyam은 그 후 Isfahan에 천문대를 설립하고 페르시아 달력의 개정을 목표로 정밀한 천문 관측을 수행하는 과학자 그룹을 이끌도록 위임받았습니다. 이 사업은 아마도 1076년경에 시작되었고 1079년에 끝났으며, Omar Khayyam과 그의 동료들은 연도의 길이에 대한 측정을 완료하고 놀라운 정확도로 14자리 유효숫자로 보고했습니다.

Malik-Shah와 그의 보좌관(Ismaili의 암살자 집단에 의해 살해된 것으로 생각됨)의 죽음 이후 Omar는 궁정에서 지위를 잃었으며, 그 결과 그는 곧 메카로의 순례를 떠났습니다. Al-Qifti가 보도한 순례의 가능한 숨은 동기는 의혹과 이단성 주장(조로아스터교에 대한 가능한 동정심을 포함)을 반박하기 위해 자신의 신앙을 공개적으로 시연하는 것이었습니다. 그 후 그는 새로운 Sultan Sanjar에 의해 Marv에 초대받았으며, 아마도 궁정 천문학자로 일하기 위해서였습니다. 그는 나중에 건강 악화로 인해 Nishapur로 돌아갈 수 있었습니다. 돌아온 후 그는 은둔자의 삶을 살았던 것 같습니다.

Omar Khayyam은 83세의 나이에 그의 고향 Nishapur에서 1131년 12월 4일에 사망했으며, 현재 Omar Khayyam 영묘에 묻혀 있습니다. 그의 제자 중 한 명인 Nizami Aruzi는 1112–3년 동안 Khayyam이 Jalali 달력 작업을 협력했던 과학자 중 한 명인 Al-Isfizari와 함께 Balkh에 있을 때 "내 무덤은 북풍이 장미를 흩어놓을 수 있는 장소에 있을 것이다"는 예언을 했다는 이야기를 전합니다. 그의 사망 4년 후 Aruzi는 Marv로 가는 길에 있던 Nishapur의 당시 크고 유명한 지역의 묘지에 있는 그의 무덤을 찾았습니다. Khayyam이 예견했듯이 Aruzi는 배나무와 복숭아나무가 그 가지를 내밀고 꽃을 떨어뜨린 정원 담장의 밑에 위치한 무덤을 발견했으며, 그의 묘석은 그것들 아래 숨겨져 있었습니다.

수학

Khayyam은 생전에 수학자로 유명했습니다. 그의 현존하는 수학 저작에는: Euclid의 Elements 공준의 어려운 점에 대한 주석(Risāla fī šarḥ mā aškala min muṣādarāt kitāb Uqlīdis, 1077년 12월 완성), 원의 사분원(quadrant) 분할에 관하여(Risālah fī qismah rub' al-dā'irah, 미결정이지만 대수학 논문 이전에 완성), 그리고 대수학에 관한 문제들의 증명에 관하여(Maqāla fi l-jabr wa l-muqābala, 가장 가능성 높게 1079년에 완성)이 포함됩니다. 또한 그는 이항정리 추출과 자연수의 n제곱근에 관한 논문을 저술했으나 이는 사라졌습니다.

평행선 이론

Khayyam의 Euclid Elements 주석의 일부는 평행공준을 다룹니다. Khayyam의 논문은 순환논리에 기반하지 않고 더욱 직관적인 공준에 기반한 공준의 첫 번째 처리로 간주될 수 있습니다. Khayyam은 다른 수학자들의 이전 시도들을 반박했으며, 주로 그들이 제5공준 자체보다 인정하기 어려운 것을 공준으로 삼았다는 이유에 기반합니다. Aristotle의 견해를 바탕으로 그는 기하학에서 운동의 사용을 거부했으므로 Al-Haytham의 다른 시도를 배제했습니다. Euclid의 명제를 다른 공준에서 증명하려는 수학자들의 실패에 불만족한 Omar는 공준을 모든 직각이 서로 같다고 명시하는 제4공준과 연결시키려 했습니다.

Khayyam은 Khayyam-Saccheri 사각형의 꼭짓각에 대해 예각, 둔각, 직각의 세 경우를 처음으로 고려했으며, 이 세 경우는 포괄적이고 쌍으로 상호 배타적입니다. 그는 이들에 대한 여러 정리를 증명한 후 공준 V가 직각 가설의 귀결임을 증명했으며, 둔각과 예각의 경우가 자기 모순임을 반박했습니다. Khayyam의 평행공준 증명에 대한 정교한 시도는 기하학의 추가 발전에 중요했으므로, 비유클리드 기하학의 가능성을 명확히 보여줍니다. 예각, 둔각, 직각의 가설은 현재 각각 Gauss-Bolyai-Lobachevsky의 비유클리드 쌍곡기하학, Riemannian 기하학, 그리고 유클리드 기하학으로 이어진다고 알려져 있습니다.

Tusi의 Khayyam의 평행선 처리에 대한 주석들이 유럽으로 전해졌습니다. Oxford의 기하학 교수였던 John Wallis는 Tusi의 주석을 라틴어로 번역했습니다. 저작(euclides ab omni naevo vindicatus, 1733)이 일반적으로 결국 비유클리드 기하학의 발전의 첫 단계로 간주되는 Jesuit 기하학자 Girolamo Saccheri는 Wallis의 저작에 익숙했습니다. 미국의 수학 역사가 David Eugene Smith는 Saccheri가 "Tusi와 동일한 보조정리를 사용했으며, 정확히 같은 방식으로 도형에 문자를 표기하고 같은 목적으로 보조정리를 사용했다"고 언급합니다. 그는 또한 "Tusi는 그것이 Omar Khayyam 때문이라고 분명히 명시했으며, 본문에서 후자가 그의 영감의 원천이었음이 명확해 보인다"고 말합니다.

실수 개념

Euclid에 관한 이 논문은 비율 이론 및 비율의 합성을 다루는 또 다른 기여를 포함합니다. Khayyam은 비율의 개념과 수의 개념 사이의 관계를 논의하고 다양한 이론적 어려움을 명시적으로 제기합니다. 특히 그는 무리수 개념의 이론적 연구에 기여했습니다. Euclid의 동일 비율 정의에 불만족한 그는 연속분수를 비율 표현의 수단으로 사용하여 수의 개념을 재정의했습니다. Rosenfeld와 Youschkevitch (1973)는 "[Khayyam이] 무리량과 수를 같은 연산 척도에 놓음으로써 [그는] 수의 교리에서 진정한 혁명을 시작했다"고 주장합니다. 마찬가지로 D. J. Struik는 Omar가 "실수 개념의 개념으로 이어지는 수 개념의 확장의 길에 있었다"고 언급했습니다.

기하학적 대수

Rashed와 Vahabzadeh (2000)는 대수 방정식에 대한 철저히 기하학적 접근법 때문에 Khayyam이 해석기하학의 발명에서 Descartes의 선구자로 간주될 수 있다고 주장했습니다. 원의 사분원 분할에 관한 논문에서 Khayyam은 대수를 기하학에 적용했습니다. 이 저작에서 그는 주로 원의 분할점에서 원의 수직 지름으로 투영된 선분이 특정 비율을 형성하는 방식으로 원의 사분원을 두 부분으로 나누는 것이 가능한지 여부를 조사하는 데 전력했습니다. 그의 해법은 차례로 3차 및 2차 항을 포함하는 방정식으로 이어진 여러 곡선 구성을 사용했습니다.

3차 방정식의 해

Khayyam은 3차 방정식의 일반 이론을 처음으로 생각해낸 것 같으며, 양의 근에 관한 한 모든 종류의 3차 방정식을 기하학적으로 해결한 첫 번째 인물입니다. 대수학에 관한 논문은 3차 방정식에 대한 그의 저작을 포함합니다. 이는 세 부분으로 나뉩니다: (i) 컴퍼스와 직선으로 해결할 수 있는 방정식, (ii) 원뿔곡선으로 해결할 수 있는 방정식, (iii) 미지수의 역원을 포함하는 방정식.

Khayyam은 직선, 제곱, 3제곱을 포함하는 모든 가능한 방정식의 철저한 목록을 작성했습니다. 그는 3개의 이항 방정식, 9개의 3항 방정식, 그리고 7개의 4항 방정식을 고려했습니다. 1차 및 2차 다항식의 경우, 그는 기하학적 구성으로 수치 해를 제공했습니다. 그는 더 낮은 차수의 방정식으로 축약될 수 없는 14가지의 서로 다른 유형의 3차 방정식이 있다고 결론지었습니다. 이들의 경우 그는 컴퍼스와 직선으로 자신의 미지 선분의 구성을 완성할 수 없었습니다. 그는 원뿔곡선의 성질을 사용하여 모든 유형의 3차 방정식에 대한 기하학적 해를 제시하기로 진행했습니다. Khayyam의 기하학적 증명을 위한 필수 보조정리는 Euclid VI, Prop 13, 그리고 Apollonius II, Prop을 포함합니다. 3차 방정식의 양의 근은 두 원뿔곡선의 교점의 횡좌표로 결정되었으며, 예를 들어 두 포물선의 교점, 또는 포물선과 원의 교점 등입니다. 그러나 그는 이 3차 방정식의 산술 문제가 여전히 미해결되어 있다고 인정했으며, "아마도 다른 누군가가 우리 이후에 그것을 알게 될 것"이라고 덧붙였습니다. 이 과제는 16세기까지 남아있었으며, 3차 방정식의 대수적 해결이 르네상스 이탈리아의 Cardano, Del Ferro, 그리고 Tartaglia에 의해 일반적으로 발견되었습니다.

실제로 Khayyam의 저작은 대수와 기하학을 통일하려는 노력입니다. 이 특정한 3차 방정식의 기하학적 해결은 M. Hachtroudi에 의해 추가로 조사되었으며 4차 방정식 풀이로 확장되었습니다. Menaechmus 이후로 유사한 방법이 산발적으로 나타났으며 10세기 수학자 Abu al-Jud에 의해 추가로 발전했지만, Khayyam의 저작은 3차 방정식을 해결하는 첫 번째 체계적 연구이자 첫 번째 정확한 방법으로 간주될 수 있습니다. Khayyam의 대수학을 프랑스어로 번역한 수학자 Woepcke (1851)는 그를 "일반화의 힘과 엄격히 체계적인 절차"로 칭찬했습니다.

이항정리 및 근의 추출

그의 대수학 논문에서 Khayyam은 n제곱근 추출에 관해 저술한 책을 언급하며, 여기서 n은 양의 정수입니다. 2의 거듭제