Brahmagupta

해가 자신의 광채로 별을 가리듯이, 지식 있는 사람도 민중의 집회에서 대수 문제를 제시하면 다른 사람들의 명성을 가릴 것이고, 특히 그것을 풀면 더욱 그럴 것이다.

Brahmagupta는 인도의 수학자이자 천문학자였다. 그는 수학과 천문학에 관한 두 가지 초기 저작의 저자이다: 628년으로 추정되는 이론적 논문인 Brāhmasphuṭasiddhānta BSS, "Brahma의 올바르게 확립된 교리"와 665년으로 추정되는 더 실용적인 텍스트인 Khaṇḍakhādyaka "먹을 수 있는 한입"이다.

Brahmagupta는 0으로 계산하는 규칙을 처음으로 제시했다. Brahmagupta가 저술한 텍스트들은 인도 수학에서 흔한 관례처럼 산스크리트어의 타원형 운문으로 쓰여 있었다. 증명이 제시되지 않았으므로 Brahmagupta의 결과가 어떻게 도출되었는지 알려져 있지 않다.

생애 및 경력

Brahmagupta는 자신의 진술에 따르면 598 CE에 태어났다. 그는 현대 인도의 라자스탄의 Bhinmal인 Gurjaradesa의 Bhillamāla에서 Chavda 왕조의 통치자 Vyagrahamukha의 치세 동안 살았다. 그는 Jishnugupta의 아들이었으며 종교적으로는 힌두교, 특히 Shaivite였다. 그는 인생의 상당 부분을 그곳에서 살고 일했다. 후대의 주석가인 Prithudaka Svamin은 그를 Bhillamalacharya, Bhillamala의 교사라고 불렀다.

Bhillamala는 Gurjaradesa의 수도였으며, 인도 서부의 두 번째로 큰 왕국으로 현대의 인도에서 남부 라자스탄과 북부 구자라트를 포함하고 있었다. 또한 수학과 천문학의 학습 중심지였다. Brahmagupta는 이 기간 동안 인도 천문학의 4대 학파 중 하나인 Brahmapaksha 학파의 천문학자가 되었다. 그는 인도 천문학의 5가지 전통적 Siddhartha를 연구했을 뿐만 아니라 Aryabhata I, Latadeva, Pradyumna, Varahamihira, Simha, Srisena, Vijayanandin, Vishnuchandra를 포함한 다른 천문학자들의 저작도 연구했다.

628년에 30세의 나이에 그는 Brahmapaksha 천문학파의 받아들여진 Siddhanta의 수정 버전으로 여겨지는 'Brāhmasphuṭasiddhānta' Brahma의 개선된 논문을 저술했다. 학자들은 그가 그의 개정에 많은 독창성을 포함시켜 상당한 양의 새로운 자료를 추가했다고 말한다. 이 책은 ārya 운율의 1008개 구절로 이루어진 24개 장으로 구성되어 있다. 많은 부분이 천문학이지만, 대수학, 기하학, 삼각법, 알고리즘을 포함한 수학의 핵심 장들도 포함하고 있으며, 이들은 Brahmagupta 자신으로 인한 새로운 통찰력을 담고 있다고 여겨진다.

나중에 Brahmagupta는 인도 중부의 또 다른 주요 천문학 중심지인 Avanti의 Ujjaini로 이동했다. 67세의 나이에 그는 학생들이 사용하도록 의도된 karana 범주의 인도 천문학 실용 매뉴얼인 Khanda-khādyaka라는 다음의 유명한 저작을 저술했다.

Brahmagupta는 668 CE에 사망했으며, 그는 Ujjain에서 사망한 것으로 추정된다.

논쟁

Brahmagupta는 경쟁 천문학자들의 저작에 대해 많은 비판을 했으며, 그의 Brahmasphutasiddhanta는 인도 수학자들 사이의 가장 초기의 분열 중 하나를 보여준다. 이 분열은 주로 수학 자체가 아니라 수학을 물리적 세계에 적용하는 것에 관한 것이었다. Brahmagupta의 경우, 불일치는 주로 천문 매개변수와 이론의 선택으로부터 비롯되었다. 경쟁 이론에 대한 비판은 처음 10개의 천문 장 전반에 걸쳐 나타나고 11번째 장은 전적으로 이러한 이론들에 대한 비판에 바쳐져 있지만, 12번째와 18번째 장에는 비판이 나타나지 않는다.

평가

과학사 역사가 George Sarton은 그를 "그의 인종 중 가장 위대한 과학자이자 그 시대의 가장 위대한 과학자"라고 불렀다. Brahmagupta의 수학적 발전은 Ujjain의 직계 후손인 Bhāskara II에 의해 계속되었으며, 그는 Brahmagupta를 ganaka-chakra-chudamani 수학자 원의 보석이라고 표현했다. Prithudaka Svamin은 그의 두 저작에 대한 주석을 저술하여 어려운 구절을 더 간단한 언어로 변환하고 그림을 추가했다. 8세기와 9세기의 Lalla와 Bhattotpala는 Khanda-khadyaka에 대한 주석을 저술했다. 추가 주석은 12세기까지 계속 작성되었다.

Brahmagupta의 사망 후 수십 년, Sindh는 712 CE에 아랍 칼리프 통치 아래 들어갔다. 아랍 역사가들의 기록에 따르면 Gurjaradesa "Al-Baylaman in Jurz"에 원정이 파견되었다. Bhillamala 왕국은 괴멸된 것으로 보이지만 Ujjain은 공격을 격퇴했다. 칼리프 Al-Mansur 754–775의 궁정은 Sindh로부터의 사절단을 받았는데, 여기에는 아마도 Brahmagupta의 것들을 포함한 기억된 천문 텍스트를 가져온 Kanaka라는 점성술사가 포함되어 있었다. Brahmagupta의 텍스트는 Al-Mansur의 궁정의 천문학자인 Muhammad al-Fazari에 의해 Sindhind와 Arakhand라는 이름으로 아랍어로 번역되었다. 직접적인 결과는 텍스트에 사용된 십진수 체계의 확산이었다. 수학자 Al-Khwarizmi 800–850 CE는 al-Jam wal-tafriq bi hisal-al-Hind 인도 산술의 덧셈과 뺄셈이라는 텍스트를 저술했으며, 이는 13세기에 라틴어로 Algorithmi de numero indorum으로 번역되었다. 이러한 텍스트들을 통해 십진수 체계와 Brahmagupta의 산술 알고리즘이 전 세계에 확산되었다. Al-Khwarizmi는 또한 Al-Fazari의 버전을 바탕으로 자신만의 Sindhind 버전을 저술하여 프톨레마이오스 요소를 포함했다. 인도 천문학 자료는 수세기 동안 광범위하게 유포되었으며, 심지어 중세 라틴 텍스트에도 전달되었다.

수학

대수학

Brahmagupta는 Brahmasphutasiddhānta의 18장에서 일반적인 1차 방정식의 해를 제시했다.

이는 rupas가 상수 c와 e를 의미하는 방정식 bx + c = dx + e의 해이다. 주어진 해는 x = e − c/b − d와 동치이다. 그는 더 나아가 일반적인 2차 방정식에 두 가지 동치의 해를 제시했다.

18.44. [중간 수]에 의해 4배의 제곱에 곱해지고 [중간 수]의 제곱이 증가된 rupas의 제곱근을 감소시키고; 나머지를 제곱의 2배로 나누어라. [그 결과가] 중간 [수]이다.
18.45. 어떤 제곱의 rupas에 곱해지고 미지수의 절반의 제곱이 증가된 것의 제곱근이든, 그것을 미지수의 절반으로 감소시키고 [나머지를] 그것의 제곱으로 나누어라. [그 결과가] 미지수이다.

이들은 각각 방정식 ax2 + bx = c에 동치인 해이다.

그리고

그는 동시 부정방정식 체계를 풀면서 원하는 변수를 먼저 분리해야 하고, 그 다음 방정식을 원하는 변수의 계수로 나누어야 한다고 말했다. 특히, 그는 여러 미지수가 있는 방정식을 풀기 위해 "분쇄기"를 사용할 것을 권장했다.

18.51. 첫 번째 색과 다른 색을 빼라. [나머지를] 첫 번째 [색의 계수]로 나눈 것이 첫 번째의 측정값이다. [항들이] 둘씩 [동일한 약수로 감소될 때] 고려되고, [그렇게] 반복적으로 진행된다. 만약 많은 [색들]이 있다면, 분쇄기 [를 사용하라].

Diophantus의 대수학과 마찬가지로 Brahmagupta의 대수학은 동기화되었다. 덧셈은 숫자를 나란히 배치하여 표시되었고, 뺄셈은 피감수 위에 점을 놓여 표시되었으며, 나눗셈은 나누는 수를 피제수 아래에 놓아 표시되었으므로 우리의 표기법과 유사하지만 막대는 없다. 곱셈, 거듭제곱, 미지수는 적절한 항의 축약으로 표현되었다. 이 동기화에 대한 그리스 영향의 정도가 있는지 여부는 알려져 있지 않으며, 그리스와 인도 동기화 모두 공통의 바빌로니아 출처에서 파생되었을 가능성도 있다.

산술

4가지 기본 연산인 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈은 Brahmagupta 이전에 많은 문화에 알려져 있었다. 현재 체계는 Hindu-Arabic 수 체계를 기반으로 하며 처음 Brahmasphutasiddhanta에 나타났다. Brahmagupta는 곱셈을 다음과 같이 설명한다 "피승수는 승수의 적분 부분이 있을 때마다 소처럼 반복되며 반복적으로 그들에 의해 곱해지고 곱들이 함께 더해진다. 그것이 곱셈이다. 또는 피승수는 승수의 구성 부분이 있을 때마다 반복된다". 인도 산술은 중세 유럽에서 "Modus Indorum"으로 알려져 있었으며 이는 인도인들의 방법을 의미한다. Brahmasphutasiddhanta에서 곱셈은 Gomutrika라는 이름이 붙었다. 

그의 Brahmasphutasiddhānta의 12장의 시작 부분에서 "계산"이라는 제목으로 Brahmagupta는 분수 연산에 대해 자세히 설명한다. 독자는 기본 산술 연산을 제곱근을 취하는 것까지 알아야 하지만, 그는 정수의 세제곱과 세제곱근을 찾는 방법을 설명하고 나중에 제곱과 제곱근의 계산을 용이하게 하는 규칙을 제시한다. 그 후 그는 5가지 분수 조합 유형을 다루는 규칙을 제시한다: a/c + b/c; a/c × b/d; a/1 + b/d; a/c + b/d × a/c = ad + b/cd; 그리고 a/c − b/d × a/c = ad − b/cd.

급수

Brahmagupta는 계속해서 처음 n개 정수의 제곱과 세제곱의 합을 제시한다.

여기서 Brahmagupta는 현대 관례처럼 n에 관한 항이 아닌 처음 n개 정수의 합에 관한 항으로 결과를 찾았다.

그는 처음 n개 자연수의 제곱의 합을 nn + 12n + 1/6으로, 처음 n개 자연수의 세제곱의 합을 nn + 1/22로 제시한다.

영(0)

Brahmagupta의 Brahmasphuṭasiddhānta는 0과 음수에 적용되는 산술 조작을 위한 규칙을 제공하는 첫 번째 책이다. Brahmasphutasiddhānta는 바빌로니아인들이 다른 수를 나타내는 자리수로서 취급한 것처럼 또는 Ptolemy와 로마인들이 한 것처럼 양의 부재에 대한 기호로서가 아니라 자신의 권리로 0을 다루는 가장 초기의 알려진 텍스트이다. Brahmasphutasiddhānta의 18장에서 Brahmagupta는 음수에 대한 연산을 설명한다. 그는 먼저 덧셈과 뺄셈을 설명한다.

18.30. [두 양수의 합]은 양수이고, [두 음수의 합은] 음수이다; [양수와 음수의 합]은 그들의 차이다; 만약 그들이 같으면 0이다. [음수와 0의 합]은 음수이고, [양수와 0의 합은] 양수이며, [두 0의 합]은 0이다.

18.32. [음수에서 0을 뺀 것은] 음수이고, [양수에서 0을 뺀 것은] 양수이다; [0에서 0을 뺀 것]은 0이다. 음수에서 양수를 빼거나 양수에서 음수를 뺄 때, 그것은 더해야 한다.

그는 곱셈을 설명하면서 계속 진행한다.

18.33. [음수와 양수의 곱]은 음수이고, [두 음수의 곱은] 양수이며, [양수의 곱은] 양수이다; 0과 음수의 곱, 0과 양수의 곱, 또는 두 0의 곱은 0이다.

하지만 그의 0으로 나누는 설명은 우리의 현대적 이해와 다르다:

18.34. [양수를 양수로 나누거나 음수를 음수로 나눈 것]은 양수이고; [0을 0으로 나눈 것]은 0이다; [양수를 음수로 나눈 것]은 음수이다; [음수를 양수로 나눈 것은 또한] 음수이다.
18.35. [음수 또는 양수를 0으로 나눈 것]은 그 [0을] 약수로 가지거나, [0을 음수 또는 양수로 나눈 것]은 그 [음수 또는 양수를] 약수로 가진다. [음수 또는 양수의 제곱]은 양수이고; [0의 제곱]은 0이다. [제곱이 제곱인 것]은 [그것의] 제곱근이다.

여기서 Brahmagupta는 / = 0이라고 말하며, a가 0이 아닌 a/에 대한 질문과 관련하여 그는 자신을 제한하지 않았다. 그의 음수와 0에 대한 산술 규칙은 현대의 이해에 상당히 가깝지만, 현대 수학에서는 0으로의 나눗셈이 정의되지 않은 것으로 남아 있다.

디오판토스 분석

피타고라스 수

Brahmasphutasiddhanta의 12장에서 Bra