William Kingdon Clifford

少し考えてみれば、最も単純で基本的な信念でさえ、私たちの行動の指針として見なされるとき、経験を超えていることがわかります。

William Kingdon Cliffordはイギリスの数学者で哲学者でした。Hermann Grassmannの業績をベースに、現在は幾何代数と呼ばれるもの、つまり彼の名前にちなんで名付けられたClifford代数の特殊な場合を導入しました。幾何代数の演算は、モデル化されている幾何学的オブジェクトを反射、回転、変換、新しい位置にマッピングする効果を持ちます。一般的なClifford代数および特に幾何代数は、数学物理学、幾何学、およびコンピューティングにおいてますます重要性を増してきました。Cliffordは重力が基礎的な幾何学の現れかもしれないことを最初に示唆した人物でした。彼の哲学的著作では、心-物質という表現を造語しました。

伝記

Exeterで生まれたWilliam Cliffordは学校で大きな期待を示しました。15歳でKing's College Londonに進学し、その後Trinity College, Cambridgeに進み、1868年にフェローに選出されました。1867年には2番目のwrangler、2番目のSmith's prizeman（スミス賞受賞者）でした。2番目になるという運命は、William Thomson Lord KelvinやJames Clerk Maxwellを含む、後に有名な科学者になった他の人物たちと共有するものでした。1870年には、1870年12月22日の日食を観測するためにイタリアへの遠征に参加しました。その航海中に、彼はシチリア海岸沿いの難破船で生き残りました。

1871年に、彼はUniversity College Londonの数学と力学の教授に任命され、1874年にはロイヤルソサエティのフェローになりました。彼はまた、ロンドン数学会と形而上学会の会員でもありました。

1875年4月7日、Cliffordはlucy Laneと結婚し、2人の子供がいました。Cliffordは子供たちと付き合うことを楽しみ、『The Little People』というおとぎ話集を執筆しました。

死と遺産

1876年、Cliffordは過労によってもたらされた可能性が高い神経衰弱を患いました。彼は昼間に教鞭をとり管理業務を行い、夜間に執筆していました。アルジェリアとスペインでの半年間の休暇により、彼は18ヶ月間職務を再開することができましたが、その後再び倒れました。彼は回復するためにマデイラ島に行きましたが、数ヶ月後に結核で亡くなり、未亡人と2人の子供を残しました。

Cliffordと彼の妻はロンドンのHighgate Cemeteryに埋葬されており、George EliotとHerbert Spencerの墓の近く、Karl Marxの墓の真北に位置しています。

学術誌『Advances in Applied Clifford Algebras』は、運動学および抽象代数におけるCliffordの遺産について発表しています。

数学

非ユークリッド幾何学の発見は、Cliffordの時代に幾何学の新しい可能性を開きました。内的微分幾何学の分野が誕生し、曲率の概念が空間そのものおよび曲線と表面に広く適用されました。Cliffordは、Bernhard Riemannの1854年のエッセイ「幾何学の基礎にある仮説について」に非常に感銘を受けました。1870年に、彼はCambridge Philosophical Societyにより、Riemannの曲面空間概念について報告し、重力による空間の曲がりについての推測を含めました。Cliffordの『Riemannの論文』の翻訳は1873年にNatureで発表されました。Cambridge での彼の報告『物質の空間理論について』は1876年に発表され、Albert Einsteinの一般相対性理論を40年先取りしていました。Cliffordは楕円空間幾何学を非ユークリッド計量空間として展開しました。楕円空間の等距離曲線はClifford平行線と呼ばれるようになりました。

Cliffordは何よりもまず何よりも幾何学者でした。

Cliffordの同時代の人々は、彼を聡明で独創的で、機知に富み、温かい人物と見なしていました。彼はしばしば夜遅くまで働き、それが彼の死を早めたかもしれません。彼は代数形式や射影幾何学を含むさまざまなトピックに関する論文、および教科書『Elements of Dynamic』を発表しました。不変理論への彼のグラフ理論の応用は、William SpottiswoodeとAlfred Kempeによってその後追及されました。

代数学

1878年、Cliffordは、Grassmannの広範な代数をベースに、独創的な著作を発表しました。彼はWilliam Rowan Hamiltonによって開発された四元数と、Grassmannの外積（外積とも呼ばれる）の統一に成功していました。彼はGrassmannの創作の幾何学的性質を理解し、四元数がGrassmannが開発した代数にきちんと適合することを理解していました。四元数のversorsは回転の表現を促進します。Cliffordは幾何学的積の基礎を築きました。幾何学的積は、内積とGrassmannの外積の合計で構成されます。幾何学的積は最終的にハンガリーの数学者Marcel Rieszによって形式化されました。内積は幾何代数に計量を備わせ、線、平面、体積の距離および角度の関係を完全に組み込みます。一方、外積はこれらの平面および体積にベクトルのような性質（方向的なバイアスを含む）を与えます。

この2つを組み合わせることで、除算の操作が関わってきました。これにより、オブジェクトが空間でどのように相互作用するかについての定性的な理解が大幅に拡張されました。重要なことに、それはまた、それらの相互作用の空間的結果を定量的に計算する手段も提供しました。結果として得られた幾何代数は、彼がそう呼んだように、3次元空間内のオブジェクトの動きと投影を反映する代数を作成するという長年求められていた目標を最終的に実現しました。

さらに、Cliffordの代数スキーマは高次元に拡張されます。代数演算は、2次元または3次元でと同じ象徴的な形式を持っています。一般的なClifford代数の重要性は時間とともに増してきており、実代数としてのそれらの同型クラスは、単に四元数を超えた他の数学体系で識別されています。

実解析と複素解析の領域は、四元数のH代数を通じて拡張されており、それは4次元空間に埋め込まれた3次元球面の概念のおかげです。このの3球面に存在する四元数versorsは、回転群SO3の表現を提供します。Cliffordは、Hamiltonの双四元数がテンソル積H⊗C形式の二重四元数であることに気づきました。双四元数の代数は、運動学における一般的なマッピングであるネジ変位を表現するために使用されます。

哲学

哲学者として、Cliffordの名前は、主に彼が造語した2つのフレーズ、心-物質および部族的自己に関連しています。前者は、Baruch Spinozaの著作を読むことによって彼に示唆された彼の形而上学的概念を象徴しており、Cliffordは1878年に次のように定義しました：

我々が見たように、最も単純な感覚でさえ複雑な要素として、その要素を心-物質と呼びます。無機物の動く分子は心または意識を持っていませんが、それは心-物質の小さな部分を持っています。分子がクラゲの下側の膜を形成するように結合されているとき、それらと一致する心-物質の要素は、知覚の薄い始まりを形成するように結合されています。分子が脊椎動物の脳および神経系を形成するように結合されているとき、対応する心-物質の要素は、ある種の意識、すなわち同時に起こる複雑な変化が、一つの繰り返しが他方の繰り返しを暗に意味するようにリンクされるような形成をします。物質が生きている人間の脳の複雑な形態をとるとき、対応する心-物質は人間の意識の形態をとり、知性と意志を持ちます。

Cliffordの概念に関して、Sir Frederick Pollockは次のように書きました：

簡潔に言えば、その概念は心が唯一の究極の現実であるということです。意識的な感情と思考の複雑な形態として私たちが知る心ではなく、思考と感覚が構築されている単純な要素です。仮説的な究極の心の要素、または心-物質の原子は、物質の仮説的原子と正確に対応しており、物質原子が現象である究極の事実です。物質と感覚的な宇宙は、特定の有機体、つまり意識に組織された心と世界の他の部分との間の関係です。これは、緩くて一般的な意味では唯物論者と呼ばれるであろう結果につながります。しかし、理論は形而上学的理論として、観念論側で計算されるべきです。技術的に言えば、それは観念論的一元論です。

一方、部族的自己は、Cliffordの倫理的見解の鍵を与え、良心と道徳律を各個人の発展によって説明しており、「部族」の福祉に有利な行為を規定する「自己」の発展です。Cliffordの同時代の人物としての著名さの多くは、宗教に対する彼の態度に由来していました。彼の真実の概念に対する激しい愛と公的義務への献身によって促進された彼は、彼に好都合に見えるようなそのような教会体系に対して戦争を仕掛けました。不明朗性を好み、セクトの主張を人間社会のそれより上に置きます。神学がまだDarwinismと一致していなかったため、アラームはより大きかったです。Cliffordは、現代科学に帰属するその後の反精神的傾向の危険な擁護者と見なされました。また、Cliffordの「随伴」または「心理物理的平行主義」の教義がJohn Hughlings Jacksonの神経系のモデルにどの程度影響を与えたか、そしてそれを通じてJanetやFreudやRibotやEyの仕事に影響を与えたかについてのデバートがありました。

倫理学

1877年のエッセイ「信念の倫理」で、Cliffordは、証拠を欠く信念を持つことは不道徳であると主張しています。彼は、乗客でいっぱいの古い、あまりよく建てられていない船を海に送ることを計画していた船主について説明しています。船主は、船が航海可能でない可能性があるという疑いを彼に示唆していました：「これらの疑いは彼の心を悩ませ、彼を不幸にしました。」彼は、たとえ費用がかかるであろうとしても、船の改装を検討しました。ついに、「彼はこれらの憂鬱な思考を克服することに成功しました。」彼は「軽い心で...船の出発を見ました...そして、船が大洋の真ん中で沈んだとき、彼は保険金を得ました。」

Cliffordは、船主が乗客の死について有罪であると主張しています。たとえ彼が誠意を持って船が丈夫だと信じていたとしても：「彼は、彼の前にある証拠に基づいて信じる権利がなかった。」さらに、彼は、船が無事目的地に到達した場合でさえ、決定は不道徳のままであると主張しています。なぜなら、選択の道徳は選択がなされた時点で永遠に定義されるからであり、実際の結果は盲目的な偶然によって定義されるため重要ではありません。船主はそれ以上に有罪ではないでしょう。彼の不正行為は決して発見されないでしょうが、彼は依然としてその時利用可能な情報を与えられたその決定をする権利を持っていませんでした。

Cliffordは有名に次のように結論づけています：「不十分な証拠に基づいて何かを信じることは、常にどこでも誰にとってでも間違っています。」

このように、彼は、「盲目的な信仰」、つまり証拠がないにもかかわらずそれらを信じることが美徳である宗教的思想家に直接反対して主張しています。この論文は、実用主義の哲学者William Jamesが彼の「信じる意志」講演で有名に攻撃されました。これら2つの著作は、証拠主義、信仰、および過度な信念についての議論の試金石として、しばしば一緒に読まれ、出版されています。

相対性の前兆

Cliffordは時空と相対性の完全な理論を決して構築しませんでしたが、彼が印刷物で行った注目すべき観察があり、これらの現代的な概念を先取りしていました。彼の著書『Elements of Dynamic』1878年で、彼は「双曲線での準調和運動」を導入しました。彼はパラメータ化された単位双曲線の式を書きました。他の著者たちは後にそれを相対論的速度のモデルとして使用しました。他のところで彼は述べています：

このパッセージは双四元数への参照を含んでいますが、Cliffordはこれらを彼の独立した開発として分割二重四元数にしました。この本は「空間の曲がりについて」という章が続き、それは一般相対性理論の本質です。Cliffordはまた、1876年の「物質の空間理論について」で彼の見方について議論しました。

1910年にWilliam Barrett Franklandは彼の平行主義の本で「物質の空間理論」を引用しました：「この推測の大胆さは、確かに思考の歴史で比類のない。しかし、現在のところ、それはイカロスの飛行の見た目を示しています。」何年も後に、一般相対性理論がAlbert Einsteinによって進められた後、様々な著者はCliffordがEinsteinを先取りしていたことに気付きました。例えば、Hermann Weyl 1923は、相対性の幾何学的アイデアを先取りした人物の一人として、Bernhard Riemannのような人物としてCliffordに言及しました。

1940年、Eric Temple Bellは『数学の発展』を発表し、相対性に対するCliffordの先見の明について議論しています：

Riemannよりも大胆に、Cliffordは物質は時空多様体の曲率の単なる現れに過ぎないという彼の信念を告白しました（1870年）。この胎児的な直感は、Einsteinの（1915-16年）重力場の相対論的理論の先取りとして讃えられてきました。しかし、実際の理論は、Cliffordのかなり詳細な信条とほんの少しの類似性しか持っていません。原則として、特定の事柄に降りることのない数学的予言者は、トップスコアを記録します。ほぼ誰もが40ヤードのバックショットで納屋の側面に命中させることができます。

John Archibald Wheelerは、1960年にStanfordでのInternational Congress for Logic, Methodology, and Philosophy of Science CLMPSの間に、一般相対性理論の彼の幾何力学定式化を導入し、Cliffordをイニシエータとしてクレジットしました。

『The Natural Philosophy of Time』1961年で、Gerald James Whitrowはreca