痛みとして感じられる感覚であることは、それが痛みであることである。
Saul Aaron Kripke は、分析的伝統における米国の哲学者かつ論理学者である。彼はニューヨーク市立大学大学院センターの哲学の傑出教授であり、プリンストン大学の名誉教授である。1960年代から、Kripke は数理論理学、様相論理学、言語哲学、数学哲学、形而上学、認識論、および再帰理論に関連する多くの分野の中心的人物である。彼の業績の多くは未発表のままか、テープ録音および個人的に流布している原稿としてのみ存在している。
Kripke は論理学、特に様相論理学に影響力のある独創的な貢献をしている。彼の主な貢献は、現在 Kripke 意味論と呼ばれている可能世界を含む様相論理学の意味論である。彼は 2001 年の論理学と哲学における Schock 賞を受賞した。
Kripke はまた、論理実証主義の衰退後の形而上学の復興にある程度責任がある。必然性は先験的という認識論的概念とは異なる形而上学的概念であり、水が H2O であるなど、後天的に認識される必然的真理が存在すると主張している。1970 年のプリンストン講義シリーズは、1980 年に『名前と必然性』として書籍形式で出版され、20 世紀の最も重要な哲学的著作の一つと考えられている。可能世界のすべてにおいて真である剛直な指示子としての名前の概念を導入し、記述とは対照をなしている。また、Gottlob Frege の意味の概念および Bertrand Russell の記述の理論に見られる記述主義的理論に異議を唱えている、Kripke の参照の因果理論も含まれている。
Kripke はまた Ludwig Wittgenstein の独創的な読み方も提供し、『ウィトゲンシュタイン：規則と私的言語について』では「Kripkenstein」として知られている。この本には、意味について懐疑主義への逆説である彼の規則追従論証が含まれている。
人生と経歴
Saul Kripke は Dorothy K. Kripke および Rabbi Myer S. Kripke に生まれた 3 人の子どもの中で最年長である。彼の父はオマハ、ネブラスカ州の唯一の保守派会衆であるベスエル会堂の指導者であり、彼の母は子どもたちのための教育的ユダヤ教の本を執筆した。Saul と彼の 2 人の妹、Madeline および Netta は、Dundee 小学校およびオマハ・セントラル高校に通った。Kripke は天才児と指摘され、6 歳で古代ヘブライ語を独学で習得し、9 歳までにシェイクスピアの全作品を読み、小学校を修了する前に Descartes の著作と複雑な数学問題をマスターした。彼は 17 歳で様相論理学における最初の完全性定理を書き、1 年後に出版された。1958 年に高校を卒業した後、Kripke は Harvard University に進学し、1962 年に数学の学士号を優秀な成績で卒業した。Harvard での2年生の時に、彼は近隣の MIT で大学院レベルの論理学コースを教えた。卒業時に彼は Fulbright Fellowship を受け、1963 年に Fellows Society に任命された。Kripke は後に「大学をスキップできたらよかったのに。面白い人に知り合えたが、何かを学んだとは言えない。おそらく自分で読むだけでそれすべてを学んだだろう」と述べた。
Harvard で短期間教えた後、1968 年に Kripke はニューヨーク市の Rockefeller University に移動し、1976 年まで教えた。1978 年に彼は Princeton University の特任教授職に就いた。1988 年に彼は人文科学における傑出した成果に対する大学の Behrman Award を受け取った。2002 年に Kripke は CUNY Graduate Center で教え始め、2003 年に哲学の傑出教授に任命された。
Kripke は Nebraska 大学、オマハ 1977、Johns Hopkins 大学 1997、University of Haifa, Israel 1998、および Pennsylvania 大学 2005 から名誉学位を受け取った。彼はアメリカ哲学会の会員であり、アメリカ芸術科学アカデミーの選出フェロー、および 1985 年には英国アカデミーの通信員フェローである。彼は 2001 年に論理学と哲学における Schock 賞を受け取った。
Kripke は哲学者 Margaret Gilbert と結婚していた。彼は television ライター、ディレクター、およびプロデューサーである Eric Kripke の第 2 従兄弟 1 回削除である。
業績
Kripke の哲学への貢献には以下が含まれる：
- 様相および関連論理のための Kripke 意味論は、彼の 10 代から始まるいくつかのエッセイで発表された。
- 彼の 1970 年の Princeton 講義「名前と必然性」は 1972 年および 1980 年に出版され、言語哲学を大幅に再構成した。
- 彼の Wittgenstein の解釈。
- 彼の真理の理論。
彼はまた再帰理論にも貢献した。許容可能な順序数および Kripke–Platek 集合論を参照のこと。
様相論理学
Kripke の以前の 2 つの業績、「様相論理学における完全性定理」1959 および「様相論理学に関する意味論的考察」1963 は、前者は彼が十代の時に書かれた、様相論理学に関するものである。様相ファミリーで最も馴染みのある論理は K と呼ばれる弱い論理から構築され、Kripke にちなんで名付けられた。Kripke は現在標準的な Kripke 意味論（関係意味論またはフレーム意味論とも呼ばれる）を様相論理のために導入した。Kripke 意味論は非古典的論理体系の形式的意味論である。それは最初に様相論理に対して作成され、後に直観主義的論理および他の非古典的体系に適応された。Kripke 意味論の発見は非古典的論理の作成における突破口であった。なぜなら、Kripke 以前はそのような論理の模型理論が存在しなかったからである。
Kripke フレームまたは様相フレームは、⟨ W , R ⟩ のペアである。ここで、W は空でない集合であり、R は W 上の二項関係である。W の要素はノードまたは世界と呼ばれ、R は到達可能性関係として知られている。到達可能性関係の性質（推移性、反射性など）に応じて、対応するフレームは、拡張により、推移的、反射的などとして説明される。
Kripke モデルは、⟨ W , R , ⊩ ⟩ のトリプルであり、W のノードと様相式の間の関係であり、以下を満たす：
- w ⊩ ¬ A 、
- w ⊩ A → B 、
- w ⊩ ◻ A 。
w ⊩ A を読むことを充足関係、評価、または強制関係と呼ぶ。充足関係は命題変数上のその値によって一意に決定される。
式 A は以下で有効である：
- モデル ⟨ W , R , ⊩ ⟩ のすべての w ∈ W に対して、
- フレーム ⟨ W , R ⟩ 、
- フレームまたはモデルのクラス C （それが C のすべてのメンバーで有効である場合）。
ThmC を C で有効なすべての式の集合として定義する。逆に、X が式の集合である場合、ModX を X からのすべての式を検証するすべてのフレームのクラスとする。
様相論理、つまり式の集合 L が、フレームのクラス C に関して音であるのは、L ⊆ ThmC である場合である。L が C に関して完全であるのは、L ⊇ ThmC である場合である。
意味論は、意味論的帰結関係がその統語的相手である帰結関係可導性を反映する場合にのみ、論理を調査する場合に有用である。つまり、導出体系を調査する場合に有用である。どの様相論理が Kripke フレームのクラスに関して音かつ完全であるかを知ることは重要であり、それらのために、それがどのクラスであるかを決定することである。
Kripke フレームのあらゆるクラス C に対して、ThmC は特に、最小の正規様相論理 K の定理が、すべての Kripke モデルで有効である通常の様相論理である。しかし、逆は一般的には成り立たない。すべての Kripke モデルで有効である Kripke 不完全な通常の様相論理が存在する。これは研究されている様相体系のほとんどが単純な条件によって説明されるフレームのクラスの完全であるため問題ではない。
正規様相論理 L がフレームのクラス C に対応するのは、C = ModL である場合である。言い換えれば、C は L が wrt C に関して音であるような最大のフレームのクラスである。L が Kripke 完全であり、かつそれが対応するクラスで完全である場合のみに従う。
スキーマ T: ◻ A → A を考える。T は反射的 Kripke フレームのクラスに対応する。
L の対応するクラスを特徴づけることは、その完全性を証明することよりもはるかに簡単であることが多いため、対応は完全性証明へのガイドとしての役割を果たす。対応は様相論理の不完全性を示すためにも使用される。L1 ⊆ L2 は、同じフレームのクラスに対応する正規様相論理であるが、L1 は L2 のすべての定理を証明していないとする。その場合、L1 は Kripke 不完全である。例えば、スキーマ ◻ A ≡ ◻ A → ◻ A 。
標準的モデル
任意の正規様相論理 L に対して、L の定理を正確に検証する Kripke モデル（標準的モデルと呼ばれる）を構築できる。これは、最大一貫集合をモデルとして使用する標準的手法を適応させることによって行われる。標準的 Kripke モデルは、代数的意味論における Lindenbaum–Tarski 代数構成と同様の役割を果たす。
式の集合が L 一貫であるのは、L の公理および modus ponens を使用して矛盾を導出できない場合である。最大 L 一貫集合（略して L-MCS）は、正しい L 一貫スーパーセットを持たない L 一貫集合である。
L の標準的モデルは、Kripke モデル ⟨ W , R , ⊩ ⟩ であり、以下のように実行される：
標準的モデルは L のモデルである。なぜなら、すべての L-MCS は L のすべての定理を含むからである。Zorn の補題により、各 L 一貫集合は L-MCS に含まれ、特に L で証明不可能なすべての式は標準的モデルの反例を持つ。
標準的モデルの主な応用は完全性証明である。K の標準的モデルの性質は、すべての Kripke フレームのクラスに関する K の完全性を直ちに意味する。この論証は任意の L に対しては機能しない。なぜなら、標準的モデルの基礎となるフレームが L のフレーム条件を満たすという保証がないからである。
式または式の集合 X が Kripke フレームの性質 P に関する標準的であるのは、以下の場合である
- X は P を満たすすべてのフレームで有効である、
- X を含む任意の正規様相論理 L に対して、L の標準的モデルの基礎となるフレームは P を満たす。
標準的式の集合の和は、それ自体が標準的である。前の議論から、標準的式の集合によって公理化される任意の論理は Kripke 完全かつコンパクトであることが従う。
公理 T、4、D、B、5、H、G およびそれらの任意の組み合わせは標準的である。GL および Grz は標準的ではない。なぜなら、それらはコンパクトではないからである。公理 M 自体は標準的ではない（Goldblatt、1991）が、結合論理 S4.1（実際には、K4.1 も含め）は標準的である。
一般に、与えられた公理が標準的であるかどうかは決定不可能である。我々はいい十分条件を知っている。H. Sahlqvist は現在 Sahlqvist 式と呼ばれている広いクラスの式を識別した。そこで：
- Sahlqvist 式は標準的である、
- Sahlqvist 式に対応するフレームのクラスは一階定義可能である、
- 与えられた Sahlqvist 式に対応するフレーム条件を計算するアルゴリズムがある。
これは強力な基準である：例えば、上で標準的としてリストされたすべての公理は Sahlqvist 式と同等である。論理が有限フレームのクラスに関する完全性を持つ場合、その論理は有限モデル性（FMP）を持つ。この概念の応用は決定可能性の問題である。Post の定理から、再帰的に公理化された様相論理 L が FMP を持ち、与えられた有限フレームが L のモデルであるかどうかを決定できる場合、決定可能である。特に、FMP を持つすべての有限公理化可能な論理は決定可能である。
与えられた論理に対して FMP を確立するためのさまざまな方法がある。標準的モデル構成の精緻化および拡張は、濾過またはほどきなどのツールを使用して、しばしば機能する。別の可能性として、カット自由なシーケント計算に基づく完全性証明は通常、有限モデルを直接生成する。
実務で使用されるほとんどの様相体系（上記でリストされたものを含む）は FMP を有している。
いくつかのケースでは、我々は FMP を使用して論理の Kripke 完全性を証明できる。すべての正規様相論理は様相代数のクラスに関して完全である。有限様相代数を Kripke フレームに変換できる。例として、Robert Bull はこの方法を使用して、S4.3 のすべての正規拡張が FMP を持ち、Kripke 完全であることを証明した。
Kripke 意味論は、複数の様相を持つ論理への直接的な一般化を有する。{ ◻ i ∣ i ∈ I } をその必然性演算子の集合とする言語に対する Kripke フレームは、各 i ∈ I に対する二項関係 Ri を備えた空でない集合 W で構成されている。充足関係の定義は次のように修正される：
Carlson モデル
Tim Carlson によって発見された単純化された意味論は、多様相証明可能性論理のためにしばしば使用される。Carlson モデルは、構造 ⟨ W , R , { D i } i ∈ I , ⊩ ⟩ を備えた単一の到達可能性関係 R、および各様相に対する部分集合 Di ⊆ W を備えている。充足は以下のように定義される：
Carlson モデルは通常の多様相 Kripke モデルよりも視覚化および操作が容易である。しかし、Kripke 完全な多様相論理が存在し、Carlson 不完全である。
1963 年に出版された「様相論理学に関する意味論的考察」では、Kripke は古典的量化理論の困難に対応した。世界相対的アプローチの動機は、あるある世界のオブジェクトが別の世界に存在しない可能性を表現することであった。ただし、標準的な量化子規則を使用する場合、すべての項はすべての可能世界に存在する何かを参照する必要がある。これは、項を偶然的に存在するものを参照するために使用する通常の慣行と互換性がないように思われる。
この困難に対する Kripke の対応は項を排除することであった。彼は世界相対的解釈を使用し、保持するシステムの例を提供した
