Jacob Bernoulli también conocido como James o Jacques; 6 de enero de 1655 [O.S. 27 de diciembre de 1654] – 16 de agosto de 1705 fue uno de los muchos matemáticos prominentes de la familia Bernoulli. Fue un partidario temprano del cálculo leibniziano y se puso del lado de Gottfried Wilhelm Leibniz durante la controversia del cálculo de Leibniz-Newton. Es conocido por sus numerosas contribuciones al cálculo, y junto con su hermano Johann, fue uno de los fundadores del cálculo de variaciones. También descubrió la constante matemática fundamental e. Sin embargo, su contribución más importante fue en el campo de la probabilidad, donde derivó la primera versión de la ley de los grandes números en su obra Ars Conjectandi.
Biografía
Jacob Bernoulli nació en Basilea, Suiza. Siguiendo los deseos de su padre, estudió teología e ingresó al ministerio. Pero contrariamente a los deseos de sus padres, también estudió matemáticas y astronomía. Viajó por toda Europa de 1676 a 1682, aprendiendo sobre los últimos descubrimientos en matemáticas y ciencias de los principales personajes de la época. Esto incluyó el trabajo de Johannes Hudde, Robert Boyle y Robert Hooke. Durante este tiempo también produjo una teoría incorrecta de los cometas.
Bernoulli regresó a Suiza y comenzó a enseñar mecánica en la Universidad de Basilea desde 1683. Su disertación doctoral Solutionem tergemini problematis fue presentada en 1684. Apareció impresa en 1687.
En 1684 Bernoulli se casó con Judith Stupanus; tuvieron dos hijos. Durante esta década, también comenzó una fructífera carrera investigadora. Sus viajes le permitieron establecer correspondencia con muchos matemáticos y científicos destacados de su era, que mantuvo durante toda su vida. Durante este tiempo, estudió los nuevos descubrimientos en matemáticas, incluyendo De ratiociniis in aleae ludo de Christiaan Huygens, La Géométrie de Descartes y los suplementos de Frans van Schooten. También estudió a Isaac Barrow y John Wallis, lo que llevó a su interés en la geometría infinitesimal. Aparte de estos, fue entre 1684 y 1689 que se descubrieron muchos de los resultados que conformarían Ars Conjectandi.
Fue nombrado profesor de matemáticas en la Universidad de Basilea en 1687, permaneciendo en este puesto durante el resto de su vida. Para entonces, había comenzado a tutorear a su hermano Johann Bernoulli en temas matemáticos. Los dos hermanos comenzaron a estudiar el cálculo tal como lo presentaba Leibniz en su artículo de 1684 sobre cálculo diferencial en "Nova Methodus pro Maximis et Minimis" publicado en Acta Eruditorum. También estudiaron las publicaciones de von Tschirnhaus. Debe entenderse que las publicaciones de Leibniz sobre el cálculo eran muy oscuras para los matemáticos de esa época y los Bernoulli fueron de los primeros en intentar comprender y aplicar las teorías de Leibniz.
Jacob colaboró con su hermano en diversas aplicaciones del cálculo. Sin embargo, la atmósfera de colaboración entre los dos hermanos se convirtió en rivalidad cuando el propio genio matemático de Johann comenzó a madurar, con ambos atacándose mutuamente en letra impresa, y planteándose desafíos matemáticos difíciles para poner a prueba las habilidades del otro. Para 1697, la relación se había roto completamente.
El cráter lunar Bernoulli también lleva su nombre conjuntamente con su hermano Johann.
Obras importantes
Las primeras contribuciones importantes de Jacob Bernoulli fueron un folleto sobre los paralelismos de la lógica y el álgebra publicado en 1685, trabajo sobre probabilidad en 1685 y geometría en 1687. Su resultado geométrico dio una construcción para dividir cualquier triángulo en cuatro partes iguales con dos líneas perpendiculares.
Para 1689 había publicado un trabajo importante sobre series infinitas y publicó su ley de los grandes números en teoría de la probabilidad. Jacob Bernoulli publicó cinco tratados sobre series infinitas entre 1682 y 1704. Los dos primeros de estos contenían muchos resultados, como el resultado fundamental de que ∑ 1 n , pero demostró que convergía a un límite finito menor que 2. Euler fue el primero en encontrar el límite de esta serie en 1737. Bernoulli también estudió la serie exponencial que surgió al examinar el interés compuesto.
En mayo de 1690 en un artículo publicado en Acta Eruditorum, Jacob Bernoulli demostró que el problema de determinar la isócrona es equivalente a resolver una ecuación diferencial no lineal de primer orden. La isócrona, o curva de descenso constante, es la curva a lo largo de la cual una partícula descenderá bajo la gravedad desde cualquier punto hasta el fondo en exactamente el mismo tiempo, sin importar el punto de partida. Había sido estudiada por Huygens en 1687 y Leibniz en 1689. Después de encontrar la ecuación diferencial, Bernoulli la resolvió usando lo que ahora llamamos separación de variables. El artículo de Jacob Bernoulli de 1690 es importante para la historia del cálculo, ya que el término integral aparece por primera vez con su significado de integración. En 1696 Bernoulli resolvió la ecuación, ahora llamada ecuación diferencial de Bernoulli,
Jacob Bernoulli también descubrió un método general para determinar las evolutas de una curva como la envolvente de sus círculos de curvatura. También investigó curvas cáusticas y en particular estudió estas curvas asociadas de la parábola, la espiral logarítmica y los epicicloides alrededor de 1692. La lemniscata de Bernoulli fue concebida por primera vez por Jacob Bernoulli en 1694. En 1695 investigó el problema del puente levadizo que busca la curva requerida para que un peso que se desliza a lo largo del cable mantenga siempre el puente levadizo equilibrado.
La obra más original de Jacob Bernoulli fue Ars Conjectandi publicada en Basilea en 1713, ocho años después de su muerte. La obra estaba incompleta en el momento de su muerte pero sigue siendo una obra de la mayor importancia en la teoría de la probabilidad. En el libro Bernoulli revisó el trabajo de otros sobre probabilidad, en particular el trabajo de van Schooten, Leibniz y Prestet. Los números de Bernoulli aparecen en el libro en una discusión de la serie exponencial. Se dan muchos ejemplos sobre cuánto se esperaría ganar jugando varios juegos de azar. El término ensayo de Bernoulli resultó de este trabajo. Hay pensamientos interesantes sobre qué es realmente la probabilidad:
... la probabilidad como grado medible de certeza; necesidad y azar; expectativa moral versus matemática; probabilidad a priori y a posteriori; expectativa de ganancia cuando los jugadores se dividen según la destreza; consideración de todos los argumentos disponibles, su valoración y su evaluación calculable; ley de los grandes números ...
Bernoulli fue uno de los promotores más significativos de los métodos formales del análisis superior. La agudeza y la elegancia rara vez se encuentran en su método de presentación y expresión, pero hay un máximo de integridad.
Descubrimiento de la constante matemática e
En 1683 Bernoulli descubrió la constante e estudiando una pregunta sobre interés compuesto que le requería encontrar el valor de la siguiente expresión que es de hecho e:
Un ejemplo es una cuenta que comienza con $1.00 y paga 100 por ciento de interés anual. Si el interés se acredita una sola vez, al final del año, el valor es $2.00; pero si el interés se calcula y se suma dos veces en el año, el $1 se multiplica por 1.5 dos veces, produciendo $1.00×1.5² = $2.25. La capitalización trimestral produce $1.00×1.254 = $2.4414..., y la capitalización mensual produce $1.00×1.0833...12 = $2.613035....
Bernoulli notó que esta secuencia se aproxima a un límite, la tasa de interés para intervalos de capitalización más pequeños y menores. La capitalización semanal produce $2.692597..., mientras que la capitalización diaria produce $2.714567..., solo dos centavos más. Usando n como el número de intervalos de capitalización, con interés de 100% / n en cada intervalo, el límite para n grande es el número que Euler más tarde nombró e; con capitalización continua, el valor de la cuenta alcanzará $2.7182818.... De manera más general, una cuenta que comienza con $1, y produce 1+R dólares con interés compuesto, producirá eR dólares con capitalización continua.
Lápida
Bernoulli quería una espiral logarítmica y el lema Eadem mutata resurgo 'Aunque cambié, me levanto igual' grabado en su lápida. Escribió que la espiral autosimilar "puede ser utilizada como símbolo, ya sea de fortaleza y constancia en la adversidad, o del cuerpo humano, que después de todos sus cambios, incluso después de la muerte, será restaurado a su forma exacta y perfecta." Bernoulli murió en 1705, pero se grabó una espiral de Arquímedes en lugar de una logarítmica.
Traducción de la inscripción latina:
Jacob Bernoulli, el incomparable matemático.
Profesor en la Universidad de Basilea Durante más de 18 años;
miembro de las Academias Reales de París y Berlín; famoso por sus escritos.
De una enfermedad crónica, de mente sana hasta el final;
sucumbió en el año de gracia 1705, el 16 de agosto, a la edad de 50 años y 7 meses, esperando la resurrección.
Judith Stupanus,
su esposa durante 20 años,
y sus dos hijos han erigido un monumento al esposo y padre que tanto extrañan.
