إذا كان الإثبات صحيحًا فلا حاجة إلى أي اعتراف آخر
جريجوري ياكوفليفيتش بيرلمان عالم رياضيات روسي اشتهر بمساهماته في مجالات التحليل الهندسي والهندسة الريمانية والطوبولوجيا الهندسية.
في التسعينيات، وجزئيًا بالتعاون مع يوري بوراغو وميخائيل غروموف وأنطون بيتروين، قدم مساهمات مؤثرة في دراسة فضاءات ألكسندروف. في عام 1994، أثبت حدسية الروح في الهندسة الريمانية، والتي كانت مسألة مفتوحة لمدة 20 سنة سابقة. في عامي 2002 و2003، طور تقنيات جديدة في تحليل تدفق ريتشي، مما وفر رسمًا تفصيليًا لإثبات حدسية بوانكاريه وحدسية ثرستون للتوحيد الهندسي، وكانت الأولى منها مسألة مشهورة مفتوحة في الرياضيات لمدة قرن. تم ملء التفاصيل الكاملة لعمل بيرلمان وشرحها من قبل عدة مؤلفين على مدى السنوات العديدة التالية.
في أغسطس 2006، تم عرض وسام فيلدز على بيرلمان لقاء "مساهماته في الهندسة وآفاقه الثورية في البنية التحليلية والهندسية لتدفق ريتشي"، لكنه رفض الجائزة قائلاً: "لا أهتم بالمال أو الشهرة؛ لا أريد أن أكون معروضًا مثل حيوان في حديقة حيوان." في 22 ديسمبر 2006، اعترفت مجلة Science العلمية بإثبات بيرلمان لحدسية بوانكاريه باعتباره "اختراق السنة" العلمي، وهو أول اعتراف من هذا النوع في مجال الرياضيات.
في 18 مارس 2010، تم الإعلان عن أنه استوفى معايير استحقاق جائزة كلاي للألفية الأولى لحل حدسية بوانكاريه. في 1 يوليو 2010، رفض جائزة بقيمة مليون دولار، قائلاً إنه يعتبر قرار مجلس معهد كلاي غير عادل، لأن مساهمته في حل حدسية بوانكاريه لم تكن أكبر من مساهمة ريتشارد إس. هاملتون، عالم الرياضيات الذي روّج لتدفق ريتشي جزئيًا بهدف مهاجمة الحدسية. كان قد رفض سابقًا جائزة الجمعية الأوروبية للرياضيات المرموقة في عام 1996.
الحياة المبكرة والتعليم
وُلد جريجوري ياكوفليفيتش بيرلمان في لينينغراد، الاتحاد السوفييتي الآن Saint Petersburg، روسيا في 13 يونيو 1966، لوالدين روسيين يهوديين Yakov الذي يعيش الآن في Israel و Lyubov التي تعيش لا تزال في Saint Petersburg مع جريجوري. تخلت والدة جريجوري Lyubov عن دراستها العليا في الرياضيات لتربيته. أصبح الموهبة الرياضية لجريجوري واضحة في سن العاشرة، وسجلته والدته في برنامج التدريب الرياضي بعد الدوام المدرسي لـ Sergei Rukshin.
استمر تعليمه الرياضي في مدرسة Leningrad الثانوية رقم 239، وهي مدرسة متخصصة بها برامج رياضيات وفيزياء متقدمة. تفوق جريجوري في جميع المواد باستثناء التربية البدنية. في عام 1982، كعضو في فريق الاتحاد السوفييتي المتنافس في أولمبياد الرياضيات الدولية، وهي منافسة دولية لطلاب المرحلة الثانوية، فاز بميدالية ذهبية، حقق درجة كاملة. استمر كطالب في مدرسة الرياضيات والميكانيكا في جامعة Leningrad State University، بدون اختبارات القبول والتحاقًا بالجامعة.
بعد إكمال دكتوراه الفلسفة في عام 1990، بدأ بيرلمان العمل في قسم لينينغراد لمعهد Steklov للرياضيات في أكاديمية العلوم بالاتحاد السوفييتي، حيث كان مستشاروه Aleksandr Aleksandrov و Yuri Burago. في أواخر الثمانينيات والتسعينيات المبكرة، بتوصية قوية من عالم الهندسة Mikhail Gromov، حصل بيرلمان على مناصب بحثية في عدة جامعات في الولايات المتحدة. في عام 1991، فاز بيرلمان بجائزة الشاب الرياضي من جمعية Saint Petersburg الرياضية لعمله على فضاءات Aleksandrov ذات الانحناء المحدود من الأسفل. في عام 1992، تمت دعوته لقضاء فصل دراسي في كل من Courant Institute في New York University و Stony Brook University حيث بدأ العمل على الأغلفة ذات الحدود السفلى على انحناء ريتشي. من هناك، قبل زمالة Miller Research Fellowship لمدة سنتين في جامعة University of California, Berkeley في عام 1993. بعد أن أثبت حدسية الروح في عام 1994، تم عرض وظائف عليه في عدة جامعات عليا في الولايات المتحدة، بما في ذلك Princeton و Stanford، لكنه رفضها جميعًا وعاد إلى معهد Steklov في Saint Petersburg في صيف عام 1995 لمنصب بحثي فقط.
البحث في التسعينيات
كان أبرز عمل لبيرلمان في هذه الفترة في مجال فضاءات Alexandrov، وترجع مفهوم هذا المجال إلى الخمسينيات. في ورقة معروفة عام 1992 من تأليف مشترك مع Yuri Burago و Mikhail Gromov، وضع بيرلمان الأسس الحديثة لهذا المجال، مع مفهوم تقارب Gromov-Hausdorff كمبدأ تنظيمي. في عام 1993، طور بيرلمان فكرة نظرية Morse على هذه الفضاءات غير الملساء. لعمله على فضاءات Alexandrov، تمت دعوة بيرلمان للقاء في المؤتمر الدولي للرياضيين عام 1994.
تقول حدسية Cheeger و Gromoll للروح، والمصاغة في عام 1972:
لنفترض أن (M, g) متشعب ريماني كامل ومتصل وغير مضغوط مع انحناء مقطعي K ≥ 0، وهناك نقطة في M حيث يكون الانحناء المقطعي (في جميع الاتجاهات المقطعية) موجبًا بدقة. ثم روح M هي نقطة؛ بشكل مكافئ M تختلف عن Rn.
كان هذا مثيرًا للاهتمام منذ أن أثبت Cheeger و Gromoll النتيجة تحت الافتراض الأقوى بأن جميع الانحناءات المقطعية موجبة. نظرًا لأن التشوه من الانحناء غير السالب إلى الموجب ليس مفهومًا جيدًا، تم اقتراح حدسية الروح. في عام 1994، قدم بيرلمان إثباتًا قصيرًا وأنيقًا للحدسية من خلال إثبات أنه في الحالة العامة K ≥ 0، فإن الانكماش Sharafutdinov P : M → S هو غمر.
ثلاث أوراق ملحوظة لبيرلمان من 1994 إلى 1997 تتعامل مع بناء مختلف متشعبات ريمانية مثيرة للاهتمام مع انحناء ريتشي الموجب.
حدسيات التوحيد الهندسي وبوانكاريه
المشكلة
حدسية Poincaré، المقترحة من قبل عالم الرياضيات الفرنسي Henri Poincaré في عام 1904، كانت واحدة من المشاكل الرئيسية في الطوبولوجيا. أي حلقة على 3-كرة - كما يتضح من مجموعة النقاط على مسافة 1 من الأصل في الفضاء الإقليدسي رباعي الأبعاد - يمكن انكماشها إلى نقطة. تؤكد حدسية Poincaré أن أي متشعب ثلاثي الأبعاد مغلق، بحيث يمكن انكماش أي حلقة إلى نقطة، هو طوبولوجيًا 3-كرة. وقد عُرف أن النتيجة المماثلة صحيحة في الأبعاد الأكبر من أو تساوي خمسة منذ عام 1960 كما في عمل Stephen Smale. استقامت الحالة رباعية الأبعاد لفترة أطول، وتم حلها أخيرًا في عام 1982 بواسطة Michael Freedman. لكن حالة المتشعبات الثلاثية ثبت أنها الأصعب من بينها جميعًا. بشكل تقريبي، هذا لأنه عند التلاعب الطوبولوجي بمتشعب ثلاثي الأبعاد هناك القليل جدًا من الأبعاد لتحريك "المناطق الإشكالية" بعيدًا عن الطريق دون التدخل في شيء آخر. كانت أكثر المساهمات الأساسية في الحالة ثلاثية الأبعاد من قِبل Richard S. Hamilton. كان دور بيرلمان إكمال برنامج Hamilton.
إثبات بيرلمان
في نوفمبر 2002، نشر بيرلمان الأول من ثلاثة أوراق تمهيدية على arXiv، زعم فيها أنه وضع خطة إثبات لحدسية التوحيد الهندسي، والتي تعتبر حدسية بوانكاريه حالة خاصة منها. تم متابعة ذلك بالورقتين التمهيديتين الأخريين في عام 2003.
عدّل بيرلمان برنامج Richard S. Hamilton لإثبات الحدسية. الفكرة المركزية هي مفهوم تدفق Ricci. الفكرة الأساسية لـ Hamilton هي صياغة "عملية ديناميكية" يتم فيها تشويه متشعب ثلاثي الأبعاد معين هندسيًا، مع تحكم عملية التشويه بمعادلة تفاضلية مشابهة لمعادلة الحرارة. معادلة الحرارة التي حفزت Riemann في وقت أبكر بكثير على تقديم فرضية Riemann حول أصفار دالة زيتا تصف سلوك الكميات العددية مثل درجة الحرارة. فهي تضمن أن تركيزات درجة الحرارة المرتفعة ستنتشر حتى يتم تحقيق درجة حرارة موحدة في جميع أنحاء الجسم. وبالمثل، فإن تدفق Ricci يصف سلوك كمية موترية، موتر انحناء Ricci. كان أمل Hamilton أنه تحت تدفق Ricci ستنتشر تركيزات الانحناء الكبيرة حتى يتم تحقيق انحناء موحد على المتشعب ثلاثي الأبعاد بأكمله. إذا كان الحال كذلك، فإذا بدأ المرء بأي متشعب ثلاثي الأبعاد وترك تدفق Ricci يحدث، فينبغي للمرء، من حيث المبدأ، أن ينتهي به الحال إلى الحصول على نوع من "الشكل الطبيعي". وفقًا لـ William Thurston، يجب أن يأخذ هذا الشكل الطبيعي واحدًا من عدد قليل من الاحتمالات، لكل منها نوع مختلف من الهندسة، تسمى هندسة نماذج Thurston.
ومع ذلك، كان من المتوقع على نطاق واسع أن تتعرقل العملية بسبب تطور "التفردات". في التسعينيات، أحرز Hamilton تقدمًا في فهم أنواع التفردات الممكنة التي قد تحدث، لكنه لم يتمكن من تقديم وصف شامل. أوراق بيرلمان رسمت حلاً. وفقًا لبيرلمان، كل تفرد يبدو إما مثل أسطوانة تنهار إلى محورها، أو كرة تنهار إلى مركزها. مع هذا الفهم، تمكن من بناء تعديل على تدفق Ricci القياسي، يسمى تدفق Ricci مع الجراحة، والذي يمكنه منهجيًا استئصال المناطق المتفردة مع تطورها، بطريقة مضبوطة. كانت فكرة تدفق Ricci مع الجراحة موجودة منذ مقالة Hamilton من عام 1993، الذي نفذها بنجاح في عام 1997 في إطار الفضاءات عالية الأبعاد الخاضعة لشروط هندسية مقيدة معينة. إجراء الجراحة في بيرلمان كان مشابهًا على نطاق واسع لـ Hamilton لكنه كان مختلفًا بشكل صارخ في جوانبه التقنية.
أظهر بيرلمان أن أي تفرد يتطور في وقت محدود هو بشكل أساسي "قرص" على طول كرات معينة تتوافق مع التحليل الأولي للمتشعب 3. علاوة على ذلك، تنتج أي تفردات "بلا حد من الزمن" من أجزاء انهيار معينة من تحليل JSJ. يثبت عمل بيرلمان هذا الادعاء وبالتالي يثبت حدسية التوحيد الهندسي.
ملخص محتويات الأوراق الثلاث أدناه:
- تقدم الورقة التمهيدية الأولى، صيغة الإنتروبيا لتدفق Ricci وتطبيقاتها الهندسية، العديد من التقنيات الجديدة في دراسة تدفق Ricci، وتتمثل النتيجة الرئيسية في نظرية تعطي توصيفًا كميًا لمناطق الانحناء العالي في التدفق.
- تصحح الورقة التمهيدية الثانية، تدفق Ricci مع الجراحة على متشعبات ثلاثية الأبعاد، بعض العبارات غير الصحيحة من الورقة الأولى وتملأ بعض التفاصيل، وتستخدم النتيجة الرئيسية للورقة الأولى لوصف إجراء الجراحة. يُكرس النصف الثاني من الورقة لتحليل تدفقات Ricci الموجودة لفترة زمنية لا نهائية.
- توفر الورقة التمهيدية الثالثة، الوقت المحدود للانقراض لحلول تدفق Ricci على متشعبات ثلاثية أبعاد معينة، اختصارًا لإثبات حدسية بوانكاريه الذي يتجنب الحجج في النصف الثاني من الورقة الثانية. فهو يوضح أنه على أي فضاء يستوفي افتراضات حدسية بوانكاريه، فإن تدفق Ricci مع الجراحة موجود فقط لفترة زمنية محدودة، بحيث يكون تحليل الوقت اللانهائي لتدفق Ricci غير ذي صلة.
قدم Tobias Colding و William Minicozzi II حجة بديلة تماما لآراء بيرلمان الثالثة. حجتهم، بشرط المتطلب الأساسي لبعض حجج نظرية القياس الهندسية الأنيقة كما طُورت في الثمانينيات، بسيطة بشكل خاص.
التحقق
اكتسبت الأوراق التمهيدية لبيرلمان انتباه المجتمع الرياضي بسرعة، على الرغم من أنها كانت تُعتبر على نطاق واسع صعبة الفهم لأنها كانت مكتوبة بطريقة موجزة نوعًا ما. خلافًا للأسلوب المعتاد في المنشورات الرياضية الأكاديمية، تم حذف العديد من التفاصيل التقنية. بدا سريعًا أن بيرلمان قدم مساهمات رئيسية في أسس تدفق Ricci، على الرغم من أنه لم
