كما تخسر الشمس نجوم السماء بتألقها، كذلك الرجل الحكيم سيخسف شهرة الآخرين في تجمعات الناس إذا طرح مسائل جبرية، وأكثر من ذلك إذا حلها.
Brahmagupta كان عالم رياضيات وفلكياً هندياً. وهو مؤلف عملين أوليين عن الرياضيات والفلك: Brāhmasphuṭasiddhānta BSS، "العقيدة الموضوعة بشكل صحيح للإله براهما"، بتاريخ 628، وهي رسالة نظرية، و Khaṇḍakhādyaka "اللقمة الصالحة للأكل"، بتاريخ 665، وهو نص أكثر عملية.
Brahmagupta كان الأول في إعطاء قواعد للحساب مع الصفر. النصوص التي ألفها Brahmagupta كانت بآيات بيضاوية باللغة السنسكريتية، وهذا كان الممارسة الشائعة في الرياضيات الهندية. بما أن لا براهين قُدمت، فإنه من غير المعروف كيف تم اشتقاق نتائج Brahmagupta.
الحياة والمسيرة المهنية
وُلد Brahmagupta في سنة 598 ميلادية وفقاً لتصريحه الخاص. عاش في Bhillamāla في Gurjaradesa التي تعادل Bhinmal الحديثة في Rajasthan بالهند، خلال فترة حكم Vyagrahamukha من سلالة Chavda. كان ابن Jishnugupta وكان ديانته هندوسية، وخاصة من طائفة Shaivite. عاش وعمل هناك لجزء كبير من حياته. Prithudaka Svamin، المعلق اللاحق، أطلق عليه Bhillamalacharya، المعلم من Bhillamala.
Bhillamala كانت عاصمة Gurjaradesa، ثاني أكبر مملكة في غرب الهند، وتضم جنوب Rajasthan وشمال Gujarat في الهند الحديثة. كانت أيضاً مركزاً للتعليم في الرياضيات والفلك. أصبح Brahmagupta فلكياً من مدرسة Brahmapaksha، إحدى أربع مدارس رئيسية للفلك الهندي في تلك الفترة. درس الخمسة Siddhartha التقليدية حول الفلك الهندي وكذلك أعمال فلكيين آخرين بما فيهم Aryabhata I و Latadeva و Pradyumna و Varahamihira و Simha و Srisena و Vijayanandin و Vishnuchandra.
في سنة 628، في سن الثلاثين، ألف "Brāhmasphuṭasiddhānta" الرسالة المحسّنة للإله براهما والتي يُعتقد أنها نسخة معدّلة من Siddhanta المقبولة من مدرسة Brahmapaksha الفلكية. يذكر العلماء أنه أدرج قدراً كبيراً من الأصالة في مراجعته، مضيفاً كمية كبيرة من المواد الجديدة. يتكون الكتاب من 24 فصلاً يضم 1008 آيات بوزن ārya. يتعلق جزء كبير منه بالفلك، لكنه يحتوي أيضاً على فصول رئيسية حول الرياضيات، بما فيها الجبر والهندسة وحساب المثلثات والخوارزميات، والتي يُعتقد أنها تحتوي على رؤى جديدة من Brahmagupta نفسه.
لاحقاً، انتقل Brahmagupta إلى Ujjaini في Avanti، والتي كانت أيضاً مركزاً رئيسياً للفلك في وسط الهند. في سن السابعة والستين، ألف عمله المعروف التالي Khanda-khādyaka، وهو دليل عملي للفلك الهندي في فئة karana مخصص للاستخدام من قبل الطلاب.
توفي Brahmagupta في 668 ميلادية، ويُفترض أنه توفي في Ujjain.
الخلاف
وجّه Brahmagupta قدراً كبيراً من النقد تجاه أعمال الفلكيين المنافسين، وكتاب Brahmasphutasiddhanta الخاص به يعرض واحداً من أقدم الانقسامات بين علماء الرياضيات الهنود. كان الانقسام بشكل أساسي حول تطبيق الرياضيات على العالم المادي، بدلاً من الرياضيات نفسها. في حالة Brahmagupta، نشأت الخلافات إلى حد كبير من اختيار المعاملات والنظريات الفلكية. تظهر انتقادات النظريات المنافسة في جميع أنحاء الفصول الفلكية العشرة الأولى والفصل الحادي عشر كاملاً مكرس لانتقاد هذه النظريات، على الرغم من عدم ظهور أي انتقادات في الفصول الثاني عشر والثامن عشر.
الاستقبال
أطلق المؤرخ العلم George Sarton عليه "أحد أعظم العلماء من عرقه وأعظمهم في عصره." تم متابعة التطورات الرياضية للـ Brahmagupta من قبل Bhāskara II، وهو سليل مباشر في Ujjain، الذي وصفه بـ ganaka-chakra-chudamani جوهرة دائرة علماء الرياضيات. كتب Prithudaka Svamin تعليقات على كلا عمليه، محولاً الآيات الصعبة إلى لغة أبسط وإضافة الرسوم التوضيحية. كتب Lalla و Bhattotpala في القرنين الثامن والتاسع تعليقات على Khanda-khadyaka. استمرت التعليقات الإضافية في أن تُكتب حتى القرن الثاني عشر.
بعد بضعة عقود من وفاة Brahmagupta، جاءت Sindh تحت الخلافة العربية في 712 ميلادية. تم إرسال حملات استكشافية إلى Gurjaradesa "Al-Baylaman في Jurz"، كما ذكر المؤرخون العرب. يبدو أن مملكة Bhillamala قد تم إبادتها لكن Ujjain صدّت الهجمات. استقبل بلاط الخليفة Al-Mansur 754–775 سفارة من Sindh، تضمنت عالماً فلكياً يُدعى Kanaka، الذي أحضر نصوصاً فلكية ربما تم حفظها في الذاكرة، بما فيها تلك الخاصة بـ Brahmagupta. تم ترجمة نصوص Brahmagupta إلى العربية بواسطة Muhammad al-Fazari، فلكي في بلاط Al-Mansur، تحت أسماء Sindhind و Arakhand. كانت النتيجة الفورية هي انتشار نظام الأرقام العشرية المستخدمة في النصوص. كتب عالم الرياضيات Al-Khwarizmi 800–850 ميلادية نصاً يُدعى al-Jam wal-tafriq bi hisal-al-Hind الجمع والطرح في الحساب الهندي، والذي تمت ترجمته إلى اللاتينية في القرن الثالث عشر باسم Algorithmi de numero indorum. من خلال هذه النصوص، انتشر نظام الأرقام العشرية وخوارزميات Brahmagupta للحساب في جميع أنحاء العالم. كتب Al-Khwarizmi أيضاً نسخته الخاصة من Sindhind، مستفيداً من نسخة Al-Fazari ودمج العناصر البطلمية. تم تداول المواد الفلكية الهندية على نطاق واسع لقرون، حتى مرورها إلى النصوص اللاتينية الوسيطة.
الرياضيات
الجبر
أعطى Brahmagupta حل المعادلة الخطية العامة في الفصل الثامن عشر من Brahmasphutasiddhānta،
وهو حل للمعادلة bx + c = dx + e حيث تشير rupas إلى الثوابت c و e. الحل المعطى مكافئ لـ x = e − c/b − d. كما أعطى حلين متكافئين للمعادلة التربيعية العامة
18.44. قلل من الوسط [الرقم] الجذر التربيعي للـ rupas مضروباً في أربع مرات المربع وزيادة مربع الوسط [الرقم]؛ اقسم الباقي على مرتين المربع. [النتيجة هي] الوسط [الرقم].
18.45. أياً كان الجذر التربيعي للـ rupas مضروباً في المربع [و] مضافاً إليه مربع نصف المجهول، قلل ذلك بنصف المجهول [و] اقسم [الباقي] على مربعه. [النتيجة هي] المجهول.
وهي على التوالي حلول للمعادلة ax2 + bx = c مكافئة لـ،
و
انتقل إلى حل أنظمة المعادلات المتزامنة غير المحددة موضحاً أنه يجب عزل المتغير المرغوب أولاً، ثم يجب تقسيم المعادلة على معامل المتغير المرغوب. على وجه الخصوص، أوصى باستخدام "المُكسِّر" لحل المعادلات التي تحتوي على مجاهيل متعددة.
18.51. اطرح الألوان المختلفة عن اللون الأول. [الباقي] مقسوماً على الأول [معامل اللون] هو مقياس الأول. [الحدود] اثنين اثنين [يتم اعتبارهما] [عند الاختزال إلى] مقسومات متشابهة، [وهكذا] بشكل متكرر. إذا كان هناك الكثير [من الألوان]، يتم استخدام المُكسِّر [.]
مثل جبر Diophantus، كان جبر Brahmagupta متزامناً. تم الإشارة إلى الجمع بوضع الأرقام جنباً إلى جنب، والطرح بوضع نقطة فوق المطروح، والقسمة بوضع المقسوم عليه تحت المقسوم، بشكل مشابه لرمزنا لكن بدون الشريط. تم تمثيل الضرب والتطور والكميات المجهولة بمختصرات المصطلحات المناسبة. لا يُعرف مدى تأثير اليونانيين على هذا التزامن، وقد يكون من الممكن أن مصدر التزامن اليوناني والهندي على حد سواء قد يكون من مصدر بابلي مشترك.
الحساب
كانت العمليات الأساسية الأربع الجمع والطرح والضرب والقسمة معروفة لعديد من الثقافات قبل Brahmagupta. هذا النظام الحالي يعتمد على نظام الأرقام الهندي العربي وظهر لأول مرة في Brahmasphutasiddhanta. وصف Brahmagupta الضرب كما يلي "يتم تكرار المضروب مثل حبل للماشية، بقدر ما توجد أجزاء متكاملة في المضروب فيه ويتم ضربه بشكل متكرر بها وتضاف النواتج معاً. إنه الضرب. أو يتم تكرار المضروب عدد مرات مساوياً لعدد الأجزاء المكونة في المضروب فيه". كان الحساب الهندي معروفاً في أوروبا العصور الوسطى باسم "Modus Indorum" بمعنى طريقة الهنود. في Brahmasphutasiddhanta، تمت تسمية الضرب Gomutrika.
في بداية الفصل الثاني عشر من Brahmasphutasiddhānta الخاص به، الموسوم بـ الحساب، يفصل Brahmagupta العمليات على الكسور. من المتوقع أن يعرف القارئ العمليات الحسابية الأساسية حتى أخذ الجذر التربيعي، على الرغم من أنه يشرح كيفية إيجاد المكعب والجذر التكعيبي لعدد صحيح ولاحقاً يعطي قواعد تيسر حساب المربعات والجذور التربيعية. ثم يعطي قواعد للتعامل مع خمسة أنواع من مجموعات الكسور: a/c + b/c؛ a/c × b/d؛ a/1 + b/d؛ a/c + b/d × a/c = ad + b/cd؛ و a/c − b/d × a/c = ad − b/cd.
السلاسل
ثم ينتقل Brahmagupta لإعطاء مجموع مربعات وأكعاب أول n من الأعداد الصحيحة.
هنا وجد Brahmagupta النتيجة بدلالة مجموع أول n من الأعداد الصحيحة، بدلاً من بدلالة n كما هي الممارسة الحديثة.
يعطي مجموع مربعات أول n من الأعداد الطبيعية كـ nn + 12n + 1/6 ومجموع أكعاب أول n من الأعداد الطبيعية كـ nn + 1/22.
الصفر
كتاب Brahmagupta Brahmasphuṭasiddhānta هو أول كتاب يوفر قواعد للعمليات الحسابية التي تنطبق على الصفر والأعداد السالبة. Brahmasphutasiddhānta هو أقدم نص معروف يعامل الصفر كرقم بحد ذاته، بدلاً من كونه مجرد رقم عنصر نائب في تمثيل رقم آخر كما فعل البابليون أو كرمز لنقص في الكمية كما فعل بطليموس والرومان. في الفصل الثامن عشر من Brahmasphutasiddhānta الخاص به، يصف Brahmagupta العمليات على الأعداد السالبة. يصف أولاً الجمع والطرح،
18.30. [مجموع] موجبين موجب، سالبين سالب؛ موجب وسالب [مجموعهما] الفرق بينهما؛ إذا كانا متساويين فهو صفر. مجموع سالب وصفر سالب، [و] موجب وصفر موجب، [و] اثنين صفر صفر.
18.32. سالب ناقص صفر سالب، موجب [ناقص صفر] موجب؛ صفر [ناقص صفر] صفر. عندما يتم طرح موجب من سالب أو سالب من موجب، فإنه يجب إضافته.
ثم ينتقل لوصف الضرب،
18.33. حاصل ضرب سالب وموجب سالب، اثنين سالبين موجب، وموجب موجب؛ حاصل ضرب صفر وسالب، صفر وموجب، أو اثنين صفر صفر.
لكن وصفه لقسمة الصفر يختلف عن فهمنا الحديث:
18.34. موجب مقسوماً على موجب أو سالب مقسوماً على سالب موجب؛ صفر مقسوماً على صفر صفر؛ موجب مقسوماً على سالب سالب؛ سالب مقسوماً على موجب [أيضاً] سالب.
18.35. سالب أو موجب مقسوماً على صفر يحمل [الصفر] كمقسوم عليه، أو صفر مقسوماً على سالب أو موجب [يحمل] [ذلك السالب أو الموجب كمقسوم عليه]. مربع سالب أو موجب موجب؛ [مربع] صفر صفر. ما [الذي مربعه هو] المربع هو [جذره] التربيعي.
هنا يذكر Brahmagupta أن / = 0 وبخصوص سؤال a/ حيث a ≠ 0 لم يلتزم بنفسه. قواعده للعمليات الحسابية على الأعداد السالبة والصفر قريبة جداً من الفهم الحديث، باستثناء أنه في ال
