자연은 3개 이상의 차원을 인정하지 않으므로 ... 입체가 4차, 5차, 6차 또는 그 이상의 차원으로 그려진다는 것을 말하는 것은 매우 부적절해 보일 수 있습니다.
John Wallis는 미적분학의 발전에 부분적인 공로를 인정받은 영국의 성직자이자 수학자입니다. 1643년부터 1689년까지 그는 의회와 왕실의 주요 암호해독자로 일했습니다. 그는 무한대를 나타내기 위해 ∞ 기호를 도입한 공로를 인정받았습니다. 마찬가지로 그는 무한소를 위해 1/∞를 사용했습니다. John Wallis는 Newton의 동시대인이자 수학의 초기 르네상스 시대 최고의 지식인 중 한 명입니다.
생애
John Wallis는 Kent의 Ashford에서 태어났습니다. 그는 Reverend John Wallis와 Joanna Chapman의 다섯 자녀 중 셋째였습니다. 처음에는 Ashford의 학교에서 교육을 받았지만 1625년 전염병의 발생으로 인해 Tenterden의 James Movat 학교로 옮겼습니다. Wallis는 1631년 Felsted의 Martin Holbeach 학교로 알려져 있던 Felsted School에서 처음 수학을 접했습니다. 그는 수학을 좋아했지만 "당시 우리 지역에서 수학은 학문적 연구로 거의 여겨지지 않았고 오히려 기계적인 것으로 여겨졌습니다" Scriba 1970. Felsted의 학교에서 Wallis는 라틴어를 말하고 쓰는 방법을 배웠습니다. 이 시점에서 그는 또한 프랑스어, 그리스어, 히브리어에도 능숙했습니다. 의사가 되기를 원했으므로 1632년 Cambridge의 Emmanuel College로 보내졌습니다. 그곳에서 그는 혈액 순환 교설에 관한 행동을 유지했습니다. 이것은 유럽에서 이 이론이 논증에서 공개적으로 유지된 첫 번째 경우라고 말해졌습니다. 하지만 그의 관심은 수학에 집중되어 있었습니다. 그는 1637년 학사 학위를, 1640년 석사 학위를 받았으며, 그 후 성직에 입문했습니다. 1643년부터 1649년까지 그는 Westminster Assembly에서 투표권 없는 서기로 일했습니다. 그는 1644년 Cambridge의 Queens' College 펠로우십에 선출되었으나 결혼 후 사임해야 했습니다.
이 기간 동안 Wallis는 의회파와 가까웠으며, 아마도 Felsted School의 Holbeach에 노출된 결과일 것입니다. 그는 왕당파 급파 암호를 해독하는 데 그들에게 큰 실질적 도움을 제공했습니다. 그 시대의 암호 기술의 질은 다양했습니다. François Viète와 같은 수학자들의 개별적인 성공에도 불구하고 암호 설계 및 분석의 기본 원칙은 매우 잘 이해되지 못했습니다. 대부분의 암호는 변수 키에 기반한 시스템과 달리 비밀 알고리즘에 의존하는 임시 방법이었습니다. Wallis는 후자가 훨씬 더 안전하다는 것을 깨달았으며 심지어 그것들을 "깨질 수 없다"고 묘사했습니다. 다만 암호 알고리즘 공개를 권장할 만큼 자신감이 있지는 않았습니다. 그는 또한 외국 세력의 암호 사용에 대해 우려했으며, 예를 들어 1697년 Gottfried Leibniz의 하노버 학생들에게 암호화에 관해 가르치라는 요청을 거절했습니다.
런던으로 돌아온 Wallis는 1643년 St Gabriel Fenchurch의 chaplain으로 임명되었으며, 나중에 Royal Society로 진화할 과학자 그룹에 합류했습니다. 마침내 그는 자신의 수학적 관심을 충족시킬 수 있었고, 1647년 몇 주 안에 William Oughtred의 Clavis Mathematicae를 습득했습니다. 곧 다양한 주제를 다루는 자신만의 논문을 쓰기 시작했으며 평생 동안 계속했습니다. Wallis는 영국에서 인도-아라비아 체계를 논의한 수학적 개념에 대한 첫 번째 조사를 저술했습니다.
Wallis는 온건한 장로교인들과 함께 Charles I 처형에 대한 항의 진정서에 서명했고, 이로 인해 독립파의 지속적인 적대감을 받았습니다. 그들의 반대에도 불구하고 1649년 Oxford University의 Savilian Chair of Geometry에 임명되었으며, 1703년 11월 8일 사망할 때까지 그곳에서 살았습니다. 1650년 Wallis는 목사로 서품되었습니다. 그 후 Sir Richard Darley 경과 Lady Vere의 개인 chaplain으로 2년을 보냈습니다. 1661년 그는 Savoy 회의에 참석한 12명의 장로교 대표 중 한 명이었습니다.
그의 수학 저작 외에도 신학, 논리학, 영어 문법, 철학에 관해 저술했으며, Littlecote House에서 청각장애 소년이 말하도록 가르치는 시스템을 고안하는 데 관여했습니다. William Holder는 이전에 청각장애인 Alexander Popham에게 "명확하고 뚜렷하게, 좋고 우아한 어조로" 말하도록 가르쳤습니다. Wallis는 나중에 이 공로를 주장했으며, 이로 인해 Holder는 Wallis가 "이웃을 약탈하고 그들의 약탈물로 자신을 장식하고 있다"고 비난했습니다.
Oxford University의 Savilian 기하학 교수로의 Wallis 임명
1647년에 시작된 Oxford의 의회 방문은 1648년 11월 기하학 및 천문학 Savilian 교수를 포함한 많은 고위 학자들을 그들의 직책에서 제거했습니다. 1649년 Wallis는 Savilian 기하학 교수로 임명되었습니다. Wallis는 아마도 그의 왕당파 전임자 Peter Turner와 마찬가지로 정치적 이유로 선택된 것으로 보입니다. Peter Turner는 두 개의 교수직에 임명되었음에도 불구하고 수학 저작을 발표하지 않았습니다. 한편 Wallis는 아마도 국가의 주요 암호해독자였으며 나중에 Royal Society가 될 비공식 과학자 그룹의 일원이었지만 수학자로서 특별한 명성이 없었습니다. 그럼에도 불구하고 Wallis의 임명은 그가 Savilian 교수로 근무한 54년 동안의 후속 업무로 큰 정당성을 입증했습니다.
수학에 대한 기여
Wallis는 삼각법, 미적분학, 기하학, 무한급수 분석에 중요한 기여를 했습니다. 1695년 그의 Opera Mathematica I에서 그는 "계속 분수"라는 용어를 도입했습니다.
Wallis는 음수가 0보다 작다는 현재의 일반적인 개념을 부조리로 거부했지만, 그것이 무한대보다 큰 것이라는 견해를 수용했습니다. 음수가 무한대보다 크다는 주장은 몫 1 x와 x가 양수 쪽에서 x = 0 지점에 접근했다가 지나갈 때 어떤 일이 일어나는지를 고려하는 것입니다. 이에도 불구하고 그는 일반적으로 음수가 양수의 길이와 반대 방향의 길이로 표현되는 선에서 기하학적으로 표현되는 수직선 개념의 창시자로 인정받습니다.
해석기하학
1655년 Wallis는 원뿔곡선을 해석적으로 정의한 논문을 발표했습니다. 이는 이 곡선들이 고려되고 2차 곡선으로 정의된 최초의 저서입니다. 이는 René Descartes의 해석기하학 업무에서 인식된 어려움과 불명확함의 일부를 제거하는 데 도움이 되었습니다. 원뿔곡선론에서 Wallis는 무한대를 나타내기 위해 ∞ 기호를 대중화했습니다. 그는 "나는 Cavalieri의 불가분 기하학을 따르는 어떤 평면이든 무한한 수의 평행선으로, 또는 나의 선호대로 같은 높이의 무한한 수의 평행사변형으로 이루어져 있다고 가정합니다. 이들 각각의 높이를 전체 높이의 무한히 작은 부분 1/∞이 되도록 하고, ∞ 기호가 무한대를 나타내도록 하고 모두의 높이가 도형의 높이를 이루도록 합니다."라고 썼습니다.
적분학
Wallis의 가장 중요한 저작인 Arithmetica Infinitorum은 1656년에 발표되었습니다. 이 논문에서 Descartes와 Cavalieri의 분석 방법이 체계화되고 확대되었지만 일부 아이디어는 비판 대상이 되었습니다. 그는 원뿔곡선에 대한 짧은 논문 후에 거듭제곱의 표준 표기법을 개발하여 양의 정수에서 유리수로 확장함으로써 시작했습니다.
이 발견의 수많은 대수적 응용을 남겨두고 그는 적분을 통해 곡선 y = xm, x축, 그리고 임의의 세로선 x = h 사이에 둘러싸인 면적을 찾기로 진행했으며, 이 면적과 같은 밑변과 같은 높이의 평행사변형의 비가 1/m + 1임을 증명했으며, Cavalieri의 사각형 공식을 확대했습니다. 그는 분명히 곡선 y = axm의 경우에도 같은 결과가 참일 것이라고 가정했습니다. 여기서 a는 어떤 상수이고 m은 양수 또는 음수이지만, 그는 m = 2인 포물선과 m = −1인 쌍곡선의 경우만 논의했습니다. 후자의 경우 그의 결과 해석은 부정확합니다. 그 다음 유사한 결과를 다음 형식의 모든 곡선에 대해 작성할 수 있음을 보였습니다.
따라서 곡선의 세로선 y가 x의 거듭제곱으로 전개될 수 있으면 그 면적을 결정할 수 있다고 말합니다. 곡선의 방정식이 y = x + x1 + x2 + ... 이면 그 면적은 x + x2/2 + x3/3 + ...가 될 것입니다. 그 다음 그는 이를 곡선 y = x − x2, y = x − x21, y = x − x22 등의 사각형 적분에 적용했으며, x = 0과 x = 1의 극한을 취했습니다. 그는 면적이 각각 1, 1/6, 1/30, 1/140 등임을 보여줍니다. 그 다음 그는 y = x1/m 형식의 곡선을 고려했고, 이 곡선과 직선 x = 0과 x = 1로 둘러싸인 면적이 같은 밑변과 같은 높이의 직사각형의 면적과 같다는 정리를 확립했습니다. m : m + 1. 이는 계산과 동등합니다.
그는 포물선으로 이를 설명했으며, 이 경우 m = 2입니다. 그는 y = xp/q 형식의 곡선에 대해 해당 결과를 진술했지만 증명하지는 않았습니다.
Wallis는 곡선의 방정식을 위에 주어진 형식으로 줄이는 데 상당한 독창성을 보였지만, 이항정리에 대해 알지 못했기 때문에 y = 1 − x 2인 원의 사각형을 완수할 수 없었습니다. 기하학적 평균으로 취할 수 있습니다.
이는 1 및 2 3을 선택하여 이 급수의 법칙을 따르도록 해야 합니다. 이는 여기에 자세히 설명하지 않은 정교한 방법으로 이어지며, 이는 다음을 취하는 것과 동등한 보간된 항의 값으로 이어집니다.
이는 현재 Wallis 곱으로 알려져 있습니다.
이 저작에서 계속 분수의 형성과 성질도 논의되었으며, Brouncker의 이 분수 사용으로 인해 주제가 주목을 받았습니다.
몇 년 후인 1659년 Wallis는 Blaise Pascal이 제안한 원적선 문제의 해결책을 포함하는 논문을 발표했습니다. 이에서 그는 우연히 그의 Arithmetica Infinitorum에서 제시된 원칙이 대수 곡선의 정사각형 측정에 어떻게 사용될 수 있는지 설명했으며, 1657년 그의 제자 William Neile에 의해 발견된 반입방 포물선 x3 = ay2의 길이를 정사각형 측정하는 문제의 해결책을 제공했습니다. 타원 및 쌍곡선의 정사각형 측정을 위한 모든 시도가 반드시 실패했기 때문에, 어떤 곡선도 정사각형 측정될 수 없다고 가정했으며, 실제로 Descartes는 이것이 사실이라고 명확히 주장했습니다. 대수 나선은 Evangelista Torricelli에 의해 정사각형 측정되었고 원이 아닌 첫 번째 곡선선이었으며 그 길이가 결정되었지만, Neile과 Wallis에 의한 대수 곡선으로의 확장은 새로웠습니다. 원적선이 다음 곡선으로 정사각형 측정되었습니다. 이는 1658년 Christopher Wren에 의해 수행되었습니다.
1658년 초 Neile의 발견과 독립적으로 유사한 발견이 van Heuraët에 의해 만들어졌으며, 이는 1659년 van Schooten이 Descartes의 Geometria 판에서 발표했습니다. Van Heuraët의 방법은 다음과 같습니다. 그는 곡선이 직각 좌표축으로 참조된다고 가정합니다. 그렇다면 x, y가 그 위의 어떤 점의 좌표이고 n이 법선의 길이이며, x, η가 η : h = n : y인 다른 점이 취해진다면, 여기서 h는 상수입니다. ds가 필요한 곡선의 길이 요소라면, 유사한 삼각형에 의해 ds : dx = n : y입니다. 따라서 h ds = η dx입니다. 따라서 점 x, η의 궤적의 면적을 찾을 수 있으면 첫 번째 곡선을 정사각형 측정할 수 있습니다. 이런 식으로 van Heuraët은 곡선 y3 = ax2의 정사각형 측정을 수행했지만 포물선 y2 = ax의 정사각형 측정은 불가능하다고 덧붙였습니다. 쌍곡선의 사각형 측정이 필요하기 때문입니다. Neile과 Wallis가 제공한 해결책은 van Heuraët이 제공한 것과 다소 유사하지만, 일반적인 규칙이 명시되지 않으며, 분석이 서툽니다. 세 번째 방법은 Fermat에 의해 1660년에 제안되었지만 우아하지 않고 번거롭습니다.
물체의 충돌
물체 충돌 이론은 1668년 Royal Society에 의해 수학자들의 고려를 위해 제안되었습니다. Wallis, Christopher Wren, Christian Huygens는 현재 운동량 보존이라고 불리는 것에 의존하는 정확하고 유사한 해결책을 보냈습니다. 그러나 Wren과 Huygens는 자신의 이론을 완전 탄성체 탄성 충돌에 국한한 반면, Wallis는 불완전 탄성체 비탄성 충돌도 고려했습니다. 이는 1669년 정적 중심에 관한 저작으로 이어졌고, 1670년에는 역학에 관한 것으로 이어졌습니다. 이들은
